Косвенные налоги на бизнес - это прежде всего акцизы на алкогольную и табачную продукцию, бензин, драгоценности, дорогие автомашины и т.п. Государство собирает косвенные налоги на бизнес, ничего не предоставляя взамен (бремя налогов делят между собой потребители и производители). 
	Поскольку составляющей (косвенные налоги на бизнес) не соответствует производство реальных товаров и услуг, вполне естественно ее исключить. Наиболее естественной характеристикой результатов работы страны за год является национальный доход, составляющий лишь 81,5% от ВНП.
	По определению,
(национальный доход) = (личный доход (без трансфертов): зарплата, рента, процент, дивиденды) + (взносы на социальное страхование) +
 (налоги на прибыли корпораций) + (нераспределенные доходы корпораций),
3964 = 3295 + 445 + 145 + 79.
	К личному доходу добавляются трансфертные платежи (пенсии, пособия и др.) со стороны государства в размере 768 миллиардов долларов. В рассматриваемом месте схемы наблюдаем круговое замыкание финансовых потоков - часть национального дохода идет на налоги, поступающие государству, а часть - в личный доход граждан, куда также поступают трансферты от государства:
(личный доход: зарплата, рента, процент, дивиденды) =
= (личный доход (без трансфертов): зарплата, рента, процент, дивиденды) + (трансфертные платежи),
4063 = 3295 + 768.
С точки зрения сбалансированности бюджета государства настораживает тот факт, что национальный доход (3064) оказывается меньше личного дохода (4063), поскольку часть национального дохода - это нераспределенные доходы корпораций (79), которые никак нельзя отнести к личному доходу.
	Примечание. К трансфертным платежам относятся 
	(1) выплаты по страхованию по старости и от несчастных случаев, пособия по безработице, основанные на социальных программах;
	(2) выплаты по вспомоществованию;
	(3) разнообразные выплаты ветеранам, например, субсидии на образование и пособия по нетрудоспособности;
	(4) выплаты частных пенсий и пособий по безработице и вспомоществованию;
	(5) процентные платежи, выплачиваемые правительством и потребителями [3, с.143].
	Ясно, что 
(личный доход: зарплата, рента, процент, дивиденды) =
= (индивидуальные налоги) + (чистый доход домохозяйств),
4063 = 590 + 3473.
Следовательно, средняя ставка индивидуальных налогов составляет 14,5%.
	Очевидно, 
(чистый доход домохозяйств) = (личные сбережения) +
+ (личные потребительские расходы),
3473 = 247 + 3226.
В кейнсианской макроэкономической теории большое значение имеет склонность к сбережению. Для США 1988 г. этот коэффициент равен 7,1%.
	Основное соотношение для ВНП имеет вид:
ВНП = (личные потребительские расходы) + (государственные закупки товаров и услуг) + (инвестиции бизнеса) + (чистый экспорт),
4862 = 3226 + 964 + 765 - 93.
Заслуживает анализа хозяйственная деятельность государства (второе слагаемое в последней формуле для ВНП) и бизнеса (третье слагаемое в той же формуле).
	Хозяйственная деятельность государства и бизнеса. Как видно из рис. 9.3, доходы государства складываются из следующих источников: 
(доходы государства) = (косвенные налоги на бизнес) + 
+ (налоги на прибыли корпораций) + (взносы на социальное страхование) + (индивидуальные налоги),
1573 = 393 + 145 + 445 + 590,
Согласно той же схеме, расходы государства таковы:
(расходы государства) = (государственные закупки товаров и услуг) +  (трансфертные платежи),
1732= 964 + 768.
Следовательно, расходы государства превышают его доходы на 159 млрд. долл. Этот факт никак не разъясняется в [3].
	Одно из возможных разъяснений может состоять в том, что отдельные разделы монографии Макконнелла и Брю не соответствуют друг другу. Так, проведенные выше рассуждения исходили из схемы на с.144 этой монографии, на которой финансовый поток (трансфертные платежи) ведет от блока (государство) к блоку (личный доход). Однако на с.143 той же книги подробно разъясняется понятие «трансфертные платежи» (это разъяснение процитировано выше), и из сказанного там ясно, что трансфертные платежи осуществляют не только государство.
	Естественно выбрать другой путь снятия противоречия - ввести специальный блок (другие источники финансирования государства) с наполнением в 159 млрд. долл. К «другим источникам» могут относиться доходы от государственных предприятий, от внешнеэкономической деятельности государства, от эмиссии наличности и ценных бумаг и т.д. 
 	Перейдем к рассмотрению блока (бизнес). Согласно [3] 
(доходы бизнеса) = (амортизационные отчисления) 
+ (нераспределенные доходы корпораций) + (личные сбережения),
831 = 505 + 79 + 247,
в то время как 
(расходы бизнеса) = (инвестиции бизнеса, включаемые в ВНП) = 765.
	Итак, доходы бизнеса превышают его расходы на 66 млрд. долл. Этот факт никак не разъясняется в [3]. Одно из объяснений может состоять в некоторой условности отнесения личных сбережений к доходам бизнеса, с помощью которых он осуществляет инвестиции. Обычно считается, что личные сбережения хранятся в банках, а банки из этих средств выдают кредиты бизнесу. Однако очевидно, что некоторая часть поступивших в банк средств должна использоваться для обеспечения бесперебойной работы банка (с помощью государственной резервной системы, т.е. храниться в качестве резерва в центральном банке, а не выдаваться бизнесу в кредит). Кроме того, часть кредитов может быть не связана с инвестициями (хотя согласно [3] строительство частных домов учитывается в блоке (инвестиции бизнеса), но кредиты частным лицам не сводятся к кредитованию строительства).
	Пойдем другим путем снятия противоречия - введем специальный блок (накопления бизнеса) с наполнением в 66 миллиардов долларов. Можно считать, что эти накопления выражены в денежной форме и в форме ценных бумаг, но не в виде материальных инвестиций, как в блоке (инвестиции бизнеса).
	Выводы по результатам анализа данных, приведенных в книге Макконнелла и Брю [3]:
	1, Методология подхода, кратко именуемого ЖОК, позволяет адекватно анализировать схемы типа приведенной на с.144 известной монографии Макконнелла и Брю [3].
	2. Методология ЖОК позволяет выявлять «дыры» (нарушения балансовых соотношений) в подобных схемах.
	3. Дальнейшие усовершенствования схем типа рассмотренной приводят к достаточно сложным построениям т.н. «национального счетоводства» [5]. Не со всеми построениями «национального счетоводства» можно согласиться. Так, вряд ли можно научно обосновать утверждение о том, что банки создают такую большую долю ВНП, как 13%.
	4. Схемы типа приведенной на с.144 известной монографии Макконнелла и Брю [3], основанные на количественных соотношениях, внешне представляются более обоснованными, чем схемы метода ЖОК. Однако при реальном использовании они не являются более полезными для решений стоящих в тематике ЖОК задач, чем схемы, основанные на экспертной оценке непосредственных влияний факторов. Связано это с достаточно большим произволом при формулировках определений численных значений.
	5. На основе данных схемы, приведенной на с.144 известной монографии Макконнелла и Брю [3], может быть построена модель «Расчет ВНП» типа ЖОК (см. ниже). 
	ВВП и ВНП. ВНП отличается от валового внутреннего (отечественного) продукта (ВВП) на величину доходов от экономической деятельности, полученных из-за границы, за вычетом аналогичных доходов, переданных другим странам. Другими словами, ВВП рассчитывается по всем предприятиям, действующим внутри рассматриваемой страны, независимо от доли иностранной собственности в тех или иных предприятиях. В отличие от ВВП, ВНП разделяет предприятия по стране принадлежности. Конкретно, для расчета ВНП надо к ВВП добавить доходы отечественных предприятий, полученные за рубежом, и вычесть доходы зарубежных структур, полученные на территории нашей страны. Понятны сложности, связанные с деятельностью транснациональных корпораций, с акционерными обществами (совместными предприятиями), объединяющими капиталы из различных стран. Очевидно, расчет ВВП более прост и обоснован. Однако в учебниках по экономической теории укрепился рассказ о ВНП. 
	В странах, в которых подавляющая часть экономики принадлежит отечественным хозяйствующим субъектам, различие между ВНП и ВВП незначительно. Полагаем, что Россия относится к таким странам. 
	В российской экономической практике используется ВВП, а не ВНП. Например, согласно действующему законодательству финансирование Вооруженных Сил, образования, науки и др. установлено в процентах от ВВП.
	Модель ВНП. Модель ВНП построена на основе методологии ЖОК с помощью приведенного выше рис. 9.3. Она содержит 9 факторов (табл. 9.4), указанных на рис.9.3 под номерами 1-9. 
	Взаимовлияния основных макроэкономических характеристик приведены на рис. 9.4. 
	Степень влияния одного фактора на другой оценивалась по количественным данным, приведенным выше. Например, если из ВНП (4862 млрд. долл.) в чистый национальный продукт переходит 4357 млрд. долл., то влияние оценивается величиной 4357/4862 = 0,90, Другим примером является взаимоотношение блоков (государство) и (чистый доход домохозяйств). С одной стороны, государство берет 590 млрд. долл.  индивидуальных налогов, с другой - выплачивает 768 млрд. долл.  трансфертных платежей. Эти финансовые потоки объединяются, и итог - 178 миллиардов в пользу домохозяйств.

Таблица 4.
Факторы модели «Расчет ВНП».
1,	Государство (как хозяйствующий субъект)	
2.	Валовой национальный продукт	
3.	Чистый национальный продукт	
4.	Национальный доход	
5.	Чистый доход домохозяйств (после уплаты налогов)	
6.	Чистый экспорт (экспорт минус импорт)	
7.	Бизнес (как объединение хозяйствующих субъектов)	
8.	Другие источники финансирования государства  	
9. 	Накопления бизнеса   	

	Модель ВНП содержит 14 связей. Они приведены в табл. 9.5. В каждой паре указана сила воздействия первого элемента на второй. 

Таблица 9.5
Связи между факторами модели «Расчет ВНП»
3-1	Величина чистого национального продукта влияет на государство (как хозяйствующий субъект) с коэффициентом влияния 0,09.	
4-1	Национальный доход влияет на государство (как хозяйствующий субъект) с коэффициентом влияния 0,15.	
8-1	Другие источники финансирования государства влияют на государство (как хозяйствующий субъект) с коэффициентом влияния 1,0.	
1-2	Государство (как хозяйствующий субъект) влияет на  валовой национальный продукт с коэффициентом влияния 0,56.	
5-2	Чистый доход домохозяйств (после уплаты налогов) влияет на валовой национальный продукт с коэффициентом влияния 0,93.	
6-2	Чистый экспорт (экспорт минус импорт) влияет на валовой национальный продукт с коэффициентом влияния (-1.0).	
7-2	Бизнес (как объединение хозяйствующих субъектов) влияет на валовой национальный продукт с коэффициентом влияния 0,31.	
2-3	Валовой национальный продукт влияет на чистый национальный продукт с коэффициентом влияния 0,90.	
3-4	Чистый национальный продукт влияет на национальный доход с коэффициентом влияния 0,91.	
1-5	Государство (как хозяйствующий субъект) влияет на чистый доход домохозяйств (после уплаты налогов) с коэффициентом влияния 0,10.	
4-5	Национальный доход влияет на чистый доход домохозяйств (после уплаты налогов) с коэффициентом влияния 0,68.	
4-7	Национальный доход влияет на бизнес (как объединение хозяйствующих субъектов) с коэффициентом влияния 0,02.	
5-7	Чистый доход домохозяйств (после уплаты налогов) влияет на бизнес (как объединение хозяйствующих субъектов) с коэффициентом влияния 0,07.	
7-9	Бизнес (как объединение хозяйствующих субъектов) влияет на накопления бизнеса с коэффициентом влияния 0,08.	

 	Перспективные направления математико-компьютерного развития системы ЖОК. Технология ЖОК и ее программное обеспечение могут быть развиты в различных направлениях с целью расширения их познавательных и прикладных возможностей. 
	Применение аппарата нечетких множеств. В процессе распространения влияний факторов переход от одного фактора к другому может происходить многими путями. Возникает два вопроса:
	- как рассчитать итоговое влияние при движении по фиксированному пути, если заданы коэффициенты непосредственного влияния между соседними факторами на этом пути?
	- как свести вместе результаты влияний по различным путям?
	В описанном выше варианте системы ЖОК в ответ на первый вопрос заданные коэффициенты непосредственного влияния между соседними факторами перемножают, а результаты влияний по различным путям складывают.
	Представляется целесообразным использовать альтернативный вариант на основе концепций теории нечетких множеств. Например, итоговое влияние при движении по фиксированному пути рассчитывается как минимум заданных коэффициентов непосредственного влияния между соседними факторами на этом пути, а для получения итогового результата влияния находится максимум из результатов влияний по различным путям. Имеется ряд аргументов против используемой ныне процедуры и за предлагаемую процедуру.
	Синтез с количественными эконометрическими моделями . Соединение основанной на не вполне количественных экспертных оценках технологии ЖОК с достаточно развитой технологией количественных эконометрических уравнений, в частности, использование лагов, т.е. не непосредственных влияний, а влияний с задержкой, представляет несомненный теоретический и практический интерес. Можно сравнить методологию ЖОК с эконометрической моделью, в которой исходные данные и правила перехода задаются экспертами в шкале порядка. При движении в обсуждаемом направлении необходимо дистанцироваться от попыток использовать нормальные распределения, поскольку подобных распределений в реальной экономике не может быть в принципе. Другие параметрические модели, в частности, логарифмически нормальные распределения, могут иметь ограниченную область полезности, но наиболее обоснованным является непараметрический подход.
	Автоматизированное изучение устойчивости выводов по отношению к малым отклонениям начальных данных и матрицы взаимовлияний. Поскольку точность всех исходных экспертных оценок очевидным образом мала, необходимо изучить выводы на устойчивость. Это может быть сделано «малой кровью», путем добавления в компьютерную систему ЖОК блока, который бы моделировал описанные выше малые отклонения и выдавал исследователи распределение (разброс) получаемых при этом выводов. С научной точки зрения этот подход - один из вариантов метода размножения выборок, кратко - бутстрепа (см. главу 16). 
	Система ЖОК получила название по первым буквам основных разработчиков (В.Н. Жихарев, А.И. Орлов, В.Г. Кольцов). Опыт практического применения этой системы описан в работах [6, 7]. Система ЖОК развивает идеи когнитивного подхода при решении слабоструктурированных задач, разработанного в Институте проблем управления РАН [8, 9], но на основе иного математического обеспечения. 
	Метод ЖОК может найти широкое применение для анализа экономического состояния и перспектив развития промышленных предприятий, банков, различных государственных и коммерческих структур [10]. Представленные в настоящем разделе материалы и результаты свидетельствуют о целесообразности дальнейшего развития рассматриваемой тематики с целью получения новых теоретических и практических результатов.
	Подведем итоги главы. Рассмотрены методы анализа и моделирования временных рядов. Они используются прежде всего для прогнозирования технических, социально-экономических, медицинских и иных процессов. Надо отметить, что как самим временным рядам, так и вопросам их прогнозирования посвящена огромная литература. Наряду с вероятностно-статистическими методами при прогнозировании активно применяют экспертные методы (см. главу 11).
	В главах 7 и 9 рассмотрены лишь основы и отдельные вопросы статистики временных рядов. Эта область - одна из наиболее обширных и сложных (с математической точки зрения) в прикладной статистике. Читатель, желающий глубже познакомиться с такой специфической ветвью прикладной статистики, как статистика временных рядов, должен обратиться к имеющимся в большом разнообразии литературным источникам.

Литература

1. Интрилигейтор М., Макинтайр Р., Тейлор Л., Эмсден А. Стратегия эффективного перехода и шоковые методы реформирования российской экономики. - В сб.: Шансы российской экономики / Под ред. Ю.М.Осипова, Е.С.Зотовой. - М.: Изд-во ТЕИС, 1997. - С.168-195. 
2. Орлов А.А., Орлов А.И. Нобелевские лауреаты - за государственное регулирование экономики. -  Журнал «Обозреватель - Observer», 1998, №1, с.44-46. Перепечатано в кн.: Современная политическая история России (1985-1998), т.1. Хроника и аналитика. - М.: «Духовное наследие»- РАУ-Корпорация, 1999. - С.909-911.
3. Макконнелл Кэмпбелл Р., Брю Стэнли Л. Экономикс: Принципы, проблемы и политика. В 2-х т.: Т.1. Пер. с англ. 11-го изд. - М.: Республика, 1995. - 400 с.
4. Налоги / Под ред. Д.Г.Черника. - М.: Финансы и статистика, 1998. - 688 с. 
5. Национальное счетоводство / Под ред. Г.Д.Кулагиной. - М.: Финансы и статистика, 1997. - 448 с.
6. Жихарев В.Н., Кольцов В.Г., Орлов А.И. Эконометрический метод оценки результатов влияния / Тезисы конференции «Организация производства на предприятиях в современных условиях». - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999. - С.113-114.
7. Орлов А.И., Жихарев В.Н., Кольцов В.Г. Новый эконометрический метод «ЖОК» оценки результатов взаимовлияний факторов в инженерном менеджменте. - В сб.: Проблемы технологии, управления и экономики. / Под общей редакцией к.э.н. Панкова В.А. Ч.1. Краматорск: Донбасская государственная машиностроительная академия, 1999. - С.87-89.
8. Максимов В.И., Корноушенко Е.К. Аналитические основы применения когнитивного подхода при решении слабоструктурированных задач // Труды Института проблем управления РАН, 1998. №2. С. 95—109.
9. Корноушенко Е.К., Максимов В.И. Управление процессами в слабоформализированных средах при стабилизации графовых моделей среды // Труды Института проблем управления РАН, 1998. №2. С. 110-146.
10. Орлов А.И. Моделирование и оценка результатов взаимовлияний факторов с помощью системы «ЖОК». – Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций (CASC’2007) / Труды VII Международной конференции / Под ред. З.К. Авдеевой, С.В. Ковриги. – М.: Институт проблем управления РАН, 2007. - С.214-217.

Контрольные вопросы и задачи

1. Сколько факторов используют при построении моделей многомерных временных рядов с помощью системы ЖОК?
2. Сколько взаимосвязей между факторами используют при построении моделей с помощью системы ЖОК?
3. В чем состоит один шаг учета взаимовлияний факторов в системе ЖОК?
4. Какая эконометрическая модель лежит в основе системы ЖОК?
5. На чем основана сходимость к соответствующим пределам оценок факторов в системе ЖОК?
6. Чем сценарии типа «Активный» отличаются от сценариев типа «Цель»?

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1. Различные виды экспертных оценок при построении моделей многомерных временных рядов с помощью системы ЖОК.
2. Роль оцифровки качественных оценок при использовании системы ЖОК.
3. Существование равновесных состояний при  различных режимах использования системы ЖОК.
4. Система ЖОК как способ получения нового экономического знания (на примере двух типов моделей динамики налогооблагаемой базы подоходного налога НФЛ-18 и НФЛ-19).
5. Сравнение вариантов практического применения системы ЖОК в случае использования качественных и количественных признаков.

Глава 10. Статистические модели управления качеством

	Одна из наиболее важных областей статистических методов, приносящая к тому же наибольший доход - это обеспечение качества, основанное на применении статистического моделирования. Статистическим методам управления качеством и сертификации и посвящена настоящая глава.

10.1. Основы статистического контроля качества
 
	Сначала дадим общие сведения о месте статистических методов в принятии решений при управлении качеством и сертификации продукции. Затем рассмотрим статистический контроль качества и продемонстрируем его высокую экономическую эффективность.
	Качество продукции в современных условиях. Слова «сертификация», «международные стандарты ИСО (т.е. разработанные International Standardization Organization - Международной организацией по стандартизации, сокращенно ISO, по-русски - ИСО) серии 9000 по системам качества» уже навязли в зубах. Менее осознано в нашей стране, что управление качеством – прежде всего применение современных методов статистического моделирования. На Западе (США) и на Востоке (Япония) это - аксиома. Вот типичное высказывание японского менеджера и инженера: «Методы статистики - именно то средство, которое  необходимо изучить, чтобы внедрить управление качеством. Они - наиболее важная составная часть комплексной системы всеобщего управления качеством на фирме. В японских корпорациях все, начиная от председателя Совета Директоров и до рядового рабочего в цехе, обязаны знать хотя бы основы статистических методов». Так считает Каору Исикава, президент промышленного института Мусаси, заслуженный профессор Токийского университета [1, с.15].
	Раз все японские работники знают про статистические  методы - значит, их научили в школе. Во всем мире - в США, Японии и Ботсване - школьники учат статистические методы как один из обязательных школьных предметов, вместе с физикой, химией, математикой и историей. ЮНЕСКО регулярно проводит конференции по преподаванию статистики в средней школе. И вот всем виден результат - качество компьютеров IBM и японских телевизоров. Справедливости ради надо отметить, что популярные ныне международные стандарты ИСО серии 9000 ничем принципиально не отличаются от давних документов комплексных систем управления качеством продукции (КС УКП), а в некоторых отношениях КС УКП были более прогрессивными, чем нынешние стандарты ИСО 9000.  
	Очевидно, овладение основами статистического контроля качества продукции - неотъемлемая часть образования менеджера и инженера.
	О сертификации. Сертификация - это официальная гарантия поставки производителем продукции, удовлетворяющей установленным требованиям. Поставщики и продавцы должны иметь сертификаты качества на предлагаемые ими товары и услуги. Маркетинг включает в себя работы по сертификации. 
	За новыми терминами зачастую скрываются хорошо известные понятия, несколько модернизированные в соответствии с современной  обстановкой. Так, целесообразно связать КС УКП с маркетингом: как утверждают специалисты, маркетинг в широком смысле - это усовершенствованная, ориентированная на рыночную экономику КС УКП.
	Есть несколько уровней сертификации. Говоря о сертификации продукции, могут иметь в виду качество конкретной её партии. В ряде случаев это оправдано - рядового потребителя интересует качество лишь той единицы продукции, которую он сам приобрёл. Однако установление долговременных хозяйственных связей целесообразно лишь в случае, когда поставщик гарантирует высокое качество не одной, а всех партий своей продукции. Очевидно, для этого должны быть проведены оценка и сертификация технологических процессов и производств, обеспечивающих выпуск этой продукции.
	Ещё больше повышается доверие к поставщику, если не только отдельные технологические процессы, но и всё предприятие в целом гарантированно выпускает продукцию высокого качества. Это обеспечивается действующей на предприятии системой качества, удовлетворяющей требованиям Международной организации по стандартизации, выраженным в системе стандартов ИСО 9000.
	В условиях рыночной экономики основная характеристика товара - его конкурентоспособность. Очевидно, производителю необходимо уметь оценивать конкурентоспособность перед запуском продукции в производство или началом работы по продвижению на зарубежный рынок. Один из основных компонентов конкурентоспособности - технический уровень продукции. Фирма, обладающая патентом или новой научно-технической разработкой, имеет более высокий излишек производителя по сравнению с другими фирмами. При принятии решений о выборе направления инвестиционных вложений одна из основных учитываемых характеристик - технический уровень продукции.
	Из сказанного вытекает, что сертификация продукции - это современная форма управления качеством продукции. На Западе общепринято, что основная составляющая в управлении качеством продукции - это статистические методы. В нашей стране внедрение комплексных систем управления качеством (КС УКП), надо признать, сводилось во многом к подготовке документации. Статистические методы использовались в промышленности недостаточно, а государственные стандарты по этой тематике зачастую содержали грубейшие ошибки (см. ниже).
	Подготовка предприятий к сертификации продукции, технологических процессов и производств, систем качества требует приложения труда квалифицированных специалистов, причем в достаточно большом объеме. Подобную работу обычно проводят специализированные организации.
	О развитии статистических методов сертификации в России. Более 150 лет статистические методы применяются в России для проверки соответствия продукции установленным требованиям, т.е. для сертификации. Так, еще в 1846 г. действительный член Петербургской академии наук М.В. Остроградский рассматривал задачу статистического контроля партий мешков муки или штук сукна армейскими поставщиками. С тех пор в России в статистическом контроле качества было сделано многое, особенно в области теории: Кроме классических монографий Ю.К. Беляева и Я.П. Лумельского выпущены практические руководства, в основном переводные.
	С начала 1970-х гг. стали разрабатываться государственные стандарты по статистическим методам. В связи с обнаружением в них грубых ошибок 24 из 31 государственного стандарта по статистическим методам были отменены в 1986-87 гг. (перечень стандартов и описание ошибок приведены в работе [2]). К сожалению, потеряв правовую силу как нормативные документы, ошибочные стандарты продолжают использоваться как научно-технические издания.
	В 1989 г. был организован Центр статистических методов и информатики (ЦСМИ) для работ по развитию и внедрению современных статистических методов. Уже к середине 1990 г. ЦСМИ разработаны 7 диалоговых систем по современным статистическим методам управления  качеством (подробнее см. статью [2] и раздел 10.4).
	Параллельно ЦСМИ вел работу по объединению статистиков. В апреле 1990 г. в Московском энергетическом институте прошла Учредительная конференция Всесоюзной организации по статистическим методам и их применениям. На Учредительном съезде Всесоюзной статистической ассоциации (ВСА) в октябре 1990 г. в Московском экономико-статистическом институте эта организация вошла в состав ВСА в качестве секции статистических методов. В 1992г. после развала СССР и фактического прекращения работы ВСА на основе секции статистических методов ВСА организована Российская ассоциация по статистическим методам (РАСМ), а затем и Российская академия статистических методов, существующие и в настоящее время. Коллективными усилиями разработан единый подход к проблемам принятия решений в сертификации и управлении качеством на основе применения современных статистических методов.
	Статистический контроль - это выборочный контроль на научной основе. Контроль качества продукции всем знаком хотя бы по названию - им обычно занимается отдел технического контроля (ОТК) предприятия. Есть различные виды контроля -  входной контроль, приемочный контроль (готовой продукции), и контроль при передаче полуфабрикатов и комплектующих из цеха в цех. Кроме сплошного контроля всех изделий подряд применяют выборочный, когда о качестве партии продукции судят по результатам контроля некоторой части - выборки. 
	Зачем нужен выборочный контроль? Чтобы проверить качество спички - надо чиркнуть ею. Загорится - должное качество, не загорится - брак. Но повторно однажды зажженную спичку использовать уже нельзя. Поэтому партию спичек можно контролировать только выборочно. Партии консервов, лампочек, патронов - тоже. То есть при разрушающем контроле необходимо пользоваться выборочными методами и судить о качестве партии продукции по результатам контроля её части - выборки.
	Выборочные методы контроля могут применяться и из экономических соображений, когда стоимость контроля высока по сравнению со стоимостью изделия. Например, вряд ли целесообразно визуально проверять качество каждой скрепки в каждой коробке.
	Для проведения выборочного контроля необходимо сформировать выборку, выбрать план контроля. А если план имеется - полезно знать его свойства. Анализ и синтез планов проводят с помощью математического моделирования на основе теории вероятностей и математической статистики, применяя компьютерные диалоговые системы (пакеты программ).
	Компьютерные диалоговые системы позволяют, прежде всего, проводить анализ и синтез планов контроля. Пусть перед вами - ГОСТ на продукцию, в нем есть раздел «Правила приемки» с планами контроля. Хороша эта система планов или плоха? С помощью диалоговых систем Вы найдете характеристики конкретного плана, приемочный и браковочный уровни дефектности (см. ниже) и т.д. Можно провести и синтез планов, т.е. компьютер поможет принять решение в новых условиях - подберет план, удовлетворяющий вашим условиям.
	РАСМ проанализированы сотни стандартов на конкретную продукцию (разделы «Правила приемки») и ГОСТы по статистическим методам. Обнаружено, что более половины и тех и других стандартов содержат грубые ошибки, пользоваться ими нельзя. Причины появления ощибок проанализированы в статье [2].  
	 По оценкам РАСМ, применение современных статистических методов позволяет в среднем вдвое сократить трудозатраты на контрольные операции (как известно, они составляют примерно 10% от себестоимости машиностроительной продукции). Следовательно, от повышения эффективности решений менеджеров на основе внедрения современных статистических методов обеспечения качества продукции Россия может получить более 5 млрд. долл. дополнительного дохода в год.
	Приведем ещё два сообщения о высокой экономической эффективности статистического контроля [3]. «Мы документально зафиксировали экономию от применения методов статистического контроля и методов принятия решений, которым обучили наших сотрудников. Мы приближаемся к степени окупаемости около 30 долларов на 1 вложенный доллар. Вот почему мы получили такую серьезную поддержку от высшего руководства», - сообщает Билл Виггенхорн, ответственный за подготовку специалистов фирмы «Моторола». По подсчетам профессора Массачусетского технологического института Фримена, только статистический приемочный контроль давал промышленности США 4 млрд. долл. в 1958 г. (10 млрд. долл. в ценах 2010 г.), т.е. около 0,8% ВВП.
	Основы теории статистического контроля. Выборочный контроль, построенный на научной основе теории вероятностей и математической статистики, называют статистическим контролем. Организатора производства и менеджера выборочный контроль может интересовать не только в связи с качеством продукции, но и в связи, например, с контролем экологической обстановки, поскольку зафиксированные государственными органами экологические нарушения влекут штрафы и иные «неприятные» последствия. К выборочному контролю вынуждены прибегать при аудиторской проверке организации, поскольку сплошной анализ всего массива документов бухгалтерского или управленческого учета весьма трудоемок, а потому практически невозможен. Обсудим основные идеи статистического контроля.
	При статистическом контроле решение о генеральной совокупности – об экологической обстановке в данном регионе или о партии продукции - принимается по выборке, состоящей из некоторого количества единиц (отдельных документов бухгалтерского или управленческого учета, единиц экологического контроля или единиц продукции). Следовательно, выборка должна представлять партию, т.е. быть репрезентативной (представительной). Как эти слова понимать, как проверить репрезентативность? Ответ может быть дан лишь в терминах вероятностных моделей выборки (см. главу 1).
	Как известно, наиболее часто применяют биномиальную и гипергеометрическую модели. В первой из них предполагается, что результаты контроля n рассматриваемых единиц можно рассматривать как совокупность n независимых одинаково распределенных случайных величин Х1, Х2,....,Хn , где Хi = 1, если i‑ое измерение показывает, что имеется нарушение, т.е. превышено ПДК (предельная норма концентрации) или i‑ое изделие дефектно, и Хi = 0, если это не так. Тогда число Х превышений ПДК (при другой интерпретации - дефектных единиц продукции в партии) равно
Х= Х1+ Х2+...+ Хn .	(10.1)
	Из формулы (10.1) и Центральной предельной теоремы теории вероятностей (см. главу 14) вытекает, что при увеличении объема выборки n распределение Х сближается с нормальным распределением. Известно, что распределение Х имеет вид
Р(Х= k) =  Cnk pk (1—p)n-k , 	(10.2)
где Cnk - число сочетаний из n элементов по k, а p —уровень дефектности (в другой предметной области - в экологии - доля превышений ПДК в генеральной совокупности), т.е. p = Р(Хi = 1). Как известно, формула (10.2) задает биномиальное распределение.
	Вторая модель - гипергеометрическая - соответствует случайному отбору единиц в выборку. Пусть среди N единиц, составляющих генеральную совокупность, имеется D дефектных. Случайность отбора означает, что каждая единица имеет одинаковые шансы попасть в выборку. Более того, ни одна пара единиц не имеет преимущества перед любой другой парой при отборе в выборку. То же самое — для троек, четверок и т.д. Итак, каждое из  сочетаний по n единиц из N имеет одинаковую вероятность быть отобранным в качестве выборки, равную, очевидно, 1/.
	Отбор случайной выборки согласно описанным правилам организуют при проведении различных лотерей. Пусть Y —число дефектных единиц в такой выборке. Известно, что тогда P(Y = k) – гипергеометрическое распределение, т.е.
.		(10.3)
	Известно, что биномиальная и гипергеометрическая модели весьма близки, когда объем генеральной совокупности (партии) по крайней мере в 10 раз превышает объем выборки, т.е.  
Р(Х = k) = P(Y = k),	(10.4)
если объем выборки мал по сравнению с объемом партии. При этом в качестве p в формуле (10.4) берут D/N. 
	Близость результатов, получаемых с помощью биномиальной и гипергеометрической моделей, весьма важна с методологической точки зрения. Дело в том, что эти модели исходят из принципиально различных модельных предпосылок. В биномиальной модели случайность присуща каждой единице - она с какой-то вероятностью дефектна, а с какой-то - годна. В то же время в гипергеометрической модели качество определенной единицы детерминировано, задано, а случайность проявляется лишь в отборе, вносится инженером, экологом или экономистом при составлении выборки. 
	Соотношение (10.4) показывают, что во многих случаях нет необходимости выбирать одну из моделей, поскольку обе дают близкие численные результаты. Отличия проявляются при обсуждении вопроса о том, какую выборку считать представительной. Является ли таковой выборка, составленная из 20 изделий, лежащих сверху в первом вскрытом ящике? В биномиальной модели вполне допустим ответ «да», в гипергеометрической -  только «нет».
	Биномиальная модель легче для теоретического изучения, поэтому будем её рассматривать в дальнейшем. Однако при реальном контроле лучше формировать выборку, исходя из гипергеометрической модели. Это делают, выбирая номера изделий (для включения в выборку) с помощью датчиков псевдослучайных чисел на ЭВМ или с помощью таблиц псевдослучайных чисел. Алгоритмы формирования выборки встраивают в современные программные продукты по статистическому контролю.
	Планы статистического контроля и правила принятия решений. Под планом статистического контроля понимают алгоритм, т.е. правила действий при контроле. На «входе» при этом - генеральная совокупность (партия продукции), а на «выходе» - одно из двух решений: «принять партию» либо «забраковать партию». Рассмотрим несколько примеров.
	Одноступенчатые планы контроля (n, c): отобрать выборку объема n; если число дефектных единиц в выборке X не превосходит c, то партию принять, в противном случае забраковать. Число с называется «приемочным числом».
	Частные случаи: план (n, 0) - партию принять тогда и только тогда, когда все единицы в выборке являются годными; план (n, 1) - партия принимается, если в выборке все единицы являются годными или ровно одно - дефектное, во всех остальных случаях партия бракуется.
	Двухступенчатый план контроля (n, a, b) + (m, c): отобрать первую выборку объема n; если число дефектных единиц в первой выборке X не превосходит a, то партию принять; если число дефектных единиц в первой выборке X больше или равно b, то партию забраковать; во всех остальных случаях, т.е. когда Х больше a, но меньше b, следует взять вторую выборку объема m; если число дефектных единиц во второй выборке Y не превосходит c, то партию принять, в противном случае забраковать.
	Рассмотрим в качестве примера план (20, 0, 2) + (40, 0). Сначала берется первая выборка объема 20. Если все единицы в ней - годные, то партия принимается. Если две или больше - дефектные, партия бракуется. А если только одно - дефектное? В реальной ситуации в таких случаях начинаются споры между представителями предприятия и экологического контроля, или поставщика и потребителя. Говорят, например, что дефектная единица случайно попала в партию, что ее подсунули конкуренты или что при контроле случайно сделан неправильный вывод. Поэтому, чтобы споры пресечь, берут вторую выборку объема 40 (вдвое большего, чем в первый раз). Если все единицы во второй выборке - годные, партию принимают, в противном случае - бракуют.
	В реальной нормативно-технической документации - договорах на поставку, технических регламентах, стандартах, технических условиях, инструкциях по экологическому контролю и т.д. - не всегда четко сформулированы планы статистического контроля и правила принятия решений. Например, при описании двухступенчатого плана контроля вместо задания приемочного числа с может стоять загадочная фраза «результат контроля второй выборки считается окончательным». Остается гадать, как принимать решение по второй выборке. Менеджер, администратор (государственный служащий), инженер, эколог или экономист, занимающийся вопросами экологического контроля или контроля качества, должен первым делам добиваться кристальной ясности в формулировках правил принятия решений, иначе ошибочные и необоснованные решения, а потому и убытки неизбежны.
	Оперативная характеристика плана статистического контроля. Каковы свойства плана статистического контроля? Они, как правило, определяются с помощью функции f(p), связывающей вероятность p дефектности единицы контроля с вероятностью f(p) приемки партии, положительной оценки экологической обстановки или правильности ведения бухгалтерской документации по результатам контроля. Вероятность p того, что конкретная единица дефектна, называется входным уровнем дефектности, а указанная функция называется оперативной характеристикой плана контроля. Если дефектные единицы отсутствуют, р = 0, то партия всегда принимается, т.е. f(0) = 1. Если все единицы дефектные, р = 1, то партия наверняка бракуется, f(1) = 0. Между этими крайними значениями р функция f(p) монотонно убывает. При изучении свойств плана входной уровень дефектности р - свободный параметр, он может принимать любые значения между 0 и 1.
	Вычислим оперативную характеристику плана (n, 0). Поскольку партия принимается тогда и только тогда, когда все единицы являются годными, а вероятность того, что конкретная единица - годная, равна (1 ‑ р), то оперативная характеристика имеет вид
f(p) = Р(Х=0) = (1—р)n.	(10.5)
Для плана (n, 1) оперативная характеристика, как легко видеть, такова:
f(p) = Р(Х=0)+Р(Х=1) = (1—р)n + nр (1—р)n-1.	(10.6)
	Оперативные характеристики для конкретных планов статистического  контроля не всегда имеют такой простой вид, как в случае формул (10.5) и (10.6). Рассмотрим в качестве примера план (20, 0, 2) + (40, 0). Сначала найдем вероятность того, что партия будет принята по результатам контроля первой партии. Согласно формуле (10.5) имеем:
f1(p) = Р(Х=0) = (1—р)20.
Вероятность того, что понадобится контроль второй выборки, равна 
Р(Х=1) = 20р(1—р)19.
При этом вероятность того, что по результатам её контроля партия будет принята, равна
f2(p) = Р(Х=0) = (1—р)40.
Следовательно, вероятность того, что партия будет принята со второй попытки, т.е. что при контроле первой выборки обнаружится ровно одна дефектная единица, а затем при контроле второй — ни одной, равна
f3(p) = Р(Х=1) f2(p) = 20р(1—р)19(1—р)40 = 20р(1—р)59.
Следовательно, вероятность принятия партии с первой или со второй попытки равна
f(p) = f1(p) + f3(p) = (1—р)20+ 20р(1—р)59.
При практическом применении методов статистического приемочного контроля для нахождения оперативных характеристик планов контроля вместо формул, имеющих обозримый вид лишь для отдельных видов планов, применяют численные компьютерные алгоритмы или заранее составленные таблицы.
	Риск поставщика и риск потребителя, приемочный и браковочный уровни дефектности. С оперативной характеристикой связаны важные понятия приемочного и браковочного уровней дефектности, а также понятия «риск поставщика» и «риск потребителя». Чтобы ввести эти понятия, на оперативной характеристике выделяют две характерные точки, делящие входные уровни дефектности на три зоны (области) - А, Б и В. В зоне А почти всегда все хорошо, а именно - почти всегда экологическая обстановка признается благополучной, почти все партии принимаются. В зоне В, наоборот, почти всегда все плохо, а именно - почти всегда экологический контроль констатирует экологические нарушения, почти все партии бракуются. Зона. Б - буферная, переходная, промежуточная, в ней как вероятность приемки, так и вероятность браковки заметно отличаются от 0 и 1. Для задания границ между зонами выбирают два малых числа—риск поставщика (производителя, предприятия)  и риск потребителя (заказчика, системы экологического контроля) , при этом границы между зонами задают два уровня дефектности - приемочный pпp и браковочный pбр, определяемые из уравнений
f(pпp) = 1—,  f(pбр) = . 	(10.7)
	Таким образом, если входной уровень дефектности не превосходит pпp, вероятность забракования партии мала, т.е. не превосходит . Приемочный уровень дефектности выделяет зону А значений входного уровня дефектности, в которой нарушения экологической безопасности почти всегда не отмечаются, партии почти всегда принимаются, т.е. соблюдаются интересы проверяемого предприятия (в экологии), поставщика (при контроле качества). Это - зона комфортности для поставщика. Если он обеспечивает работу (входной уровень дефектности) в этой зоне, то его практически никогда никто не потревожит.
	Если же входной уровень дефектности больше браковочного уровня дефектности pбр, то нарушения почти наверняка фиксируются, партия почти всегда бракуется, т.е. экологи узнают о нарушениях, потребитель оказывается защищен от попадания к нему партий со столь высоким уровнем брака. Поэтому можно сказать, что в зоне В соблюдаются интересы потребителей - брак к ним не попадает.
	При выборе плана контроля часто начинают с выбора приемочного и браковочного уровней дефектности. При этом выбор конкретного значения приемочного уровня дефектности отражает интересы поставщика, а выбор конкретного значения браковочного уровня дефектности - интересы потребителя. Можно доказать (см. следующий раздел), что для любых положительных чисел  и  и любых входных уровней дефектности pпp и pбр, причем pпp меньше pбр, найдется план контроля (n, c) такой, что его оперативная характеристика f(p) удовлетворяет неравенствам
f(pпp) > 1 - ,  f(pбр)  < .
При практических расчетах обычно принимают  = 0,05 (т.е. 5%) и  = 0,1 (т.е. 10%).
	В качестве примера вычислим приемочный и браковочный уровни дефектности для плана (n, 0). Из формул (10.5) и (10.7) вытекает, что
(1 - pпp)n = 1 - , pпp = 1 - (1 - )1/n.
Поскольку риск поставщика  мал, то из известного соотношения математического анализа 

вытекает приближенная формула
pпp 
Для браковочного уровня дефектности имеем
pбр = 1 - 1/n.
	Пример. Для плана (10, 0) pпp = 0,05/10 = 0,005 (т.е. допустим один дефект на 200 возможностей), а pбр = 1 – 0,11/10 = 1 – 0,794 = 0,206 (один дефект на 5 возможностей).
	При практическом применении методов статистического приемочного контроля аналитическими формулами, имеющих обозримый вид лишь для отдельных видов планов, не пользуются. Для нахождения приемочных и браковочных уровней дефектности планов контроля вместо них применяют численные компьютерные алгоритмы или заранее составленные таблицы. Такие таблицы имеются в нормативно-технической документации или научно-технических публикациях.
	Предел среднего выходного уровня дефектности. Обсудим судьбу забракованной партии продукции. В зависимости от ситуации эта судьба может быть разной. Партия может быть утилизирована. Например, забракованная партия гвоздей может быть направлена на переплавку. У партии может быть понижена сортность, и она может быть продана по более низкой цене (при этом результаты выборочного контроля будут использованы не только для констатации того, что не выдержан заданный уровень качества, но и для оценки реального уровня качества). Наконец, партия продукции может быть подвергнута сплошному контролю (для этого обычно привлекают инженеров из всех заводских служб). При сплошном контроле все дефектные изделия обнаруживаются и либо исправляются на месте, либо извлекаются из партии. В результате в партии остаются только годные изделия. Такая процедура называется «контроль с разбраковкой». 
	При среднем входном уровне дефектности р и применении контроля с разбраковкой с вероятностью f(p) партия принимается (и уровень дефектности в ней по-прежнему равен р) и с вероятностью (1 - f(p)) бракуется и подвергается сплошному контролю, в результате чего к потребителю поступают только годные изделия. Следовательно, по формуле полной вероятности средний выходной уровень дефектности равен
f1(p)= pf(p) +0(1 - f(p)) = pf(p).
Средний выходной уровень дефектности f1(p) равен 0 при р = 0 и р = 1, положителен на интервале (0; 1), а потому достигает на нем максимума, который в теории статистического контроля называется пределом среднего выходного уровня дефектности (сокращенно ПСВУД):
ПСВУД = 
	Пример. Рассмотрим план (n, 0). Для него f(p) = (1 - p)n и f1(p) = p(1-p)n. Чтобы найти ПСВУД, надо приравнять 0 производную среднего выходного уровня дефектности по среднему входному уровню дефектности:

В полученном уравнении корень р = 1 соответствует минимуму, а не максимуму. Поскольку непрерывная функция на замкнутом отрезке достигает максимума, то максимум достигается при 

Следовательно, 
ПСВУД = 	(10.8)
	По выражению (10.8) могут быть проведены конкретные расчеты. Однако оно довольно громоздко. Его можно упростить, используя один замечательный предел из курса математического анализа, а именно:
	(10.9)
Сравнивая соотношения (10.8) и (10.9), видим, что 
ПСВУД = 
Первая скобка равна 1/n, а вторая согласно соотношению (10.9) приближается к 0,368 при росте объема выборки. Поэтому получаем простую асимптотическую формулу 
ПСВУД 
Для более сложных планов ПСВУД рассчитывают с помощью более или менее сложных компьютерных программ. 
	При рассмотрении основ статистического контроля в настоящем пункте расчетные формулы удалось получить лишь для простейших планов, в основном для планов вида (n, 0). Если ослабить требования и рассчитывать не на точные формулы, а на асимптотические, при , то можно справиться и с одноступенчатыми планами вида (n, c). 

10.2. Асимптотическая теория одноступенчатых планов

	Пусть Х - число дефектных единиц продукции в выборке объема n. Принимаем, что распределение Х является биномиальным и имеет вид
Р(Х = k) = Cnk pk (1—p)n - k,
где Cnk - число сочетаний из n элементов по k, а 	p - входной уровень дефектности.
	Пусть используется одноступенчатый план контроля (n, c). Тогда оперативная характеристика этого плана имеет вид

	Пусть  Тогда по Закону больших чисел теории вероятностей (по теореме Бернулли) 

(сходимость по вероятности). 
	Значит, если с/n окажется заметно больше входного уровня дефектности р, то партии будут почти всегда приниматься, а если с/n окажется заметно меньше входного уровня дефектности р, то партии будут почти всегда отклоняться. Ситуация будет нетривиальной только там, где  величины с/n и р близки друг к другу. 
	Хотя оперативная характеристика рассчитывается с помощью сумм биномиальных вероятностей, анализировать эти суммы затруднительно. Поэтому целесообразно найти для нее приближение с помощью теоремы Муавра-Лапласа. Имеем цепочку тождественных преобразований:

Справа строит именно то выражение, которое участвует в теореме Муавра-Лапласа. Воспользовавшись равномерной сходимостью в этой теореме, можно записать, что 

где (х) - функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. 
	Последняя формула позволяет указать асимптотические выражения для приемочного и браковочного уровней дефектности. Действительно, согласно определениям этих понятий
	(10.10)
откуда с помощью элементарных преобразований получаем, что
	(10.11)
Так как величины с/n и р близки друг к другу, то при переходе от формулы (10.10) к формуле (10.11) в подкоренных выражениях приемочный и браковочный уровни дефектности заменены на c/n (с точностью до бесконечно малых более высокого порядка).
	Поскольку при практическом применении статистического приемочного контроля, как уже отмечалось, принимают  = 0,05,  = 0,10, то в предыдущие формулы следует подставить  = 1,64 и  Итак, итоговые формулы для приемочного и браковочного уровней дефектности имеют вид

	Перейдем к задаче синтеза. Пусть заданы приемочный и браковочный уровни дефектности. Требуется построить одноступенчатый план, имеющий эти характеристики. Из формул (10.10) следует, в частности, что
	(10.12)
Вычитая из первого уравнения второе, получаем, что

Следовательно, оценка необходимого объема выборки имеет вид
.
Для стандартных значений рисков = 0,05, =0,10 имеем:
 	(10.13)
	С помощью уравнений (10.12) нетрудно найти оценку с* приемочного числа, заменив неизвестный объем выборки на его оценку n*. Будем использовать оценку

Для стандартного значения  = 0,10 имеем
	(10.14)
	Итак, по формуле (10.13) можно рассчитать оценку объема выборки, затем по формуле (10.14) найти оценку приемочного числа. Необходимо отметить, что результаты расчетов по рассматриваемым асимптотическим формулам отнюдь не всегда дают целые числа, поэтому необходима корректировка полученных результатов – округление до целых чисел.
	Полученные формулы позволяют решить сформулированную выше задачу - по заданным приемочному и браковочному уровням дефектности подобрать такой одноступенчатый план контроля, что его оперативная характеристика f(p) удовлетворяет неравенствам
f(pпp) > 1 - ,  f(pбр)  < .
Поэтому при практической работе корректировка асимптотических результатов должна быть направлена на выполнение указанных неравенств. 
	Пример. Пусть pпp = 0,02, pбр = 0,09. Тогда по формуле (10.13) оценка объема выборки равна 

Полученное число не является натуральным, поэтому вполне естественно откорректировать объем выборки до ближайшего целого, т.е. до n* = 72.
	Оценку приемочного числа находим по формуле (10.14):

Полученное число не является целым, поэтому в качестве приемочного числа надо взять ближайшее целое, т.е. до 3.  
	Если объем выборки округлить до 73, то аналогично получим

При округлении снова получаем 3.
	С помощью первого из уравнений (10.12) можно построить оценку с* на основе приемочного уровня дефектности:
.
Подставив конкретные значения, получим практически ту же оценку, что и раньше:
.
	Итак, в результате асимптотических расчетов найден одноступенчатый план (72, 3).
 
10.3. Практическое применение статистического контроля
 
	Познакомившись с некоторыми основными понятиями, подходами и идеями теории статистического контроля качества, обсудим подробнее практические стороны этой технико-экономической области.
	Анализ и синтез планов контроля. На основе теории статистического контроля можно проанализировать планы контроля качества, имеющиеся в нормативно-технической документации (стандартах, технических условиях) и в договорах на поставку продукции и оказание услуг. Достаточно часто оказывается, что формулировки соответствующих разделов (разделов «Правила приемки», «Методы контроля» и др.) имеют различные недостатки и неточности, что может послужить в дальнейшем причиной к возникновению арбитражных ситуаций (т.е. решаемых через арбитражные или иные суды). 
	Если обсуждаемая система контроля качества выдерживает чисто логическую проверку, наступает вторая стадия - анализ с точки зрения теории статистического контроля. На этой стадии рассчитывают характеристики применяемых планов контроля. О некоторых из них уже шла речь - приемочный и браковочный уровни дефектности, предел среднего выходного уровня дефектности. Есть и иные показатели, например, средний используемый объем выборки, средняя стоимость контроля, и т.п. Особенно важна прогнозируемая доля арбитражных ситуаций (споров между предприятиями) при используемой системе контроля. 
	На стадии анализа возможны неожиданные «открытия». Например, может оказаться, что существующая система контроля качества, хотя и является формально безупречной, но защищает лишь от приемки столь плохих партий продукции, в которых более половины единиц продукции дефектно (т.е. для применяемых планов контроля браковочный уровень дефектности больше 0,5). Или что система контроля защищает интересы поставщиков, у которых каждое пятое изделие является бракованным (приемочный уровень дефектности равен 0,2).
	Замечание. До сих пор постоянно говорилось о контроле единиц и партий продукции. Однако нет никакого принципиального отличия с контролем услуг (медицинских, туристических, транспортных, образовательных, банковских и иных) или документации. Поэтому теория и практика статистического контроля качества продукции дает полезные рекомендации для банковского дела и бухгалтерского аудита. Надо только аккуратно заменить слова, описывающие предметную область применения теории статистического контроля.  
	После анализа ситуации с системой контроля естественно перейти к улучшению этой системы, к обоснованному выбору планов, к этапу синтеза. В зависимости от конкретных условий используются разнообразные подходы к выбору планов. Например, задают приемочный и браковочный уровни дефектности. В случае контроля с разбраковкой естественно использовать ограничения на предел среднего выходного уровня дефектности.
	Какая оптимизация планов статистического контроля возможна? Обсудим подробнее оптимизационные постановки в статистическом приемочном контроле. Очевидно, имеется три вида затрат и потерь:
	- затраты непосредственно на проведение контроля единиц продукции, включенных в выборку,
	- потери в случае неверного решения о забраковании партии продукции (в которой на самом деле доля дефектной продукции соответствует требованиям договора между поставщиком и потребителем или иной нормативно-технической документации);
	- потери в случае неверного решения о принятии партии продукции (в которой на самом деле доля дефектной продукции не соответствует требованиям договора между поставщиком и потребителем или иной нормативно-технической документации).
	Первые два вида затрат непосредственно связаны с деятельностью предприятия, на котором производится продукция, третий же вид затрат (потерь) формируется там, где она потребляется. С этим связана принципиальная сложность подсчета затрат третьего вида. Особенно эта сложность проявляется тогда, когда попадание к потребителю дефектных изделий может привести к авариям с человеческими жертвами. Тогда возникает вопрос: сколько стоит человеческая жизнь? Только оценив потери здоровья и жизни в денежных единицах, можно сформировать функционал качества плана статистического контроля и затем оптимизировать его. Поскольку невозможно (из этических и религиозных соображений) выразить стоимость человеческой жизни в денежных единицах, нельзя сформировать функционал качества плана статистического контроля и тем более оптимизировать его.
	К счастью, для большинства видов продукции вопрос о денежной оценке человеческой жизни не возникает. Проблема обычно «всего лишь» в том, что выпущенная продукция используется разнообразными конечными потребителями, а потому оценить отрицательный эффект повышения доли ее дефектности затруднительно.
	Поэтому наряду с функционалом качества, включающим все три вида затрат, рассматривают «условный» функционал на основе затрат первых двух типов, а на вероятность принятия партии продукции, в которой доля дефектной продукции не соответствует требованиям нормативно-технической документации, накладывают ограничение, т.е. третий вид затрат учитывают в качестве ограничения.
	Должны ли совпадать планы контроля у поставщика и потребителя? Естественно также по-разному проводить контроль у поставщика (производителя) и потребителя (заказчика). Пусть для определенности поставщик используют план  а потребитель -  Тогда естественно зафиксировать в договоре о поставке, что  Такая договоренность обеспечит тщательный контроль со стороны изготовителя и почти автоматическое подтверждение приемки со стороны потребителя (т.е. отсутствие спора). 
	Одна из распространенных догм: изготовитель и потребитель должны проводить контроль по одним и тем же планам контроля. Если план контроля и входной уровень контроля таков, что ситуация контроля относится к буферной зоне Б, т.е. вероятность приемки партии заметно отличается от 0 и 1, то указанная догма приводит к высокой вероятности спорных ситуаций. Пусть, например, оперативная характеристика равна 0,5. Пусть изготовитель принял партию (с вероятностью 0,5). После этого при независимом контроле у потребителя с той же вероятностью 0,5 она может быть отклонена и с вероятностью 0,5 принята. Значит, общий итог таков: 50% за то, что партия будет забракована у поставщика, 25% - за спорную ситуацию (поставщик принял, потребитель забраковал), 25% - за принятие и поставщиком и потребителем. Конечно, рассмотрен крайний случай - наиболее частое появление спорных ситуаций. Но реальное появление 10-15% арбитражных споров - это типовая ситуация в 80-е гг.
	Один из вариантов выбора планов контроля поставщиком и потребителем выглядит так. Стороны договариваются о некотором «приемлемом» входном уровне дефектности р*. Затем поставщик выбирает план контроля, используя р* как браковочный уровень дефектности, а потребитель - рассматривая р* как приемочный уровень дефектности. Подробнее об анализе, синтезе и оптимизации планов статистического контроля рассказано в специальной литературе.
	Усеченные планы. Пусть единицы продукции контролируются одна за другой (т.е. последовательно). Рассмотрим план статистического контроля (60, 3). Пусть при проверке единицы продукции появляются в таком порядке: дефектная, дефектная, дефектная, дефектная,… Четыре дефектные единицы подряд! Надо ли дальше проверять выборку? Исходя из здравого смысла - нет. Ведь совершенно неважно, каковы будут результаты по остальным 59-и единицам продукции, окажутся они годными или дефектными - 4 дефектные единицы уже есть, и партию следует забраковать. Контроль мог бы быть прекращен и тогда, когда при проверке 57 единиц все 57 окажутся годными - независимо от качества остальных 3 партию надо принимать.
	Усеченные планы - это планы статистического контроля, в которых контроль разрешается прекращать, если итог (принятие или забракование партии) становится ясен ранее, чем проведен контроль всех включенных в выборку единиц продукции. Усеченные планы применяются, когда единицы продукции поступают на контроль последовательно, одна за другой (или группа за группой). Это не всегда так. Если, например, план (60, 3) применяется для контроля качества электролампочек, и все 60 лампочек ввернуты в гнезда на испытательном стенде и одновременно включены, то подход  на основе усеченных планов применить нельзя.
	Возможность применения усеченных планов должна быть явным образом указана в нормативно-технической документации и в договорах на поставку. Опишем юридический казус, связанный с усеченными планами. В ГОСТе на штангенциркули предусмотрен план контроля (20, 0). Органы Госстандарта проверяли завод «Точнометр» (название изменено). Проверили первый штангенциркуль - дефектен, второй - дефектен,…, десятый - дефектен. На этом комиссия остановилась, вполне резонно (с точки зрения здравого смысла) решив, что партия штангенциркулей должна быть забракована. Органы Госстандарта наложили на завод «Точнометр» штраф за выпуск некачественной продукции (в соответствии с действующим в то время правопорядком). Однако завод опротестовал это решение в суде. И суд удовлетворил  протест, ссылаясь на то, что порядок проведения контроля качества штангенциркулей нарушен! Бракоделы не смогли бы уйти от наказания, если бы в соответствующих документах была бы прописана возможность использования усеченных планов.
	Выделение единиц бесформенной (жидкой, газообразной) продукции. Во всем предыдущем изложении постоянно встречается термин «единица продукции». Он вполне ясен, если речь идет об отдельных изделиях - дискетах, коробках спичек, патронах, бутылках минеральной воды, электробритвах, или отдельных деталях - болтах, гвоздях, пластмассовых дисках…  Однако многие виды продукции имеют иной вид - газообразный, жидкий или, как говорят, бесформенный (порошкообразный, желеобразный,…). Как быть с ними? В работе [4] предложен подход, позволяющий применить к бесформенной продукции методы статистического контроля качества. 
	Основное - это выделить единицу продукции. Она не должна быть очень малой, поскольку ясно, что в бесформенной продукции свойства вещества в близких точках близки. Основная идея - взять некоторое количество пар точек, отстоящих друг от друга на определенное расстояние, и выяснить, есть связь (т.е. значим ли ранговый коэффициент корреляции Спирмена - см. главу 6.1) между значениями изучаемого свойства в этих парах точек или нет. Если связь есть, значит, точки разнесены на недостаточное расстояние, другими словами, точки относятся к одной и той же единице продукции. Поэтому расстояние между точками надо увеличить. Если связь уже не обнаруживается, то это значит, что они относятся к разным единицам продукции. В процессе увеличения расстояния тем самым была оценена величина ребра куба, в виде которого условно представляем себе единицу бесформенной продукции. Разбив бесформенную продукцию на единицы, можно применять описанные выше подходы для контроля ее качества (подробнее см. [4]). 
	Отбор случайной выборки при статистическом контроле качества продукции. Как и при любом выборочном обследовании, при статистическом контроле качества продукции остро строит проблема отбора репрезентативной (представительной) выборки (см. главу 1 выше). Эта проблема усугубляется экономической заинтересованностью участников процесса. Наиболее научно-обоснованным является использование датчиков псевдослучайных чисел (а не таблиц или физических датчиков случайных чисел). 
	Исходя из экономической и технической целесообразности, популярна схема многоступенчатой выборки. Например, из 15 вагонов отобрать вагон № 5, из него - контейнер №3 около двери (из 12 контейнеров), из контейнера №3 - ящики №№ 7, 15 и 23, а из этих ящиков - каждое пятое изделие. При этом описании составления выборки совершенно ясно, что реально классическая случайная выборка может быть организована лишь при контроле контейнера №3, и остается только надеяться, что он является типичным для всей партии. 
	Всегда ли нужен контроль качества продукции? Чем выше достигнутый уровень качества, тем больше необходимый объем контроля - таков парадокс классической теории статистического контроля. Возможный выход состоит в переходе к принципиально новому подходу, обеспечивающему существенное расширение возможностей менеджера при выборе технической политики на основе учета экономических рисков. При этом оказывается, что даже «перекладывание» контроля на потребителя может быть экономически выгодно, если производитель организовал защиту от риска методом пополнения партий или путем развития технического обслуживания.
	В государственных стандартах, технических условиях, другой нормативно-технической документации, относящейся к потребительским товарам и услугам, различным изделиям, веществам, материалам, иным видам продукции, а также в договорах между поставщиками и потребителями обычно присутствуют разделы «Правила приемки и методы контроля». Поэтому, в частности, методы статистического контроля качества продукции являются важной составной частью статистических методов сертификации, которым посвящена работа [2]. Имеется соответствующая вероятностно-статистическая теория, посвященная анализу и синтезу (выбору) планов контроля. Однако эта теория вообще не предусматривает отказа от контроля, поскольку игнорирует возможность перехода на иную стратегию организации взаимоотношений поставщика и потребителя, например, на стратегию технического обслуживания, при которой выходной контроль не проводится, а обнаруженные потребителями дефектные изделия заменяются годными или ремонтируются. Основная обсуждаемая в настоящем пункте идея - обоснование необходимости включения теории статистического приемочного контроля в более широкую технико-экономическую теорию взаимоотношений поставщиков и потребителей и целесообразности перехода при повышении качества продукции от контроля качества к иным способам защиты потребителя, например, к развитому техническому обслуживанию или к поставке запасных единиц продукции.
	Использование экономических показателей при выборе планов статистического (выборочного) контроля пропагандировалось давно, но делалось это в рамках парадигмы обязательности контроля. Здесь рассматривается более широкая  система взглядов, согласно которой контроль качества продукции - лишь один из способов урегулирования взаимоотношений между поставщиками и потребителями.
	Речь идет об отказе от получения детальной информации, если она стоит слишком дорого, и переходе к использованию иных механизмов управления. Так, качественные методы химического анализа часто используют именно потому, что соответствующие количественные методы более трудоемки и дороги, но не намного полезнее с практической точки зрения. Пример из всем знакомой области: в средней школе знания учащихся контролируются еженедельно, в высшей же - один или несколько раз в семестр. Однако разница с точки зрения эффективности управления процессом обучения невелика. Другой пример: как показано в статистике интервальных данных, из-за погрешностей измерений нецелесообразно увеличивать их число сверх некоторого «рационального объема выборки», а для увеличения точности оценивания характеристик вероятностных распределений необходимо использовать более точные средства измерения. С учетом сказанного описываемый здесь подход представляется не столь необычным.
	Оценка снизу необходимого объема выборки. В теории статистического приемочного контроля качества продукции разработано много подходов к выбору планов контроля:
	- на основе приемочного и браковочного уровней дефектности;
	- исходя из предела среднего выходного уровня дефектности (при контроле с разбраковкой);
	- с использованием экономических показателей, относящихся к предприятию (см., например, ГОСТ 24660-81);
	- с использованием экономических показателей, относящихся к  народному хозяйству в целом; и т.д.
	Имеется обширная литература, посвященная обоснованию и сравнению этих подходов, разработке соответствующей математической теории и программного обеспечения. Не углубляясь в эти проблемы, сосредоточим внимание на одном парадоксальном явлении: при повышении качества выпускаемой продукции теория рекомендует увеличивать объем контроля! 
	Действительно, при повышении качества выпускаемой продукции требования потребителя, очевидно, обеспечиваются все лучше. Следовательно, должен уменьшаться браковочный уровень дефектности, т.е. то значение входного уровня дефектности, при котором вероятность приемки партии равна риску потребителя. Из всех планов с общим объемом контроля n минимум вероятности приемки партии (т.е. оперативной характеристики) достигается на одноступенчатом плане (n, 0). Согласно этому плану партия принимается тогда и только тогда, когда из n проверенных единиц продукции все оказываются годными. Другими словами, оперативная характеристика для плана (n, 0) является огибающей (снизу) множества всех оперативных характеристик. Следовательно, из всех планов с общим объемом контроля n минимум браковочного уровня дефектности достигается также на плане (n, 0). 
	В дальнейшем будем исходить из биномиальной модели выборки, согласно которой число дефектных единиц продукции в выборке объема n имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, где p - входной уровень дефектности. Как хорошо известно, эта модель является приближением для модели простой случайной выборки из партии, согласно которой указанное число имеет гипергеометрическое распределение. Напомним, что по чисто математическим причинам гипергеометрическая модель переходит в биномиальную, если объем партии безгранично возрастает, а доля дефектных единиц продукции в партии приближается к p. Если объем выборки составляет не более 10% объема партии, то с достаточной для практики точностью принимают, что соответствующее биномиальное распределение хорошо приближает гипергеометрическое.
	Примем обычное предположение: риск потребителя равен 0,10. Как известно, браковочный уровень дефектности pбр для плана (n,0) определяется из условия
(1 - pбр )n = 0,10.
Это соотношение дает возможность по заданному браковочному уровню дефектности pбр найти необходимый объем выборки:
n = ln 0,10 / ln (1 - pбр) = - 2,30/ln (1 - pбр).
Поскольку в силу сказанного ранее представляют интерес малые значения браковочного уровня дефектности, воспользуемся тем, что при малых x согласно правилам математического анализа 
ln (1 + x) = x + O (x2) .
Вторым слагаемым в правой части последней формулы, как обычно в асимптотических рассуждениях, можно пренебречь. Следовательно, необходимый объем выборки с достаточной точностью может быть найден по формуле
 n = 2,30/pбр  .	(10.15)
(При конкретных расчетах надо, очевидно, правую часть округлить до ближайшего целого числа.) Например, при довольно низком (с точки зрения мирового рынка) качестве выпускаемой продукции можно задать pбр = 0,01, т.е. потребовать, чтобы почти все (точнее, не менее 90%) партии, в которых дефектных единиц больше, чем 1 из 100, были забракованы и не достигли потребителя. Тогда объем контроля должен составлять не менее n = 230. 
	Основной парадокс теории статистического приемочного контроля. Как следует из сказанного выше, необходимый объем выборки, определяемый для какого-либо плана контроля по заданному браковочному уровню дефектности pбр, будет не меньше, чем для плана (n, 0), т.е. не меньше, чем 2,30/pбр.Таким образом, если достигнут достаточно высокий уровень качества, такой, что потребителю может попасть не более 1 дефектной единицы продукции из 10000, т.е. pбр = 0,0001, то объем контроля должен быть не меньше n = 23000. Если же качество повысится в 100 раз, т.е. потребителю сможет попасть не более 1 дефектной единицы продукции из 1000000, то объем контроля и затраты на него возрастут также в 100 раз, и минимально необходимый объем контроля составит 2,3 миллиона единиц продукции. Поскольку объем партий большинства (практически всех!) видов продукции существенно меньше этого числа, то проведенные выше расчеты говорят о необходимости перехода на сплошной контроль. 
	Итак, выводы парадоксальны: если качество выпускаемой продукции не очень хорошее, целесообразно проводить статистический (выборочный) контроль; если же качество возрастает, то объем контроля и затраты на него увеличиваются, вплоть до перехода на сплошной контроль. Если это возможно, т.е. контроль не является разрушающим. А если невозможно, то попадаем в тупиковую ситуацию - высокое качество не может быть подтверждено.
	В реальных ситуациях объемы контролируемых выборок - единицы или десятки, но обычно отнюдь не сотни и тысячи. Если контролируются 100 изделий, то согласно формуле (10.15) браковочный уровень дефектности равен 2,3%. И это - предел для реально используемых объемов контроля. Следовательно, статистический приемочный контроль (в том числе выходной или входной) может быть применен для контроля лишь такой продукции, в которой из 50 изделий хотя бы одно дефектно. То есть этот метод управления качеством предназначен лишь для продукции сравнительно низкого качества (входной уровень дефектности не менее 1-2%) или при обслуживании потребителя, согласного на довольно высокий браковочный уровень дефектности (не менее 2,3%). 
	Следовательно, для повышения качества необходимо использовать контрольные карты и другие методы статистического регулирования технологических процессов на предприятии. О них подробно рассказано в следующем разделе, а также, например, в монографиях [1, 5]. В частности, упомянем методы «всеобщего» (в другом переводе - тотального) контроля качества и др. Недаром этим методам уделяется больше внимания в зарубежных методических изданиях, чем собственно статистическому приемочному контролю.
	От контроля к пополнению партии. Рассмотрим простую идею: отказываемся от контроля качества вообще, но зато по первому требованию потребителя заменяем дефектную единицу продукции на новую. При этом экономим на контроле, но вместо этого тратим средства на замену продукции. Выгодно это или не выгодно?
	Замена продукции может проводиться различными способами. Для многих видов товаров народного потребления это делается с помощью системы гарантийного обслуживания, гарантийных сроков и мастерских, через сеть розничной торговли и т.д. 
	Другой вариант - к партии поставляемой продукции добавляется некоторое количество единиц продукции для замены имеющихся, возможно, в ней дефектных единиц. Сначала обсудим подробнее именно этот вариант идеи замены продукции. 
	Пусть поставщик выпускает продукцию с известным ему уровнем дефектности p. Тогда число Х дефектных единиц в партии объема N имеет биномиальное распределение с параметрами N и p. По теореме Муавра-Лапласа Х не превосходит (при достаточно большом N) величины
D0(t) = Np + t(Np(1-p))1/2 
с вероятностью Ф(t), где Ф(t) - функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Поскольку Ф(4) = 0,999968329, то для практических целей достаточно положить t = 4, при этом более чем D0(4) дефектных единиц продукции попадет в партию лишь в 3 случаях из 100000.
	Пусть С0 - цена одной единицы продукции, С1 - стоимость неразрушающего контроля одной единицы продукции (с исправлением дефектов при их обнаружении). Сравним сначала две стратегии технико-экономических отношений поставщика с потребителями: 
	сплошной контроль (затраты С1N) 
	и пополнение партии дополнительными изделиями в числе D0(4) (затраты С0D0(4)). Вторая стратегия лучше (экономически выгоднее), если 
		(10.16)
Поделим на  получим равносильное неравенство 
.
Поскольку p(1 - p) не превосходит 1/4 при всех p, то из неравенства 
С1/С0 > p + 2 / N1/2 	(10.17)
вытекает неравенство (10.16). Ясно, что в случае, если
С1/С0 > p,
неравенство (10.17) (а потому и неравенство (10.16)) выполняется при достаточно больших объемах партии, а именно, при
 N > {2 С0 / (С1 - С0  p)}2 .
Например, если стоимость контроля составляет 10% от стоимости продукции (типовая ситуация в машиностроении), т.е. С1/С0 = 0,1, а уровень дефектности p = 0,01, то последнее неравенство дает N > 493. В то же время нетрудно проверить, что неравенство (10.16) выполняется при
0,1 > 0,01 + 4 (0,01×0,99)1/2 / N1/2,   
т.е. при N > 19. Расхождение более чем на порядок (в 26 раз) объясняется заменой при переходе от формулы (10.16) к формуле (10.17) величины p(1 - p) на 1/4, т.е. на гораздо большую величину  - при  малом входном уровне дефектности p.
	Выгодно ли введение статистического контроля? Пусть рассматривается описанная выше стратегия пополнения партий. Мы сравнивали ее со стратегией сплошного контроля, которая во многих случаях оказалась хуже. Может быть, поставщику имеет смысл использовать статистический контроль? Понятно, что речь может идти лишь о (неразрушающем) контроле с разбраковкой, поскольку только в этом случае меняется доля дефектности в потоке партий, направляемых потребителям. 
	Пусть используется план (n, 0) с приемочным уровнем дефектности, равным реально достигнутому предприятием уровню дефектности p. Как известно, тогда объем выборки определяется из условия
(1 - p)n = 0,95,
т.е.
n = ln 0,95 / ln (1 - p ) = - 0,0513  / ln (1 - p ) .
При малом p уже не раз применявшееся соотношение из математического анализа дает с достаточной для практики точностью
 n = 0,05 / p .
	С вероятностью (1 - p)n = 0,95 партия принимается, с вероятностью 0,05 подвергается разбраковке. В первом случае партия поступает к потребителю с тем же уровнем дефектности, что и до контроля, но при этом добавляются затраты на контроль, равные С1n. Партию необходимо пополнить D0(4) изделиями (затраты С0D0(4)), общие затраты (в среднем на одну выпущенную партию) равны 
0,95 (С1n + С0 D0 (4)) . 
Во втором случае фактически проводится сплошной контроль с исправлением дефектов и затратами С1N. Суммарные затраты при использовании выборочного контроля равны
0,95 (С1n + С0 D0 (4)) + 0,05 С1N .
Он более выгоден, чем отсутствие контроля (с добавлением «запасных» изделий), в случае справедливости неравенства 
0,95 (С1n + С0 D0 (4)) + 0,05 С1N  < С0 D0(4),
что эквивалентно неравенству 
19 С1n  + С1N < С0 D0(4).
Сравнение с формулой (10.16) показывает, что если контроль не является разрушающим, то выборочный контроль менее выгоден, чем сплошной. По сравнению с формулой (10.16) добавляется первое слагаемое в левой части последней формулы. И тем более выборочный контроль в экономической эффективности весьма проигрывает по сравнению с отсутствием контроля в сочетании с пополнением партии.
	Итак, введение статистического контроля в схеме пополнения партии не выгодно.  
	От системы контроля к системе технического обслуживания. Вернемся к первому из указанных ранее вариантов замены продукции. Что выгоднее - сплошной контроль на предприятии или замена дефектных изделий, обнаруженных потребителями? Реальное перекладывание контроля на потребителей влечет потери, связанные с удовлетворением их претензий, но при малой доле дефектных изделий эти потери малы по сравнению с затратами на контроль. 
	Действительно, пусть W - средние потери поставщика, связанные с пропуском потребителю дефектной единицы продукции. Сюда входят следующие виды потерь:
	- стоимость новой единицы продукции (при замене изделия или возврате его стоимости);
	- расходы системы распределения продукции и гарантийного ремонта, включая издержки на устранение дефектов;
	- потери из-за нежелательного изменения предпочтений потребителя, из-за снижения имиджа фирмы;
	- затраты на возмещение ущерба, понесенного потребителем, страховые сборы, судебные издержки, и т.д.  
	Потери W в несколько раз (по экспертной оценке - обычно в 5 - 10 раз) превышают расходы С0 на изготовление единицы продукции. Кроме того, для быстрого решения проблем потребителей, связанных с обнаружением дефектов, необходима развитая система технического обслуживания.
	Пусть изготовлена партия продукции объема N. Тогда расходы на сплошной (неразрушающий) контроль составляют С1N (при этом дефектные единицы продукции извлекаются и утилизируются, расходами на утилизацию или доходами от нее в настоящем изложении пренебрегаем). Пусть p - доля дефектных единиц продукции в партии. Тогда Np - математическое ожидание числа дефектных единиц продукции в партии, а WNp - математическое ожидание потерь. Если  
WNp < С1 N,   p < С1 / W,  	 (10.18)
то выгоднее отказаться от сплошного контроля. При повышении качества, т.е. снижении доли дефектности, целесообразно переходить к поиску и устранению дефектов не непосредственно на предприятии, а в пунктах системы технического обслуживания.
	В формуле (10.18) участвует математическое ожидание WNp. Реальные потери могут быть больше, но не намного. Как и выше, с помощью теоремы Муавра-Лапласа можно утверждать, что практически наверняка они не превышают WD0(4), а потому преимущество решения об отказе от контроля неоспоримо при 
WD0(4) <C1N,     p + 4(p(1-p))1/2/N1/2 < C1/W. 	(10.19)
Аналогично выводу неравенства (10.17) заключаем, что неравенство (10.19) наверняка будет выполнено, если 
p  +  2/N1/2 < С1/W.	(10.20)
	Пусть С1/W = 0,1, выпускается партия объема N = 1600. Тогда согласно неравенству (10.20) отказ от контроля выгоден уже при p < 0,05, т.е. граничное значение соответствует довольно низкому уровню качества - 1 единица продукции из 20.
	Выгодно ли в рассматриваемой ситуации вводить выборочный контроль? Пусть объем контроля равен n, приемочное число с = 0, с вероятностью y партия принимается, а с вероятностью 1 - y бракуется (и затем подвергается разбраковке). В первом случае расходы на контроль равны С1n, а остальная часть партии содержит в среднем (N-n)p дефектных единиц продукции, и средние издержки равны y{С1n + W(N - n)p}. Во втором случае суммарные затраты равны (1 - y)С1N . Следовательно, введение контроля выгодно, если
y{С1n + W(N - n)p} + (1 - y)С1 N < WNp .
Преобразуем это неравенство к виду
yn{С1 - Wp}(1 - y)-1 + С1N < WNp.   (10.21)
Если выполнено неравенство p < С1/W, то второе слагаемое в левой части неравенства (10.21) больше правой части этого неравенства, в то время как первое слагаемое в левой части (10.21) положительно. Следовательно, неравенство (10.21) неверно, и введение выборочного контроля нецелесообразно - как и в разобранном ранее случае метода пополнения партий.
	Выше приведен базовый (простейший, исходный) метод сравнения различных систем взаимоотношений поставщиков и потребителей. При разработке практически пригодных систем принятия решений целесообразно дальнейшее его развитие.
	Реально статистический контроль качества продукции, осуществляемый поставщиком (выходной контроль), решает две основные задачи: обеспечение интересов потребителя и обнаружение разладок собственных технологических процессов (по результатам контроля последовательности партий). Как показано выше, для решения первой из этих задач он не всегда оптимален. Вторую из названных задач также часто эффективнее решать с помощью иных методов, например, обнаруживать разладку технологических процессов с помощью тех или иных контрольных карт. Таким образом, область применения методов статистического приемочного контроля является довольно ограниченной. Очевидно, однако, что нельзя исключать эти методы из арсенала менеджеров по качеству, в частности, при использовании концепции «всеобщего управления качеством (TQM - Total Quality Management)». Хотя бы потому, что они незаменимы при использовании разрушающих методов контроля.
	Наиболее перспективным представляется использование полученных результатов в рамках концепции контроллинга.
	Итак, выше сформулирован основной парадокс теории статистического приемочного контроля - повышение качества выпускаемой продукции приводит к увеличению объема контроля. Описан способ разрешения этого парадокса - на основе перехода от чисто технической политики выбора плана контроля к технико-экономической. Она (технико-экономическая политика) исходит из сравнения по экономическим показателям схем контроля и схем технического обслуживания и пополнения партий. Разобран базовый метод такого сравнения, позволяющий выделить область экономического преимущества схемы пополнения партий и схемы технического обслуживания по сравнению со схемой контроля.

10.4. Статистические методы управления качеством

	Как уже отмечалось, в России намечается всё расширяющаяся тенденция к сертификации продукции, т.е. к официальной гарантии поставки производителем продукции, удовлетворяющей установленным требованиям. Поставщики и продавцы должны иметь сертификаты качества на предлагаемые ими товары и услуги. Маркетинг, т.е. производственная и коммерческая  политика, нацеленная на получение максимальной прибыли на основе изучения рынка, создания конкурентоспособной продукции и ее полной реализации, включает в себя работы по сертификации. 
	Не будем останавливаться на быстро меняющейся организационной стороне процесса сертификации и соответствующих отечественных и зарубежных нормативных документах, а также на различных системах сертификации. Как общие проблемы сертификации, так и выбор схемы сертификации для конкретной продукции активно обсуждаются специалистами. Приведем лишь несколько замечаний, необходимых для дальнейшего изложения.
	Напомним, что, говоря о сертификации продукции, могут иметь в виду качество конкретной ее партии. В ряде случаев это оправдано - рядового потребителя интересует качество лишь той единицы продукции, которую он приобрел. Однако установление долговременных хозяйственных связей целесообразно, когда поставщик гарантирует высокое качество не одной, а всех партий своей продукции. Другими словами, должны быть проведены оценка и сертификация технологических процессов и производств.
	Еще больше повышается доверие к поставщику, если не только отдельные технологические процессы, но и всё предприятие в целом гарантированно выпускает продукцию высокого качества. В современных условиях это обеспечивается действующей на предприятии системой качества, удовлетворяющей требованиям Международной организации по стандартизации ИСО.
	Одна из основных характеристик товара - его конкурентоспособность. Очевидно, производителю необходимо уметь оценивать конкурентоспособность перед запуском продукции в производство или началом работы по продвижению на зарубежный рынок. В литературе имеются различные мнения по поводу понятия «конкурентоспособность». В частности, нельзя согласиться  с крайне упрощенным подходом, согласно которому конкурентоспособность сводится к соотношению цен на внутреннем и внешнем рынках. Достаточно напомнить о таких приемах конкурентной борьбы, как демпинг и (добросовестная или недобросовестная) реклама, таможенные пошлины и квоты.
	Один из основных компонентов конкурентоспособности продукции – её технический уровень. В западных публикациях справедливо отмечается, что фирма, обладающая патентом или новой научно-технической разработкой, имеет более высокий «излишек производителя» по сравнению с другими фирмами. Согласно популярному западному учебнику, технический уровень продукции - одна из основных учитываемых характеристик при выборе направления инвестиционных вложений.
	Сертификация - это современная форма управления качеством. Среди зарубежных специалистов общепринято, что основная составляющая в управлении качеством продукции - это статистические методы. В нашей стране внедрение комплексных систем управления качеством продукции (КС УКП), к сожалению, сводилось во многом всего лишь к подготовке документации организационного характера. Статистические методы использовались в промышленности недостаточно, прежде всего из-за недостаточной подготовки кадров, а государственные стандарты по этой тематике зачастую содержали грубейшие ошибки (см. ниже). Ситуация в области применения статистических методов и причины нашего отставания достаточно подробно разобраны в публикациях [2, 6]. 
	В России более 150 лет статистические методы применяются для проверки соответствия продукции установленным требованиям, т.е. для сертификации. С начала 1970-х гг. стали разрабатываться государственные стандарты по статистическим методам. В связи с обнаружением в них грубых ошибок в 1985 г. организована «Рабочая группа по упорядочению системы стандартов по прикладной статистике и другим статистическим методам». В ее работе приняли участие 66 специалистов, в том числе 15 докторов и 36 кандидатов наук. Выводы Рабочей группы кратко отражены в статьях [2, 6]. В соответствии с рекомендациями Рабочей группы 24 из 31 государственного стандарта по статистическим методам отменены в 1986-87 гг. 
	К сожалению, потеряв правовую силу как нормативные документы, ошибочные стандарты до настоящего времени продолжают использоваться отдельными «специалистами» как научно-технические издания. Полученные Рабочей группой результаты и выводы не были широко и подробно опубликованы, ошибки в государственных стандартах не были публично вскрыты, и авторы дальнейших публикаций продолжают ссылаться на эти издания с грубейшими ошибками. Так, в ряде работ пропагандируются ошибочные стандарты, посвященные применению контрольных карт при статистическом регулировании технологических процессов. Продолжает широко использоваться  грубо ошибочный ГОСТ 11.006-74 (СТ СЭВ 1190-78) «Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим», хотя разбор ошибок делался не раз. Одна из ошибок – при применении статистики типа Колмогорова, в которой вместо истинного значения параметра подставлена его оценка, застандартизовано применение критических значений классической статистики Колмогорова, которые примерно в 1,5 раза превышают те значение, которые должны быть (см. конец раздела 2.4 выше). в этом стандарте посвящена статья [20] двадцатилетней давности Перечисленные выше факты делают целесообразным популяризацию результатов и выводов Рабочей группы и в настоящее время. 
	С точки зрения теории и практики принятия решений рассматриваемая ситуация весьма поучительна. Она показывает, что недостаточно продуманная система разработки управленческих документов (в рассматриваемом случае – стандартов по статистическим методам управления качеством продукции) позволяет отдельным лицам бесконтрольно определять содержание нормативно-технических документов, в том числе на десятилетия закреплять в них ошибочные положения. Не так уж важны мотивы поведения подобных лиц – невежество в сочетании с самонадеянностью, корысть или стремление нанести вред действующей научно-технической системе – важен результат. 
	В 1988-89 гг. наиболее активная часть Рабочей группы (10 докторов и 15 кандидатов наук) составили «Аванпроект комплекса методических документов и пакетов программ по статистическим методам стандартизации и управления качеством». Это обширное сочинение (около 1600 стр.) и на настоящий момент остается наиболее полным руководством по рассматриваемой тематике. Информация о нем приложена к переводу книги японских авторов по аналогичной тематике [1].
	К сожалению, под влиянием авторов ошибок в стандартах Госстандарт принял решение не финансировать реализацию заказанного им «Аванпроекта». Тогда сообщество специалистов решило действовать самостоятельно. В 1989 г. организован Центр статистических методов и информатики (ЦСМИ; в настоящее время - Институт высоких статистических технологий и эконометрики МГТУ им. Н.Э. Баумана). К середине 1990 г. в ЦСМИ разработаны 7 диалоговых систем по современным статистическим методам управления качеством, а именно, СПК, АТСТАТ-ПРП, СТАТКОН, АВРОРА-РС, ЭКСПЛАН, ПАСЭК, НАДИС (краткие описания этих систем даны ниже). В работе участвовали 128 специалистов. В  дальнейшем к ЦСМИ присоединялись новые группы научно-технических работников. К концу 1991 г. число сотрудников ЦСМИ превысило 300. Информация о программных продуктах и другой деятельности ЦСМИ постоянно помещалась в журналах «Заводская лаборатория» и «Надежность и контроль качества». Программные  продукты, разработанные Центром статистических методов и информатики, были поставлены и использовались более чем в 100 организациях и предприятиях. Среди них - производственные объединения «Уралмаш», «АвтоВАЗ», «Пластик», ЦНИИ черной металлургии им. Бардина, НИИ стали, ВНИИ эластомерных материалов и изделий, НИИ прикладной химии, ЦНИИ химии и механики, НПО «Орион», НИЦентр по безопасности атомной энергетики, ВНИИ экономических проблем развития науки и техники, ВНИИ нефтепереработки, МИИТ, Казахский политехнический институт, Ульяновский политехнический институт, Донецкий государственный университет и др.
	Параллельно ЦСМИ вел работу по объединению статистиков. В апреле 1990 г. в Большом Актовом Зале Московского Энергетического института прошла Учредительная конференция Всесоюзной организации по статистическим методам  и их применениям. На Учредительном съезде Всесоюзной статистической ассоциации (ВСА) в октябре 1990 г. в Московском экономико-статистическом институте эта организация вошла в состав ВСА в качестве секции статистических методов. В 1992 г. после развала СССР и фактического прекращения работы ВСА на основе секции статистических методов ВСА организована Российская ассоциация по статистическим методам (РАСМ), а затем и Российская академия статистических методов. В мероприятиях секции статистических методов ВСА и РАСМ активно участвовали несколько сот специалистов по статистическим методам. В ЦСМИ и РАСМ, объединивших большинство ведущих российских специалистов, коллективными усилиями разработан единый подход к проблемам применения статистических методов в сертификации и управлении качеством.
	Классификация статистических методов сертификации. Рассмотрим два основания для классификации. Первый - по виду статистических методов. Второй - по этапам жизненного цикла продукции, на которых соответствующий метод применяется. Первое основание привычно для специалистов по разработке статистических методов и соответствующего программного обеспечения, второе - для тех, кто эти методы применяет на конкретных предприятиях.
	В ЦСМИ сложилось пятичленное деление по первому основанию (в скобках указаны наименования диалоговых систем ЦСМИ, рассмотренных, в частности, в работе [2]):
	а) прикладная  статистика - иногда с дальнейшим выделением статистики случайных величин, многомерного статистического анализа, статистики случайных процессов и временных рядов, статистики объектов нечисловой природы (Система Регрессионного Статистического Моделирования СРСМ, или СТАТМАСТЕР; АДДА, ГРАНТ, КЛАМС, ЭКОНОМЕТРИК, РЕГРЕССИЯ, ЛИСАТИС, ЭКОСТАТ, РЕСТ);
	б) статистический приемочный контроль (СПК, АТСТАТ-ПРП, КОМПЛАН); 
	в) статистическое регулирование технологических процессов, в частности, методом контрольных карт (СТАТКОН, АВРОРА-РС);
	г) планирование  эксперимента  (ПЛАН, ЭКСПЛАН, ПАСЭК, ПЛАНЭКС);
	д) надежность и испытания (НАДИС, ОРИОН, СЕНС).
	Быстрое развитие компьютерной техники имеет свою оборотную сторону. Вполне добротные программные продукты устаревают и выходят из обращения просто потому, что они сделаны на отработавшем свой срок операционном (системном) программном обеспечении. «Выжить» может только то программное обеспечение, которое поддерживается соответствующей фирмой и постоянно совершенствуется с чисто программистской точки зрения. Важна система технической поддержки, обучение и, конечно, реклама. При этом чисто научная сторона дела отходит на задний план. Эти простые соображения объясняют, почему за 19 лет (с 1991 по 2010 гг.) отечественный рынок программных продуктов по эконометрике и статистическим методам стал гораздо более бедным по числу продуктов, научный уровень явно понизился, зато дизайн явно стал привлекательнее. 
	Перейдем ко второму основанию классификации методов сертификации. Согласно п.5.1 «Петля качества» стандарта ИСО 9004-87 «Общее руководство качеством и элементы системы качества. Руководящие указания» система качества функционирует «... одновременно со всеми остальными видами деятельности, влияющими на качество продукции или услуг, и взаимодействует с ними. Ее воздействие распространяется на все этапы от первоначального определения и до конечного удовлетворения требований и потребностей потребителя. Эти этапы и виды деятельности включают:
	1) маркетинг, поиски и изучение рынка;
	2) проектирование и/или разработку технических требований, разработку продукции (опытного образца);
	3) поиски поставщиков и оптовых покупателей, организацию материально-технического снабжения (решение задач логистики);
	4) подготовку и разработку производственных (технологических) процессов;
	5) непосредственно производство продукции;
	6) контроль качества продукции, проведение испытаний и обследований;
	7) упаковку и хранение продукции;
	8) реализацию (сбыт) и распределение (доставку) продукции;
	9) монтаж и эксплуатацию продукции у потребителей;
	10) технические помощь и обслуживание;
	11) утилизацию после использования.
Подробное рассмотрение применения основных типов статистических методов на перечисленных этапах жизненного пути продукции не входит в задачу настоящей книги. Сводка, приведенная в табл. 10.1, показывает, что статистические методы широко применяются на всех этапах жизненного пути  продукции.

 Таблица 10.1 
Применение статистических методов на различных этапах
жизненного цикла продукции по ИСО 9004-87
Номер этапа	а	б	в	г	д	Специальные модели	
1	+	-	-	+	-	+	
2	+	-	-	+	+	+	
3	+	-	-	-	-	+	
4	+	+	+	+	+	+	
5	+	+	+	+	-	+	
6	+	+	+	+	+	+	
7	+	+	+	+	+	+	
8	+	+	-	-	-	+	
9	+	+	+	+	+	+	
10	+	-	-	-	-	+	
11	+	+	+	+	-	+	

	Помимо компьютерных диалоговых систем широкого назначения, на каждом конкретном предприятии и на любом конкретном этапе жизненного пути продукции могут быть использованы специальные модели, например, на этапе 3 «материально-техническое снабжение» - модели управления запасами (см. о них, например, раздел 8.3 выше).
	Среди диалоговых систем по статистическому анализу выделим пакеты, ориентированные: 
	на восстановление зависимостей (СТАТМАСТЕР, он же СРСМ - Система Регрессионного Статистического Моделирования, и его развитие ЭКОНОМЕТРИК, а также РЕГРЕССИЯ),
	анализ нечисловых данных на основе методов статистики объектов нечисловой природы (АДДА, КЛАМС, а также ориентированный на экспертное оценивание ГРАНТ, на анализ интервальных данных РЕСТ), 
	прогнозирование (ЛИСАТИС и его развитие ЭКОСТАТ, а также относящиеся к временным рядам разделы пакета АВРОРА-РС - Анализ Временных Рядов и Обнаружение РАзладки).
	Для регулярного и обоснованного принятия решений на основе решения обширных комплексов задач сертификации и управления качеством на конкретном предприятии в ряде случаев целесообразно создать диалоговую систему, предназначенную для использования именно на этом предприятии. В частности, для решения задач этапа 4 используют созданные для конкретного предприятия программные системы, соединяющие в себе банки данных и пакеты статистических методов анализа этих данных. Примерами являются «Автоматизированное рабочее место материаловеда (АРМ материаловеда)» и «Автоматизированное рабочее место математика (АРМ математика)», разработанные Центром статистических методов и информатики для ВНИИ эластомерных материалов и изделий. 
	Для объединения  типовых пакетов в индивидуальную систему полезно программное средство ИНТЕГРАТОР - универсальный инструмент, предназначенный для создания интегрированных программных систем и обеспечивающий возможность совместного использования различных пакетов прикладных программ на персональных компьютерах IBM PC. Так, с помощью ИНТЕГРАТОРА был разработан АРМ математика на основе пакетов СРСМ, ПЛАН, АТСТАТ-ПРП, соответствующей базы данных и ряда программ,  ориентированных на специфику ВНИИ эластомерных материалов и изделий.
	На всех этапах жизненного цикла продукции, особенно на этапах 3, 8, 10, часто используют специализированные вероятностно-статистические модели, в том числе модели управления запасами, массового обслуживания и др. Такие модели и их программное обеспечение, как правило, разрабатываются для конкретного предприятия, и потому они хорошо приспособлены к особенностям этого предприятия. 
	Как избежать ошибок в нормативно-технической документации и инструктивно-методической документации? Многие ошибочные государственные стандарты по статистическим методам управления качеством были отменены (хотя результаты анализа, проведенного Рабочей группой, так и не были вовремя и полностью опубликованы). Однако эти стандарты продолжают и до сих пор использоваться как авторитетные научно-технические публикации. Почему так происходит? Как вообще могли появиться ошибки в нормативно-технических документах и почему в течение ряда лет эти документы использовались, несмотря на очевидные для специалистов ошибки?
	Дело в том, что инженеру, экономисту, менеджеру, работнику прикладной науки (короче - инженеру) несвойственно менять свою специальность, становиться математиком и самостоятельно повторять выкладки и рассуждения, положенные в основу ГОСТа. Поэтому инженер обычно не может самостоятельно обнаружить математические ошибки в ГОСТе, даже грубейшие. Главное - он не хочет этим заниматься. С другой стороны, математику  несвойственно анализировать нормативно-техническую документацию. Он также обычно не хочет этим заниматься. «Рабочая группа по упорядочению системы стандартов по прикладной статистике и другим статистическим методам» была уникальным примером совместной работы математиков и инженеров, именно поэтому ей удалось сопоставить тексты стандартов с результатами современной науки.
	Вполне естественно, что виновные в ошибках сделали всё возможное в рамках действовавшей системы принятия решений, чтобы помешать признанию и исправлению допущенных ими ошибок в государственных стандартах. До сих пор продолжаются попытки навязать промышленности (в качестве нормативных документов!) тексты, грубая ошибочность которых давно установлена. Кроме того, государственные стандарты, отмененные как нормативно-технические документы, продолжают физически существовать как издания (брошюры) и использоваться при проведении инженерных расчетов, проектировании систем контроля и т.д. Все это делает необходимым пропаганду выводов Рабочей группы относительно ГОСТов по статистическим методам. Они приведены в работе [2]. 
	«Шесть сигм» - система внедрения контроллинга и его статистических инструментов. Как улучшить организацию производства? Как повысить эффективность управления? Волна за волной накатывают на руководителей и специалистов все новые сочетания слов и стоящие за ними концепции. И в каждой волне есть что-то новое и что-то давно известное. Основное - новый угол взгляда на старые проблемы и методы.
	И вот появилось новое модное поветрие - «Шесть сигм». Что стоит за этими словами, наводящими на мысли о статистических методах (греческой буквой «сигма» традиционно обозначают показатель разброса статистических данных)? Как сказано в [7], «Шесть сигм» - это более разумный способ управлять всей компанией или отдельным подразделением. Фактически речь идет о развитии системы контроллинга на предприятии, в организации, фирме, компании. Концепция «Шесть сигм» ставит на первое место потребителя и помогает находить самые лучшие решения, опираясь на факты и данные. Она нацелена на три основные задачи:
	- повысить удовлетворенность клиентов;
	- сократить время цикла (производственного, операционного);
	- уменьшить число дефектов.
	Внедрение «Шести сигм» дает значительный экономический эффект. Исполнительный директор General Electric Джек Уэлч писал в ежегодном докладе, что всего за три года «Шесть сигм» сэкономили компании более 2 млрд. долл.
	Совершенно справедливо «Шесть сигм» рассматривают как «революционный метод управления качеством». Согласно «Шести сигмам» следует стремиться к достижению самого малого разброса контролируемого параметра по сравнению с полем допуска. Желательно добиться, чтобы ширина поля допуска была в 6 раз больше типового разброса, традиционно описываемого как «плюс-минус сигма». Отсюда и название концепции - «Шесть сигм». Соотношение поля допуска с полем разброса (в «сигмах») связывают с числом дефектов (на миллион возможностей) и с выходом годной продукции (в %). Так, 6 «сигма» соответствуют 3,4 дефектов на 1000000 возможностей, или выходу годной продукции 99,99966%. А пока такой высокий уровень не достигнут, можно оценивать ситуацию в «сигма». И промежуточная задача может формулироваться так: с уровня 2,5 «сигма» подняться до уровня 4 «сигма».
	С помощью каких инструментов достигается успех в системе «Шести сигм»? Это инструменты генерации идей и структурирования информации - экспертные оценки (голосования, мозговой штурм), диаграммы (сродства, древовидные, «рыбий скелет» - схема Исикава), блок-схемы. Это инструменты сбора данных - выборочный метод, методики измерений, методы определения «голоса потребителя», контрольные листки и электронные таблицы. Третья группа - инструменты анализа процесса и данных - анализ течения процесса, добавленной ценности, различные графики и диаграммы. В том числе диаграмма Парето, график временного ряда (тренда), диаграмма разброса (поле корреляции). Затем - инструменты статистического анализа (проверка статистических гипотез, методы корреляции и регрессии, планирования экспериментов и др.). Наконец, четвертая группа инструменты реализации решений и управления процессом. Среди них - методы управления проектами (планирование, бюджетирование, составление графиков, коммуникации, управление коллективом, диаграммы Ганта и др.), анализ потенциальных проблем и анализ видов и последствий отказов, анализ заинтересованных сторон, диаграмма поля сил, документирование процесса, сбалансированная система показателей и «приборная» панель процесса. 
	Инструментарий системы «Шести сигм» весьма широк. Эти инструменты помогают принимать правильные решения, решать проблемы и управлять переменами. Среди них основное место занимают различные статистические инструменты. Однако нельзя считать, что система «Шести сигм» и инструменты «Шести сигм» - это одно и  то же.
	Как справедливо подчеркнуто в цитированной книге о системе «Шести сигм», возможно, вы говорите себе: «Мы уже делаем кое-что из этого». И уж, безусловно, читали почти обо всем из названных выше инструментов, в том числе на страницах настоящего учебника. Совершенно бесспорно, что многое в концепции «Шести сигм» не ново. Что действительно ново - так это соединение всех этих элементов системы и ее инструментов в согласованный процесс управления. 
	Действительно, различные виды инструментов повышения эффективности управления известны давно. Чтобы их успешно использовать, НУЖНА СИСТЕМА ВНЕДРЕНИЯ. Нужна тщательно разработанная методика создания и функционирования творческих коллективов, занимающихся анализом ситуации, подбором и внедрением современных инструментов управления. Все это создано в системе «Шести сигм». В этом и состоит суть нового шага в науке и практике управления предприятием.
	Выделяют шесть элементов, составляющих квинтэссенцию системы «Шесть сигм». Это
	- ориентация на потребителя;
	- управление на основе данных и фактов;
	- процессный подход (где действия, там и процессы);
	- проактивный менеджмент (т.е. основанный на прогнозировании); 
	- безграничное сотрудничество;
	- стремиться к совершенству, но не бояться поражений.
Конечно, каждый из этих элементов сам по себе хорошо известен. Дело в системе «Шести сигм», в которую они объединены. В этой системе подробно расписаны роли различных участников команды - «черные пояса», «зеленые пояса», «мастера черных поясов», «чемпионы». Подчеркивается основополагающая роль членов руководства компании («спонсоров»), лично занимающихся развитием системы «Шесть сигм».
	Анализ системы «Шесть сигм» показывает, что, несмотря не некоторое различие терминов, связанное с корнями этой системы (лежащими в проблемах управления качеством), фактически «Шесть сигм» - это глубоко проработанная система внедрения современных технологий управления. Отметим большое место, которое занимают статистические методы среди ее инструментов. Система «Шесть сигм» трудоемка, на внедрение нужны годы. Но и эффект велик [8]. Можно взглянуть на систему «Шесть сигм» и как на инструмент инновационного менеджмента. Тогда естественно рассматривать «Шесть сигм» как новую систему внедрения математических методов исследования и управления на промышленном предприятии.

10.5. Обнаружение разладки с помощью контрольных карт

	Контрольные карты Шухарта и кумулятивных сумм первоначально использовались для статистического контроля технологических процессов. В последние годы область их применения значительно расширилась, охватив временные ряды различной природы, от экологического мониторинга до анализа динамики экономических показателей. В этом разделе, составленном на основе статьи [9], даются общие сведения о методе контрольных карт и подробно разбирается пример, относящийся к деятельности предприятия ОАО «Северсталь-авто».
	Области применения контрольных карт. Контрольные карты предназначены для организации и проведения статистического контроля стохастических процессов, представленных в форме временных рядов, на предмет наискорейшего обнаружения момента спонтанного изменения (разладки) вероятностных характеристик контролируемых процессов. Во многих практических задачах только на основании анализа временных рядов возможно выявить скрытые изменения, происходящие в наблюдаемом объекте или явлении. 
	Методы обнаружения разладки имеют многообразные области применения: контроль качества технологических процессов, обнаружение аварийных ситуаций, обработка информации в автоматизированных системах научных исследований (АСНИ), в автоматизированных системах управления технологическими процессами (АСУ ТП), в автоматизированных испытательных стендах. Текущий контроль систем подвижных объектов, обнаружение сейсмических сигналов на фоне шума, оперативное выявление отказов агрегатов без остановки технологического процесса, статистическое регулирование технологических процессов с помощью контрольных карт, мониторинг экологической обстановки, интенсивное наблюдение за тяжелобольными в клиниках - вот лишь краткий перечень задач, которые решают с помощью контрольных карт [1, 2, 5, 9].
	Основные идеи метода контрольных карт. Задача статистического регулирования технологического процесса состоит в том, чтобы на основании результатов периодического контроля выборок малого объема принимать решение «процесс налажен» или «процесс разлажен». Соответствующая вероятностно-статистическая модель в простейшем варианте следующая. Выдвигаются две гипотезы: 
	нулевая гипотеза Н0 — технологический процесс налажен, если параметр (характеристика) θ распределения контролируемого показателя качества Х равен θ0;
	альтернативная гипотеза H1 — технологический процесс разлажен, если параметр θ равен θ1. 
	На основании результатов контроля X1, Х2,...,Хn включенных в выборку единиц продукции необходимо с помощью определенных статистических критериев принять одну из этих двух гипотез.
	Обычно выборку значений контролируемого показателя качества моделируют совокупностью независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием μ и дисперсией σ2. При статистическом регулировании технологических процессов проверяют гипотезы:
	Н0 : μ = μ0 (технологический процесс налажен),
	H1 : μ  = μ1 (технологический процесс разлажен),
если разладка связана с изменением математического ожидания μ. Если же разладка связана с увеличением дисперсии σ2, то в этом случае проверяют гипотезы:
	Н0 : σ = σ0 (технологический процесс налажен),
	H1 : σ = σ1 (технологический процесс разлажен).
	На стадии предварительного анализа состояния технологического процесса необходимо оценить параметры μ0 и σ0. Для этого следует отобрать на контроль определенное количество единиц продукции при нормальном ходе производства, т.е. при надлежащем качестве сырья и при отлаженном оборудовании. При этих условиях мы по правилам прикладной статистики (раздел 2.3) получим оценки параметров μ и σ при налаженном состоянии технологического процесса, т. е. μ0 и σ0. 
	Значения параметров, соответствующие разлаженному процессу, либо задают с помощью экспертов, либо определяют при анализе забракованной продукции.
	На контрольной карте отмечают границы регулирования, ограничивающие область допустимых значений статистики (при справедливости нулевой гипотезы). Контрольная карта - наглядное графическое средство, отражающее состояние технологического процесса. Выход точки за границу регулирования служит сигналом о разладке технологического процесса. 
	Впервые контрольные карты разработаны в 1924 г. американцем У.А. Шухартом, работавшим в Bell Telephone Laboratories [1]. Методология построения контрольных карт Шухарта имеет ту особенность, что проводимый контроль не учитывает предыдущего поведения контролируемого параметра. В середине XX века разработана методика, учитывающая информацию о прошлых данных для анализа текущего состояния. В основе этой методики лежит исследование не индивидуальных значений признака, а учет их кумулятивных сумм. Такой подход получил название метода кумсумм (или кумсумм-метода).
	Кумсумма образуется следующим образом:
,		(10.22)
где k – константа, представляющая собой некоторое эталонное значение, xi – значение используемой статистики в i-й момент времени. Нанесенные на график в порядке появления кумулятивные суммы (Sr) образуют кумсумм - карту.
	В модели, когда разладка связана с изменением математического ожидания, величину k обычно приравнивают математическому ожиданию в налаженном состоянии. Если среднее значение параметра процесса возрастет, то будет иметь место и общий рост уровня кумсуммы, поскольку все большее число значений (xi – k) станут положительными. Аналогичным образом, если среднее значение будет падать, то и график будет стремиться вниз. Изменение среднего значения исходных данных приводит к изменению угла наклона графика кумсумм.
	Пример практического применения. На примере контроля премиального фонда (ПФ) аппарата управления производственного объединения покажем, какой контроль можно осуществлять, применив карты Шухарта и карты кумулятивных сумм. 
	Исходные данные – ПФ за 45 месяцев (табл. 10.2). Причем ПФ за первые 3 года считается стабильным. Проверим, не разлажен ли процесс выплаты ПФ в 2005 году, при условии, что норматив ПФ в течение всего контролируемого периода не изменяется. На рис. 10.1 показана динамика ПФ.

Таблица 10.2 
Премиальный фонд по месяцам (млн. руб.)
Год	янв	фев	мар	апр	май	июн	июл	авг	сен	окт	ноя	дек	
2002	128	134	143	124	147	127	131	150	120	135	129	150	
2003	132	143	141	152	140	125	137	142	153	130	136	137	
2004	122	136	153	135	125	139	143	132	146	126	139	136	
2005	150	143	155	160	144	153	139	168	151				

	На основании табличных данных слабо прослеживается изменение среднего уровня ПФ в 2005 г. Построим карту Шухарта. Делаем предположение, что с 2002 по 2004 гг. норматив ПФ за месяц не менялся. Для расчета выборочного среднего арифметического значения и выборочной дисперсии воспользуемся данными 2002-2004 гг., поскольку в эти периоды ПФ считается стабильным, управляемым. 
	Среднее значение выборки рассчитываем по формуле:
млн.руб.
Выборочную дисперсию рассчитываем по формуле:

Выборочное среднеквадратическое отклонение таково:
 млн. руб.
	Будем использовать контрольную карту Шухарта, в которой границы регулирования отстоят от значения, соответствующего налаженному процессу, на 3 среднеквадратических отклонения. Тогда допустимые значения премиального фонда будут лежать в диапазоне , нижняя граница регулирования ПФ составит: (млн. руб.), а верхняя -  (млн. руб.).
	На основании расчетов построим контрольную карту премиального фонда (рис. 10.1). Анализ карты показывает, что в августе 2005 г. произошла разладка процесса, премиальный фонд превысил границу верхнюю границу регулирования. Необходимо выяснить причину разладки и принять решение о дальнейших действиях.
	Вариация значений ПФ затрудняет визуальный анализ контрольной карты и не позволяет понять тенденцию изменения среднего значения ПФ и вовремя заметить разладку. Решить эту проблему помогают карты кумулятивных сумм. Найдем кумулятивные суммы. Эталонное значение k выберем, как выборочное среднее арифметическое:  млн. руб.
	Далее рассчитываем кумулятивные суммы по формуле (10.22) (табл. 10.3). Карта кумсумм представлена на рис.10.2.

Таблица 10.3 
Значения кумулятивных сумм
Год	янв	фев	мар	апр	май	июн	июл	авг	сен	окт	ноя	дек	
2002	-9	-11	-5	-17	-7	-17	-22	-9	-26	-27	-35	-21	
2003	-26	-20	-15	0	4	-8	-8	-2	14	8	7	7	
2004	-7	-8	8	7	-5	-2	4	-1	9	-2	1	0	
2005	13	20	38	62	69	85	88	119	134				

	Именно наклон графика служит мерой измерения случайной величины. Так, в рассматриваемом случае, нулевой наклон означает, что система работает в своем среднем режиме 137 млн. руб. в мес. и т.д. согласно шкале кумулятивных сумм.
	Анализ карты свидетельствует о том, что уровень ПФ меняется в течение времени контроля:
	ПФ для первых 11 месяцев 2002г. = 134 млн. руб.;
	ПФ с декабря 2002г. по август 2003г. = 139 млн. руб.;
	ПФ с сентября 2003г. по декабрь 2004г. = 137 млн. руб.;
	ПФ с января 2005г. = 147 млн. руб.
	Пример демонстрирует достоинства контрольных карт кумулятивных сумм как средства визуального контроля. График кумулятивных сумм более чувствителен к выявлению изменений в уровне признака (ПФ), чем карта Шухарта, и, таким образом, карты кумулятивных сумм – хорошая графическая форма представления данных для визуального контроля. Карты кумулятивных сумм позволяют обнаружить постепенное изменение среднего значения параметра. Однако при этом методе целесообразно проверять на практике значимость любого обнаруженного изменения кумулятивных сумм, особенно в случаях, когда изменение признака нельзя объяснить какими-либо конкретными фактами.
	Многообразие контрольных карт. В разобранном примере рассматривался временной ряд значений контролируемого параметра. Часто используют временной ряд значений той или иной статистики, рассчитанной по выборке значений контролируемого параметра в рассматриваемый момент времени. Этой статистикой может быть выборочное среднее арифметическое значение, медиана, выборочные дисперсия, среднее квадратическое или размах, а также число дефектов или число дефектных единиц продукции, и т. д. Во всех этих случаях могут применяться контрольные карты Шухарта или карты кумулятивных сумм.
	Контрольные карты Шухарта предназначены для обнаружения резких изменений контролируемого параметра. Примером является поломка резца. В то же время постепенную разладку эти карты «чувствуют» не сразу. Это объясняется тем, что статистики, отражающие состояние процесса, рассматриваются независимо друг от друга, т. е. каждый последующий результат выборочного контроля никак не учитывает предыдущую информацию.
	Контрольные карты кумулятивных сумм наиболее чувствительны к постепенной разладке процесса. Примером является постепенное стачивание резца. В то же время на резкое отклонение контролируемого параметра они реагируют медленнее, чем карты Шухарта. Это объясняется тем, что для оценки состояния процесса здесь используются накопленные суммы выборочных статистик, например, кумулятивные суммы выборочных средних или кумулятивные суммы выборочных дисперсий. Таким образом, здесь учитывается не только результат контроля текущей выборки, но также используются результаты контроля предыдущих выборок. 
	Средняя длина серий. Чувствительность контрольной карты к разладке определяется средней длиной серии (СДС) выборок проходящего процесса. СДС определяется как среднее число выборок, предшествующих наладке технологического процесса при неизменном распределении вероятностей контролируемого параметра.
	При налаженном процессе сигнал о разладке является ложным, поэтому предпочтительным является максимально возможное значение СДС выборок L0. Чем больше значение L0, тем реже появляется сигнал о разладке при налаженном процессе. При разлаженном процессе, наоборот, предпочтительным является возможно меньшее значение СДС выборок L1. Чем меньше значение L1 при разлаженном процессе, тем быстрее будет обнаружена разладка процесса. 
	СДС определяет эффективность плана контроля с помощью контрольной карты. Наиболее эффективным планом контроля будет тот, который обеспечит, при равных исходных условиях, наибольшее значение СДС выборок налаженного процесса L0 и наименьшее значение СДС выборок разлаженного процесса L1. Однако оптимизация одновременно по двум критериям невозможна. Поэтому один из критериев переводят в ограничение, обычно связанный с L0. Величина L0 определяет положение границ регулирования.
	Метод контрольных карт в России. Судьба метода контрольных карт в России драматична. В 70-е гг. они стали внедряться на отечественных предприятиях, давая заметный экономический эффект. Появились государственные стандарты по статистическому регулированию технологических процессов, основанные на использовании контрольных карт. Однако Рабочая группа по упорядочению системы стандартов по прикладной статистике и другим статистическим методам (1985-1987) установила, что все государственные стандарты СССР по статистическому регулированию технологических процессов содержат грубейшие ошибки и их невозможно использовать ни как справочные, ни тем более как нормативные материалы [2]. Эти стандарты были отменены. К сожалению, ряд литературных источников, как и отмененные ГОСТы, содержит грубые ошибки.
	Диалоговая программная система СТАТКОН разработана в качестве замены ГОСТам с ошибками и содержит в себе все основные результаты теории контрольных карт. (Руководитель разработки системы СТАТКОН профессор Г.Ф. Филаретов (Московский энергетический институт) возглавлял подкомиссию по статистическому регулированию технологических процессов Рабочей группы.) В частности, в диалоговую систему СТАТКОН входят следующие разновидности контролирующих алгоритмов, относящиеся к группе алгоритмов кумулятивных сумм и предназначенные для обнаружения:
•	скачкообразного изменения математического ожидания гауссовского дискретного случайного процесса с независимыми наблюдениями;
•	линейного возрастающего изменения математического ожидания случайного процесса указанного типа;
•	скачкообразного изменения вектора математических ожиданий векторного гауссовского случайного процесса с независимыми наблюдениями;
•	скачкообразного изменения дисперсии для гауссовского дискретного процесса с независимыми наблюдениями;
•	скачкообразного изменения вероятности появления некоторого события в последовательности независимых случайных событий (нерандомизированный и рандомизированный варианты).
	В подавляющем большинстве технико-экономических ситуаций распределения элементов выборки отличны от нормальных (см. раздел 2.1 выше). Поэтому выводы, сделанные на основе использования при моделировании нормального распределения, имеют лишь теоретическое значение. Однако они дают первое представление о ситуации, первоначальные ориентиры, которые могут быть уточнены при более тщательном исследовании.
	На несколько иных принципах построена диалоговая система АВРОРА-РС «Анализ временных рядов и обнаружение разладки», разработанная под руководством к.т.н. И.В. Никифорова (академический Институт проблем управления) и д.ф.-м.н. А.А. Новикова (Математический институт им. В.А. Стеклова). К ее основным функциям относятся последовательное обнаружение изменения свойств независимых случайных последовательностей и зависимых случайных последовательностей типа авторегрессии с помощью ряда жестко настроенных и адаптивных алгоритмов скорейшего обнаружения, обнаружение изменения свойств многомерных сигналов, наблюдаемых с избыточностью, расчет статистических характеристик алгоритмов обнаружения, статистическое моделирование алгоритмов на специально генерируемых или вводимых пользователем данных, оптимальная настройка алгоритмов и подбор их характеристик, параметрический анализ временных рядов на основе авторегрессии.
	В нашей стране разработано большое число программных продуктов, посвященных статистическим методам управления качеством продукции [2].
	Итоги. В России активно разрабатываются теоретические, программные и практические вопросы статистических методов сертификации и управления качеством продукции. Некоторые из них кратко рассмотрены выше. Ранее разработанные нормативно-техническая и методическая документация, диалоговые компьютерные системы по статистическим методам продолжают использоваться, несмотря на социально-политические преобразования 1990-х гг. Стандарты СССР и СЭВ продолжают оставаться широко известными методическими документами, хотя СССР и СЭВ уже нет. Большое значение имеет работа по устранению ошибок в нормативно-технических и инструктивно-методических документах с целью уменьшения числа ошибок в практической работе. Важно создать такую систему управления в научно-технической сфере, чтобы никто не мог навязать стране свои ошибки в качестве стандартов, проигнорировав протесты ведущих специалистов. При этом условии внедрение современных статистических методов сертификации и управления качеством продукции могут дать нашей стране экономический эффект, измеряемый млрд. долл. в год. 

Литература

1. Статистические методы повышения качества. Перевод с японского / Под ред. Х. Кумэ. - М.: Финансы и статистика, 1990.-  301 с.
2. Орлов А.И. Сертификация и статистические методы // Заводская лаборатория. - 1997. - Т.63 - №3. - С.55-62.
3. Орлов А.И. Теория принятия решений. – М.: Экзамен, 2006. - 576 с.
4. Кравченко Г.Г., Орлов А.И. О статистическом приемочном контроле порошкообразных материалов // Надежность и контроль качества. - 1991. - №2. - С.37-39.
5. Мердок Дж. Контрольные карты. / Пер. с англ. - М.: Финансы и статистика, 1986. - 132 с.
6. Орлов А.И. О современных проблемах внедрения прикладной статистики и других статистических методов. // Заводская лаборатория. - 1992. - Т.58.- №1. - С. 67-74.
7. Панде П., Холп Л. Что такое «Шесть сигм»? Революционный метод управления качеством / Пер. с англ. - М.: Альпина Бизнес Букс, 2004. - 158 с.
8. Фалько С.Г., Орлов А.И. «Шесть сигм» как подход к совершенствованию бизнеса // Контроллинг. - 2004. - №4(12). - С.42-46.
9. Митрохин И.Н., Орлов А.И. Обнаружение разладки с помощью контрольных карт // Заводская лаборатория. - 2007. - Т.73. - №5. - С.74-78

Контрольные вопросы и задачи
 
1. Какие решения необходимо принимать в связи с качеством продукции и сертификацией?
2. Почему необходимо использование выборочного контроля?
3. Для плана (n, 0) с n = 27 найти приемочный уровень дефектности и браковочный уровень дефектности.
4. Для плана (n, 0) предел среднего выходного уровня дефектности не превышает t = 0,02. Каково минимально возможное n?
5. Даны приемочный уровень дефектности pпр = 0,03 и браковочный уровень дефектности pбр  = 0,09. Указать какой-либо допустимый план вида (n, с), т.е. план, значение оперативной характеристики которого в точке pпр  не меньше 0,95, а в точке pбр не больше 0,10.  
6. Как могли быть утверждены государственные стандарты по статистическим методам управления качеством продукции, содержащие грубейшие ошибки?
7. Чем контрольные карты Шухарта отличаются от карт кумулятивных сумм?

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1. Комплексные системы управления качеством продукции и международные стандарты ИСО по менеджменту качества.
2. Экономическая эффективность усеченных планов статистического приемочного контроля.
3. Взаимосвязь технического уровня, качества и конкурентоспособности продукции.
4. Методы проведения статистического приемочного контроля порошкообразных материалов.
5. Различные варианты взаимодействия поставщика и потребителя в связи с системой принятием решений о качестве продукции. 
6. Расчет средней длины серий для контрольных карт Шухарта и карт кумулятивных сумм при скачкообразной и постепенной разладке.

Глава 11. Статистические модели экспертных исследований

	Глава посвящена основным вопросам теории и практики экспертных оценок, в том числе связанным с типовыми стадиями экспертного опроса, методами подбора экспертов, разработкой регламентов проведения сбора и анализа экспертных мнений. Рассмотрены основные идеи современной теории измерений, метода согласования кластеризованных ранжировок и ряда других математических методов анализа экспертных оценок.
 
11.1. Примеры процедур экспертных оценок

	Как изменится экологическая обстановка через десять лет? Будет ли обеспечена экологическая безопасность промышленных производств или же вокруг будет простираться рукотворная пустыня? Достаточно вдуматься в эту постановку вопроса, проанализировать, как десять лет назад мы представляли себе сегодняшний день, чтобы понять, что стопроцентно надежных прогнозов просто не может быть. Вместо утверждений с конкретными числами можно ожидать лишь качественных оценок. Тем не менее, мы должны принимать решения, например, об экологических  и иных проектах и инвестициях, последствия которых скажутся через десять, двадцать и более лет. 
 	Бесспорно совершенно, что для принятия обоснованных решений необходимо опираться на опыт, знания и интуицию специалистов. После Второй мировой войны в рамках кибернетики, теории управления, менеджмента и исследования операций стала развиваться самостоятельная дисциплина - теория и практика экспертных оценок. 
	Методы экспертных оценок - это методы организации работы со специалистами-экспертами и обработки мнений экспертов. Эти мнения обычно выражены частично в количественной, частично в качественной форме. Экспертные исследования проводят с целью подготовки информации для принятия решений лицом, принимающим решения (ЛПР). Для проведения работы по методу экспертных оценок создают Рабочую группу (РГ), которая и организует по поручению ЛПР деятельность экспертов, объединенных (формально или по существу) в экспертную комиссию (ЭК).
Экспертные оценки бывают индивидуальные и коллективные. Индивидуальные оценки - это оценки одного специалиста. Например, преподаватель единолично ставит отметку студенту, а врач - диагноз больному. Но в сложных случаях заболевания или при угрозе отчисления студента за плохую учебу обращаются к коллективному мнению - симпозиуму врачей или комиссии преподавателей. Аналогичная ситуация - в армии. Обычно командующий принимает решение единолично. Но в сложных и ответственных ситуациях проводят военный совет. Один из наиболее известных примеров такого рода - военный совет 1812 г. в Филях, на котором под председательством М.И. Кутузова решался вопрос: «Давать или не давать французам сражение под Москвой?»
	Другой простейший пример экспертных оценок - оценка номеров в КВН. Каждый из членов жюри поднимают фанерку со своей оценкой, а технический работник вычисляет среднюю арифметическую оценку, которая и объявляется как коллективное мнение жюри (ниже мы увидим, что такой подход некорректен с точки зрения теории измерений). 
В фигурном катании процедура усложняется - перед усреднением отбрасываются самая большая и самая маленькая оценки. Это делается, чтобы  не было соблазна завысить оценку одной спортсменке (например, соотечественнице) или занизить другой. Такие резко выделяющиеся из общего ряда  оценки будут сразу отброшены.
Экспертные оценки часто используются при выборе - одного варианта технических устройств из нескольких, группы космонавтов из многих претендентов, набора проектов научно-исследовательских работ для финансирования из массы заявок, получателей экологических кредитов из многих желающих, выбор инвестиционных проектов для реализации среди представленных, и т.д. 
	Существует масса методов получения экспертных оценок. В одних с каждым экспертом работают отдельно, он даже не знает, кто еще является экспертом, а потому высказывает свое мнение независимо от авторитетов. В других экспертов собирают вместе для подготовки материалов для ЛПР, при этом эксперты обсуждают проблему друг с другом, учатся друг у друга, и неверные мнения отбрасываются. В одних методах число экспертов фиксировано и таково, чтобы статистические методы проверки согласованности мнений и затем их усреднения позволяли принимать обоснованные решения. В других - число экспертов растет в процессе проведения экспертизы, например, при использовании метода «снежного кома» (о нем - ниже). Не меньше существует и методов обработки ответов экспертов, в том числе весьма насыщенных математикой и компьютеризированных 
Один из наиболее известных методов экспертных оценок - это метод «Дельфи». Название дано по ассоциации с Дельфийским храмом, куда согласно древнему обычаю было принято обращаться для получения поддержки при принятии решений. Он был расположен у выхода ядовитых вулканических газов. Жрицы храма, надышавшись отравы, начинали пророчествовать, произнося непонятные слова. Специальные «переводчики» - жрецы храма толковали эти слова и отмечали на вопросы пришедших со своими проблемами паломников.  
В США в 1960-х гг. методом Дельфи назвали экспертную процедуру прогнозирования научно-технического развития. В первом туре  эксперты называли вероятные даты тех или иных будущих свершений. Во втором туре каждый эксперт знакомился с прогнозами всех остальных. Если его прогноз сильно отличался от прогнозов основной массы, его просили пояснить свою позицию, и часто он изменял свои оценки, приближаясь к средним значениям. Эти средние значения и выдавались заказчику как групповое мнение. Надо сказать, что реальные результаты исследования оказались довольно скромными - хотя дата высадки американцев на Луну была предсказана с точностью до месяца, все остальные прогнозы провалились - холодного термоядерного синтеза и средства от рака в ХХ в. человечество не дождалось. Однако сама методика оказалась популярной - за последующие годы она использовалась не менее 40 тыс. раз. Средняя стоимость экспертного исследования по методу Дельфи - 5 тыс. долл., но в ряде случаев приходилось расходовать и более крупные суммы - до 130 тыс. долл. 
Несколько в стороне от основного русла экспертных оценок лежит метод сценариев, применяемый прежде всего для экспертного прогнозирования. Рассмотрим основные идеи технологии сценарных экспертных прогнозов. Экологическое или социально-экономическое прогнозирование, как и любое прогнозирование вообще, может быть успешным лишь при некоторой стабильности условий. Однако решения органов власти, отдельных лиц, иные события меняют условия, и события развиваются по-иному, чем ранее предполагалось. При разработке методологического, программного и информационного обеспечения анализа риска химико-технологических проектов необходимо составить детальный каталог сценариев аварий, связанных с утечками токсических химических веществ. Каждый из таких сценариев описывает аварию своего типа, со своим индивидуальным происхождением, развитием, последствиями, возможностями предупреждения. Таким образом, метод сценариев - это метод декомпозиции задачи прогнозирования, предусматривающий выделение набора отдельных вариантов развития событий (сценариев), в совокупности охватывающих все возможные варианты развития. При этом каждый отдельный сценарий должен допускать возможность достаточно точного прогнозирования, а общее число сценариев должно быть обозримо.
	Возможность подобной декомпозиции не очевидна. При применении метода сценариев необходимо:
	- построение исчерпывающего, но обозримого набора сценариев;
	- прогнозирование в рамках каждого конкретного сценария с целью получения ответов на интересующие исследователя вопросы.
	Каждый из этих этапов лишь частично формализуем. Существенная часть рассуждений проводится на качественном уровне, как это принято в общественно-экономических и гуманитарных науках. Одна из причин в том, что стремление к излишней формализации и математизации приводит к искусственному внесению определенности там, где ее нет по существу, либо к использованию громоздкого математического аппарата. Так, рассуждения на словесном уровне считаются доказательными в большинстве ситуаций, в то время как попытка уточнить смысл используемых слов с помощью, например, теории нечетких множеств приводит к весьма громоздким математическим моделям. Набор сценариев должен быть обозрим. Приходится исключать различные маловероятные события. Само по себе создание набора сценариев - предмет экспертного исследования. Кроме того, эксперты могут оценить вероятности реализации того или иного сценария. Прогнозирование в рамках каждого конкретного сценария с целью получения ответов на интересующие исследователя вопросы также осуществляется в соответствии с описанной выше методологией прогнозирования. При стабильных условиях могут быть применены статистические методы прогнозирования временных рядов. Однако этому предшествует анализ с помощью экспертов, причем зачастую прогнозирование на словесном уровне является достаточным (для получения интересующих исследователя и ЛПР выводов) и не требующим количественного уточнения.   
Как известно, при принятии решений на основе анализа ситуации, в том числе результатов прогнозных исследований, можно исходить из различных критериев. Так, можно ориентироваться на то, что ситуация сложится наихудшим, или наилучшим, или средним (в каком-либо смысле) образом. Можно попытаться наметить мероприятия, обеспечивающие минимально допустимые полезные результаты при любом варианте развития ситуации, и т.д. 
	Еще один вариант экспертного оценивания - мозговой штурм. Организуется он как собрание экспертов, на выступления которых наложено одно, но очень существенное ограничение - нельзя критиковать предложения других. Можно их развивать, можно высказывать свои идеи, но нельзя критиковать! В ходе заседания эксперты, «заражаясь» друг от друга, высказывают все более экстравагантные соображения. Часа через два записанное на магнитофон или видеокамеру заседание заканчивается, и начинается второй этап мозгового штурма - анализ высказанных идей. Обычно из 100 идей 30 заслуживают дальнейшей проработки, из 5-6 дают возможность сформулировать прикладные проекта, а 2-3 оказываются в итоге приносящими  полезный эффект - прибыль, повышение экологической безопасности и т.п. При этом интерпретация идей - творческий процесс. Например, при обсуждении возможностей защиты кораблей от торпедной атаки была высказана идея: «Выстроить матросов вдоль борта и дуть на торпеду, чтобы изменить ее курс». После проработки эта идея привела к созданию  устройств, создающих волны, сбивающиеся торпеду с курса.
 
11.2. Основные стадии экспертного опроса 
 
	Как показывает опыт проведения экспертных исследований, с точки зрения менеджера - организатора такого исследования целесообразно выделять следующие стадии проведения экспертного опроса. 
	1) Принятие решения о необходимости проведения экспертного опроса и формулировка лицом, принимающим решения (ЛПР) его цели. Таким образом, инициатива должна исходить от руководства, что в дальнейшем обеспечит успешное решение организационных и финансовых проблем. 
	2) Подбор и назначение ЛПР основного состава рабочей группы (РГ, обычно - научного руководителя и секретаря). При этом научный руководитель отвечает за организацию и проведение экспертного исследования в целом, а также за анализ собранных материалов и формулировку заключения экспертной комиссии. Он участвует в формировании коллектива экспертов и выдаче задания каждому (вместе с ЛПР или его представителем). Дело секретаря - ведение документации, решение организационных задач. 
	3) Разработка РГ (точнее, ее основным составом, прежде всего научным руководителем и секретарем) и утверждение у ЛПР технического задания на проведение экспертного опроса. На этой стадия решение о проведении экспертного опроса приобретает четкость во времени, финансовом, кадровом, материальном и организационном обеспечении. В РГ выделяются различные группы специалистов - аналитическая, эконометрическая (специалисты по методам анализа данных), компьютерная, по работе с экспертами (например, интервьюеров), организационная. Очень важно для успеха, чтобы все эти направления работ были утверждены ЛПР. 
	4) Разработка аналитической группой РГ подробного сценария (т.е. регламента) проведения сбора и анализа экспертных мнений (оценок). Сценарий включает в себя прежде всего  конкретный вид информации, которая будет получена от экспертов (например, тексты (слова), условные градации, числа, ранжировки, разбиения или иные виды объектов нечисловой природы). Так, довольно часто экспертов просят высказаться в свободной форме, ответив при этом на некоторые количество заранее сформулированных вопросов. Кроме того, их просят заполнить формальную карту, в каждом пункте выбрав одну из нескольких градаций. Сценарий должен содержать и конкретные методы анализа собранной информации. Например, вычисление медианы Кемени, статистический анализ люсианов, применение иных методов статистики объектов нечисловой природы и других разделов современной эконометрики. Эта работа ложится на эконометрическую и компьютерную группу РГ. Традиционная ошибка - сначала собрать информацию, а потом думать, что с ней делать. В результате, как показывает опыт, информация используется лишь на 1-2%. 
	5) Подбор экспертов в соответствии с их компетентностью. На этой стадии РГ составляет список возможных экспертов.
	6) Формирование экспертной комиссии (ЭК). На этой стадии РГ проводит переговоры с экспертами, получает их согласие на работу в ЭК, возможно, часть намеченных РГ экспертов отказывается по тем или иным причинам. ЛПР утверждает состав экспертной комиссии, возможно, вычеркнув или добавив часть экспертов к предложениям РГ. Проводится заключение договоров с экспертами об условиях их работы и ее оплаты.
	7) Проведение сбора экспертной информации. Часто перед этим проводится набор и обучение интервьюеров - одной из групп, входящих в РГ. 
	8) Компьютерный анализ экспертной информации с помощью включенных в сценарий методов. Ему обычно предшествует введение информации в компьютеры. 
	9) При применении согласно сценарию экспертной процедуры из нескольких туров - повторение двух предыдущих этапов. 
	10) Итоговый анализ экспертных мнений, интерпретация полученных результатов аналитической группой РГ и подготовка заключительного документа ЭК для ЛПР. 
	11) Официальное окончание деятельности РГ, в том числе утверждение ЛПР заключительного документа ЭК, подготовка и утверждение научного и финансового отчетов РГ о проведении исследования, оплата труда экспертов и сотрудников РГ, официальное прекращение деятельности (роспуск) ЭК и РГ.
	Разберем подробнее отдельные стадии экспертного исследования. 
	Подбор экспертов. Проблема подбора экспертов - одна из наиболее сложных в теории и практике экспертных исследований. Очевидно, в качестве экспертов необходимо использовать тех людей, чьи суждения наиболее помогут принятию адекватного решения. Но как выделить, найти, подобрать таких людей? Надо прямо сказать, что нет методов подбора экспертов, наверняка обеспечивающих успех экспертизы. 
	В проблеме подбора экспертов можно выделить две составляющие - составление списка возможных экспертов и выбор из них экспертной комиссии в соответствии с компетентностью кандидатов.
	Составление списка возможных экспертов облегчается тогда, когда рассматриваемый вид экспертизы проводится многократно. В таких ситуациях обычно ведется реестр возможных экспертов, например, в области государственной экологической экспертизы или судейства фигурного катания, из которого можно выбирать по различным критериям или с помощью датчика псевдослучайных чисел.
	Как быть, если экспертиза проводится впервые, устоявшиеся списки возможных экспертов отсутствуют? Однако и в этом случае у каждого конкретного специалиста есть некоторое представление о том, что требуется от эксперта в подобной ситуации. Для формирования списка есть полезный метод «снежного кома», при котором от каждого специалиста, привлекаемого в качестве эксперта, получают несколько фамилий тех, кто может быть экспертом по рассматриваемой тематике. Очевидно, некоторые из этих фамилий встречались ранее в деятельности РГ, а некоторые - новые. Каждого вновь появившегося опрашивают по той же схеме. Процесс расширения списка останавливается, когда новые фамилии практически перестают встречаться. В результате получается достаточно обширный список возможных экспертов. Метод «снежного кома» имеет и недостатки. Число туров до остановки процесса наращивания кома нельзя заранее предсказать. Кроме того, если на первом этапе все эксперты были из одного «клана», придерживались в чем-то близких взглядов или занимались сходной деятельностью, то и метод «снежного кома» даст, скорее всего, прежде всего лиц из этого «клана». Мнения и аргументы других «кланов» будут упущены.
	Вопрос об оценке компетентности экспертов не менее сложен. Успешность участия в предыдущих экспертизах - хороший критерий для деятельности дегустатора, врача, судьи в спортивных соревнованиях, т.е. таких экспертов, которые участвуют в длинных сериях однотипных экспертиз. Однако, увы, наиболее интересны и важны уникальные экспертизы больших проектов, не имеющих аналогов. Использование формальных показателей экспертов (должность, ученые степень и звание, стаж, число публикаций...), очевидно, в современных условиях может носить лишь вспомогательный характер, хотя подобные показатели проще всего применять. 
	Часто предлагают использовать методы самооценки и взаимооценки компетентности экспертов. Обсудим их, начав с метода самооценки, при котором эксперт сам дает информацию о том, в каких областях он компетентен, а в каких - нет. С одной стороны, кто лучше может знать возможности эксперта, чем он сам? С другой стороны, при самооценке компетентности скорее оценивается степень самоуверенности эксперта, чем его реальная компетентность. Тем более, что само понятие «компетентность» строго не определено. Можно его уточнять, выделяя составляющие, но при этом усложняется предварительная часть деятельности экспертной комиссии. Достаточно часто эксперт преувеличивает свою реальную компетентность. Например, большинство людей считают, что они хорошо разбираются в политике, экономике, проблемах образования и воспитания, семьи и медицины. На самом деле экспертов (и даже знающих людей) в этих областях весьма мало. Бывают уклонения и в другую сторону, излишне критичное отношение к своим возможностям.  
	При использовании метода взаимооценки, помимо возможности проявления личностных и групповых симпатий и антипатий, играет роль малая осведомленность экспертов о возможностях друг друга. В современных условиях достаточно хорошее знакомство с работами и возможностями друг друга может быть лишь у специалистов, много лет (не менее 3 - 4) работающих совместно, в одной комнате, над одной темой. Именно про такие пары можно сказать, что они «вместе пуд соли съели». Однако привлечение таких пар специалистов не очень-то целесообразно, поскольку их взгляды из-за схожести жизненного пути слишком похожи друг на друга.
	Если процедура экспертного опроса предполагает непосредственное общение экспертов, необходимо учитывать еще ряд обстоятельств. Большое значение имеют их личностные (социально-психологические) качества. Так, один-единственный  «говорун» может парализовать деятельность всей комиссии на совместном заседании. К срыву могут привести и неприязненные отношения членов комиссии, и сильно различающийся научный и должностной статус членов комиссии. В подобных случаях важно соблюдение регламента работы, разработанного РГ.
	Необходимо подчеркнуть: подбор экспертов в конечном счете - функция РГ, и никакие методики подбора не снимают с нее ответственности. Другими словами, именно на Рабочей группе лежит ответственность за компетентность экспертов, за их принципиальную способность решить поставленную задачу. Важным является требование к ЛПР об утверждении списка экспертов. При этом ЛПР может как добавить в комиссию отдельных экспертов, так и вычеркнуть некоторых из них - по собственным соображениям, с которыми членам РГ и ЭК знакомиться нет необходимости.
	Существует ряд нормативных документов, регулирующих деятельность экспертных комиссий в тех или иных областях. Примером является Закон Российской Федерации «Об экологической экспертизе» от 23 ноября 1995 г., в котором регламентируется процедура экспертизы «намечаемой хозяйственной или иной деятельности» с целью выявления возможного вреда, который может нанести рассматриваемая деятельность окружающей природной среде. 
	О разработке регламента проведения сбора и анализа экспертных мнений. Существует масса методов получения экспертных оценок. В одних с каждым экспертом работают отдельно, он даже не знает, кто еще является экспертом, а потому высказывает свое мнение независимо от авторитетов, «кланов» и отдельных коллег. В других экспертов собирают вместе для подготовки материалов для ЛПР, при этом эксперты обсуждают проблему друг с другом, принимают или отвергают аргументы друг друга, учатся друг у друга, и неверные или недостаточно обоснованные мнения отбрасываются. В одних методах число экспертов фиксировано и таково, чтобы статистические методы проверки согласованности мнений и затем (в случае достаточно хорошей согласованности мнений) их усреднения позволяли принимать обоснованные решения с точки зрения эконометрики. В других - число экспертов растет в процессе проведения экспертизы, например, при использовании метода «снежного кома» для формирования команды экспертов.  
	В настоящее время не существует общепринятой научно обоснованной классификации методов экспертных оценок и тем более - однозначных рекомендаций по их применению. Попытка силой утвердить одну из возможных точек зрения может принести лишь вред.
	Однако для рассказа о многообразии экспертных оценок необходима какая-либо рабочая классификация методов. Одну из таких возможных классификаций мы даем ниже, перечисляя основания, по которым мы делим экспертные оценки.
	Один из основных вопросов - что именно должна представить экспертная комиссия в результате своей работы - информацию для принятия решения ЛПР или проект самого решения? От ответа на этот методологический вопрос зависит организация работы экспертной комиссии, и он служит первым основанием для разбиения методов.
ЦЕЛЬ - СБОР ИНФОРМАЦИИ ДЛЯ ЛПР. Тогда РГ должна собрать возможно больше относящейся к делу информации, аргументов «за» и «против» определенных вариантов решений. Полезен следующий метод постепенного увеличения числа экспертов. Сначала первый эксперт приводит свои соображения по рассматриваемому вопросу. Составленный им материал передается второму эксперту, который добавляет свои аргументы. Накопленный материал поступает к следующему - третьему - эксперту... Процедура заканчивается, когда иссякает поток новых соображений.
	Отметим, что эксперты в рассматриваемом методе только поставляют информацию, аргументы «за» и «против», но не вырабатывают согласованного проекта решения. Нет никакой необходимости стремиться к тому, чтобы экспертные мнения были согласованы между собой. Более того, наибольшую пользу приносят эксперты с мышлением, отклоняющимся от массового. Именно от них следует ожидать наиболее оригинальных аргументов.
ЦЕЛЬ - ПОДГОТОВКА ПРОЕКТА РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЛПР. Математические методы в экспертных оценках применяются обычно именно для решения задач, связанных с подготовкой проекта решения. При этом зачастую некритически принимают догмы согласованности и одномерности. Эти догмы «кочуют» из одной публикации в другую, поэтому целесообразно их обсудить.
ДОГМА СОГЛАСОВАННОСТИ. Часто без всяких оснований считается, что решение может быть принято лишь на основе согласованных мнений экспертов. Поэтому исключают из экспертной группы тех, чье мнение отличается от мнения большинства. При этом отсеиваются как неквалифицированные лица, попавшие в состав экспертной комиссии по недоразумению или по соображениям, не имеющим отношения к их профессиональному уровню, так и наиболее оригинальные мыслители, глубже проникшие в проблему, чем большинство. Следовало бы выяснить их аргументы, предоставить им возможность для обоснования их точек зрения. Вместо этого их мнением пренебрегают. 
Бывает и так, что эксперты делятся на две или более групп, имеющих единые групповые точки зрения. Так, известен пример деления специалистов при оценке результатов научно-исследовательских работ на две группы: «теоретиков», явно предпочитающих НИР, в которых получены теоретические результаты, и «практиков», выбирающих те НИР, которые позволяют получать непосредственные прикладные результаты (речь идет о конкурсе НИР в академическом Институте проблем управления (автоматики и телемеханики)). Иногда заявляют, что в случае обнаружения двух или нескольких групп экспертов опрос не достиг цели. Это не так! Цель достигнута - установлено, что единого мнения нет. Это весьма важно. И ЛПР при принятии решений должен это учитывать. Стремление обеспечить согласованность мнений экспертов любой целой может приводить к сознательному одностороннему подбору экспертов, игнорированию всех точек зрения, кроме одной, наиболее «полюбившейся» Рабочей группе (или даже «подсказанной» ЛПР).
	Часто не учитывают еще одного чисто эконометрического обстоятельства. Поскольку число экспертов обычно не превышает 20-30, то формальная статистическая согласованность мнений экспертов (установленная с помощью тех или иных критериев проверки статистических гипотез) может сочетаться с реально имеющимся разделением экспертов на группы, что делает дальнейшие расчеты не имеющими отношения к действительности. Для примера обратимся к конкретным методам расчетов с помощью коэффициентов конкордации на основе коэффициентов ранговой корреляции Кендалла или Спирмена. Необходимо напомнить, что согласно эконометрической теории положительный результат проверки согласованности таким способом означает ни больше, ни меньше, как отклонение гипотезы о независимости и равномерной распределенности мнений экспертов на множестве всех ранжировок. Таким образом, проверяется нулевая гипотеза, согласно которой ранжировки, описывающие мнения экспертов, являются независимыми случайными бинарными отношениями, равномерно распределенными на множестве всех ранжировок. Отклонение этой нулевой гипотезы толкуется как согласованность ответов экспертов. Другими словами, мы падаем жертвой заблуждений, вытекающих из своеобразного толкования слов: проверка согласованности в указанном математико-статистическом смысле вовсе не является проверкой согласованности в смысле практики экспертных оценок. (Именно ущербность рассматриваемых математико-статистических методов анализа ранжировок привела группу специалистов к разработке нового математического аппарата для проверки согласованности - непараметрических методов, основанных на т.н. люсианах и входящих в современный раздел статистических методов - статистику нечисловых данных). Группы экспертов с близкими методами можно выделить эконометрическими методами кластер-анализа.
МНЕНИЯ ДИССИДЕНТОВ. С целью искусственно добиться согласованности стараются уменьшить влияние мнений экспертов-диссидентов, т.е. инакомыслящих по сравнению с большинством. Жесткий способ борьбы с диссидентами состоит в игнорировании их мнений, т.е. фактически в их исключении из состава экспертной комиссии. Отбраковка экспертов, как и отбраковка резко выделяющихся результатов наблюдений (выбросов), приводит к процедурам, имеющим плохие или неизвестные статистические свойства. Так, известна крайняя неустойчивость классических методов отбраковки выбросов по отношению к отклонениям от предпосылок модели. Мягкий способ борьбы с диссидентами состоит в применении робастных (устойчивых) статистических процедур. Простейший пример: если ответ эксперта - действительное число, то резко выделяющееся мнение диссидента сильно влияет на среднее арифметическое ответов экспертов и не влияет на их медиану. Поэтому разумно в качестве согласованного мнения рассматривать медиану. Однако при этом игнорируются (не достигают ЛПР) аргументы диссидентов. В любом из двух способов борьбы с диссидентами ЛПР лишается информации, идущей от диссидентов, а потому может принять необоснованное решение, которое впоследствии приведет к отрицательным последствиям. С другой стороны, представление ЛПР всего набора мнений снимает часть ответственности и труда по подготовке окончательного решения с комиссии экспертов и рабочей группы по проведению экспертного опроса и перекладывает эти ответственность и труд на плечи ЛПР.
ДОГМА ОДНОМЕРНОСТИ. Распространен довольно примитивный подход, согласно которому объект экспертизы всегда можно оценить одним числом. Странная идея! Оценивать человека одним числом приходило в голову лишь на невольничьих рынках. Вряд ли даже самые рьяные квалиметристы рассматривают книгу или картину как эквивалент числа - ее «рыночной стоимости».
Вместе с тем нельзя полностью отрицать саму идею поиска обобщенных показателей качества, технического уровня и аналогичных. Так, каждый объект можно оценивать по многим показателям качества. Например, легковой автомобиль можно оценивать по таким показателям: расход бензина на 100 км пути (в среднем);  надежность (средняя стоимость ремонта за год); экологическая безопасность, оцениваемая по содержанию вредных веществ в выхлопных газах; маневренность; быстрота набора скорости 100 км/час после начала движения; максимальная достигаемая скорость; длительность сохранения в салоне положительной температуры при низкой наружной температуре (-50 градусов по Цельсию) и выключенном двигателе; дизайн (привлекательность и «модность» внешнего вида и отделки салона); вес, и т.д. Можно ли свести оценки по этим показателям вместе? Определяющей является конкретная ситуация, для которой выбирается автомашина. Максимально достигаемая скорость важна для гонщика, но, как нам представляется, не имеет большого практического значения для водителя рядовой частной машины, особенно в городе с суровым ограничением на максимальную скорость. Для такого водителя важнее расход бензина, маневренность и надежность. Для машин различных государственных служб, видимо, надежность важнее, чем для частника, а расход бензина - наоборот. Для районов Крайнего Севера важна теплоизоляция салона, а для южных районов - нет. И т.д. Таким образом, важна конкретная (узкая) постановка задачи перед экспертами. Но такой постановки зачастую нет. А тогда «игры» по разработке обобщенного показателя качества - например, в виде линейной функции от перечисленных переменных -  не могут дать объективных выводов. Альтернативой единственному обобщенному показателю является математический аппарат типа многокритериальной оптимизации - множества Парето и т.д. 
В некоторых случаях все-таки можно глобально сравнить объекты - например, с помощью тех же экспертов получить упорядочение рассматриваемых объектов - изделий или проектов. Тогда можно ПОДОБРАТЬ коэффициенты при отдельных показателях так, чтобы упорядочение с помощью линейной функции возможно точнее соответствовало глобальному упорядочению (например, найти эти коэффициенты методом наименьших квадратов). Наоборот, в подобных случаях НЕ СЛЕДУЕТ оценивать указанные коэффициенты с помощью экспертов. Эта простая идея до сих пор не стала очевидной для отдельных составителей методик по проведению экспертных опросов и анализу их результатов. Они упорно стараются заставить экспертов делать то, что они выполнить не в состоянии - указывать веса, с которыми отдельные показатели качества должны входить в итоговый обобщенный показатель. Эксперты обычно могут сравнить объекты или проекты в целом, но не могут вычленить вклад отдельных факторов. Раз организаторы опроса спрашивают, эксперты отвечают, но эти ответы не несут в себе надежной информации о реальности...
ВТОРОЕ ОСНОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИИ ЭКСПЕРТНЫХ ПРОЦЕДУР - ЧИСЛО ТУРОВ. Экспертизы могут включать один тур, некоторое фиксированное число туров (два, три,…) или неопределенное число туров. Чем больше туров, тем более тщательным является анализ ситуации, поскольку эксперты при этом обычно много раз возвращаются к рассмотрению предмета экспертизы. Но одновременно увеличивается общее время на экспертизу и возрастает ее стоимость. Можно уменьшить расходы, вводя в экспертизу не всех экспертов сразу, а постепенно. Так, например, если цель состоит в сборе аргументов «за» и «против», то первоначальный перечень аргументов может быть составлен одним экспертом. Второй добавит к нему свои аргументы. Суммарный материал поступит к первому и третьему, которые внесут свои аргументы и контраргументы. И  так далее - добавляется по одному эксперту на каждый новый тур. Наибольшие сложности вызывают процедуры с заранее неопределенным числом туров,  например, «снежный ком». Часто задают максимально возможное число туров, и тогда неопределенность сводится к тому, придется ли проводить это максимальное число туров или удастся ограничиться меньшим числом.
ТРЕТЬЕ ОСНОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИИ ЭКСПЕРТНЫХ ПРОЦЕДУР - ОРГАНИЗАЦИЯ ОБЩЕНИЯ ЭКСПЕРТОВ. Рассмотрим достоинства и недостатки каждого из элементов шкалы: отсутствие общения - заочное анонимное общение - заочное общение без анонимности - очное общение с ограничениями - очное общение без ограничений. При отсутствии общения эксперт высказывает свое мнение, ничего не зная о других экспертах и об их мнениях. Он полностью независим, что и хорошо, и плохо. Обычно такая ситуация соответствует однотуровой экспертизе. Заочное анонимное общение, например, как в методе Дельфи, означает, что эксперт знакомится с мнениями и аргументами других экспертов, но не знает, кто именно высказал то или иное положение. Следовательно, в экспертизе должно быть предусмотрено хотя бы два тура. Заочное общение без анонимности соответствует, например, общению по Интернету. Все варианты заочной экспертизы хороши тем, что нет необходимости собирать экспертов вместе, следовательно, находить для этого удобное время и место. При очных экспертизах эксперты говорят, а не пишут, как при заочных, и потому успевают за то же время сказать существенно больше. Очная экспертиза с ограничениями весьма распространена. Это - собрание, идущее по фиксированному регламенту. Примером является военный совет в императорской русской армии, когда эксперты (офицеры и генералы) высказывались в порядке от младшего  (по чину и должности) к старшему. Наконец, очная экспертиза без ограничений - это свободная дискуссия. Все очные экспертизы имеют недостатки, связанные с возможностями отрицательного влияния на их проведение социально-психологических свойств и клановых (партийных) пристрастий участников, а также  неравенства их профессионального, должностного, научного статусов. Представьте себе, что соберутся вместе 5 лейтенантов и 3 генерала. Независимо от того, какая информация имеется у того или иного участника встречи, ход ее предсказать нетрудно: генералы будут говорить, а лейтенанты - помалкивать.
КОМБИНАЦИЯ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ЭКСПЕРТИЗЫ. Реальные экспертизы часто представляют собой комбинации различных описанных выше типов экспертиз. В качестве примера рассмотрим защиту студентом дипломного проекта. Сначала идет многотуровая очная экспертиза, проводимая научным руководителем и консультантами, в результате студент подготавливает проект к защите. Затем два эксперта работают заочно - это автор отзыва сторонней организации и заведующий кафедрой, допускающий работу к защите. Обратите внимание на различие задач этих экспертов и объемов выполняемой ими работы - один пишет подробный отзыв, второй росписью на титульном листе проекта разрешает его защиту. Наконец - очная экспертиза без ограничений (для членов государственной аттестационной комиссии). Дипломный проект оценивается коллегиально, по большинству голосов, при этом один из экспертов (научный руководитель) знает работу подробно, а остальные - в основном лишь по докладу. Таким образом, имеем сочетание многотуровой и однотуровой, заочных и очных экспертиз. Подобные сочетания характерны для многих реально проводящихся экспертиз.

11.3. Теория измерений и средние величины

	Для дальнейшего более углубленного рассмотрения проблем экспертных оценок понадобятся некоторые понятия так называемой репрезентативной теории измерений (РТИ), служащей основой теории экспертных оценок, прежде всего той ее части, которая связана с анализом заключений экспертов, выраженных в качественном (а не в количественном) виде. 
	Мнения экспертов часто выражены в порядковой шкале (подробнее о шкалах говорится ниже), т.е. эксперт может сказать (и обосновать), что один показатель качества продукции более важен, чем другой, первый технологический объект более опасен, чем второй, и т.д. Но он не в состоянии  сказать, во сколько раз или на сколько более важен, соответственно, более опасен. Экспертов часто просят дать ранжировку (упорядочение) объектов экспертизы, т.е. расположить их в порядке возрастания (или убывания) интенсивности интересующей организаторов экспертизы характеристики. Ранг - это номер (объекта экспертизы) в упорядоченном ряду. Формально ранги выражаются числами 1, 2, 3, ..., но с этими числами нельзя делать привычные арифметические операции. Например, хотя 1 + 2 = 3, но нельзя утверждать, что для объекта, стоящем на третьем месте в упорядочении, интенсивность изучаемой характеристики равна сумме интенсивностей объектов с рангами 1 и 2. Так, один из видов экспертного оценивания - оценки учащихся. Вряд ли кто-либо будет утверждать, что знания отличника равны сумме знаний двоечника и троечника (хотя 5 = 2 + 3), хорошист соответствует двум двоечникам (2 + 2 = 4), а между отличником и троечником такая же разница, как между хорошистом и двоечником (5 - 3 = 4 - 2). Поэтому очевидно, что для анализа подобного рода качественных данных необходима не всем известная арифметика, а другая теория, дающая базу для разработки, изучения и применения конкретных методов расчета. Это и есть РТИ. Надо иметь в виду, что в настоящее время термин «теория измерений» применяется для обозначения целого ряда научных дисциплин: классической метрологии, РТИ, некоторых других направлений, например, алгоритмической теории измерений. 
	Сначала РТИ развивалась как теория психофизических измерений. Основоположник РТИ американский психолог С.С. Стивенс основное внимание уделял шкалам измерения. Характерен следующий этап развития РТИ. Один из томов выпущенной в США в 1950-х гг. «Энциклопедии психологических наук» назывался «Психологические измерения». Значит, составители этого тома расширили сферу применения РТИ с психофизики на психологию в целом. А в основной статье в этом сборнике под названием, обратите внимание, «Основы теории измерений», изложение шло на абстрактно-математическом уровне, без привязки к какой-либо конкретной области применения. В этой статье упор был сделан на «гомоморфизмах эмпирических систем с отношениями в числовые» (в эти математические термины здесь вдаваться нет необходимости), и математическая сложность возросла по сравнению с работами С.С. Стивенса.
	Уже в одной из первых отечественных статей по РТИ (конец 1960-х гг.) установлено, что баллы, присваиваемые экспертами при оценке объектов экспертизы, как правило, измерены в порядковой шкале. Отечественные работы, появившиеся в начале 1970-х гг., привели к существенному расширению области использования РТИ. Ее применяли к педагогической  квалиметрии (измерению качества знаний учащихся), в системных исследованиях, в различных задачах теории экспертных оценок, для агрегирования показателей качества продукции, в социологических  исследованиях, и др. 
	В качестве двух основных проблем РТИ наряду с установлением типа шкалы был выдвинут поиск алгоритмов анализа данных, результат работы которых не меняется при любом допустимом преобразовании шкалы  (т.е. является  инвариантным относительно этого преобразования).  
Основные шкалы измерения. В соответствии с РТИ при математическом моделировании реального явления или процесса следует прежде всего установить, в каких типах шкал измерены те или иные переменные. Тип шкалы задает группу допустимых  преобразований. Допустимые преобразования не меняют соотношений между объектами измерения. Например, при  измерении длины переход от  аршин к метрам не меняет соотношений между длинами рассматриваемых объектов - если первый объект длиннее второго, то это будет установлено и при измерении в аршинах, и при измерении в метрах.
	Укажем основные виды шкал измерения  и соответствующие группы  допустимых  преобразований. В шкале наименований (другое название - номинальной шкалы) допустимыми являются все взаимно-однозначные  преобразования. В этой шкале числа используются лишь как метки. Примерно так же, как при сдаче белья в прачечную, т.е. лишь для различения объектов. В шкале наименований измерены, например, номера телефонов, автомашин, паспортов, студенческих билетов. Пол людей тоже измерен в шкале наименований, результат измерения принимает два значения - мужской, женский. Раса, национальность, цвет глаз, волос - номинальные признаки. Номера букв в алфавите - тоже измерения в шкале наименований. Никому в здравом уме не придет в голову складывать или умножать номера телефонов, такие операции не имеют смысла. Сравнивать буквы и говорить, например, что буква П лучше буквы С, также никто не будет.  Единственное, для чего годятся измерения в шкале наименований - это различать объекты. Во многих случаях только это от них и требуется. Например, шкафчики в раздевалках для взрослых различают по номерам, т.е. числам, а в детских садах используют рисунки, поскольку дети еще не знают чисел.
В порядковой шкале числа используются для установления порядка между объектами. Простейшим примером являются оценки знаний учащихся. Символично, что в средней школе применяются оценки 2, 3, 4, 5, а в высшей ровно тот же смысл выражается словесно - неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично. Этим подчеркивается «нечисловой» характер оценок знаний учащихся. В порядковой шкале допустимыми являются все строго возрастающие преобразования.
	Установление типа шкалы, т.е. задания группы допустимых преобразований шкалы измерения - дело специалистов соответствующей прикладной области. Так, оценки привлекательности профессий мы, выступая в качестве социологов, считали измеренными в порядковой шкале. Однако отдельные социологи не соглашались с нами, полагая, что выпускники школ пользуются шкалой с более узкой группой допустимых преобразований, например, интервальной шкалой. Очевидно, эта проблема относится не к математике, а к наукам о человеке. Для ее решения может быть поставлен достаточно трудоемкий эксперимент. Пока же он не поставлен, целесообразно принимать порядковую шкалу, так как это гарантирует от возможных ошибок.
	Оценки экспертов, как уже отмечалось, часто следует считать измеренными в порядковой шкале. Типичным примером являются задачи ранжирования и классификации промышленных объектов, подлежащих экологическому страхованию (см. ниже). 
Почему мнения экспертов естественно выражать именно в порядковой шкале? Как показали многочисленные опыты, человек более правильно (и с меньшими затруднениями) отвечает на вопросы качественного, например, сравнительного, характера, чем количественного. Так, ему легче сказать, какая из двух гирь тяжелее, чем указать их примерный вес в граммах. 
 Используется много других известных примеров порядковых шкал. Например, в минералогии используется шкала Мооса, по которому минералы классифицируются согласно критерию твердости. А именно: тальк имеет балл 1, гипс - 2, кальций - 3, флюорит - 4, апатит - 5, ортоклаз - 6, кварц - 7, топаз - 8, корунд - 9, алмаз - 10. Порядковыми шкалами в географии являются - бофортова шкала ветров («штиль», «слабый ветер», «умеренный ветер» и т.д.), шкала силы землетрясений. В медицине порядковыми шкалами являются - шкала стадий гипертонической болезни (по Мясникову), шкала степеней сердечной недостаточности (по Стражеско-Василенко-Лангу), шкала степени выраженности коронарной недостаточности (по Фогельсону). Номера домов также измерены в порядковой шкале. При оценке качества продукции и услуг, в т.н. квалиметрии (буквальный перевод: измерение качества) популярны порядковые шкалы. А именно, единица продукции оценивается как годная или не годная. При более тщательном анализе используется шкала с тремя градациями: есть значительные  дефекты - присутствуют только незначительные дефекты - нет дефектов.
При оценке экологических воздействий первая оценка - обычно порядковая: природная среда стабильна - природная среда угнетена (деградирует). Аналогично в эколого-медицинской шкале: нет выраженного воздействия на здоровье людей - отмечается отрицательное воздействие на здоровье. Порядковая шкала используется и в иных областях.  
Порядковая шкала и шкала наименований - основные шкалы качественных признаков. Поэтому во многих конкретных областях результаты качественного анализа можно рассматривать как измерения по этим шкалам.
	Шкалы количественных признаков - это шкалы интервалов, отношений, разностей, абсолютная. По шкале интервалов измеряют величину потенциальной энергии или координату точки на прямой. В этих случаях на шкале нельзя отметить ни естественное начало отсчета, ни естественную  единицу измерения. Допустимыми преобразованиями в шкале интервалов являются линейные возрастающие  преобразования, т.е. линейные функции. Температурные шкалы Цельсия и Фаренгейта связаны именно такой зависимостью: С0 = 5/9 (Ф0 - 32), где С0 - температура по шкале Цельсия, а Ф0 - температура по шкале Фаренгейта.
 	Из количественных шкал наиболее распространенными в науке и практике являются шкалы отношений. В них есть естественное начало отсчета - нуль, т.е. отсутствие величины, но нет естественной единицы измерения. По шкале отношений измерены большинство физических единиц: масса тела, длина, заряд, а также цены в экономике. Допустимыми преобразованиями шкале отношений являются подобные (изменяющие только масштаб). Другими словами, линейные возрастающие преобразования без свободного члена.
Время измеряется по шкале разностей, если год принимаем естественной единицей измерения, и по шкале интервалов в общем случае. Естественного начала отсчета указать на современном уровне знаний нельзя. Дату сотворения мира различные авторы рассчитывают по-разному, равно как и момент рождества Христова. Так, согласно новой статистической хронологии Господь Иисус Христос родился в Крыму в 1152 г. по принятому ныне летоисчислению. 
Только для абсолютной шкалы результаты измерений - числа в обычном смысле слова. Примером является число людей в комнате. Для абсолютной шкалы допустимым является только тождественное преобразование.
В процессе развития соответствующей области знания тип шкалы может меняться. Так, сначала температура измерялась по порядковой шкале (холоднее - теплее). Затем - по интервальной (шкалы Цельсия, Фаренгейта, Реомюра).  Наконец, после открытия абсолютного нуля температуру следует считать измеренной по шкале отношений (шкала Кельвина). Надо отметить, что среди специалистов иногда имеются разногласия по поводу того, по каким шкалам следует считать измеренными те или иные реальные величины. Другими словами, процесс измерения включает в себя и определение типа шкалы (вместе с обоснованием).
Инвариантные алгоритмы и средние величины. Основное требование к алгоритмам анализа данных формулируется в РТИ так: выводы, сделанные на основе данных, измеренных в шкале определенного типа, не должны меняться при допустимом преобразовании шкалы измерения этих данных. Другими словами,  выводы должны  быть инвариантны по отношению к допустимым преобразованиям шкалы. 
Таким образом, одна из основных целей теории измерений - борьба с субъективизмом исследователя при приписывании численных значений реальным объектам. Так, расстояния можно измерять в аршинах, метрах, микронах, милях, парсеках и других единицах измерения; массу (вес) - в пудах, килограммах, фунтах; цены на товары и услуги можно указывать в юанях, рублях, тенге, гривнах, латах, кронах, марках, долларах США и других валютах (при условии заданных курсов пересчета). Подчеркнем очень важное, хотя и вполне очевидное обстоятельство: выбор единиц измерения зависит от исследователя, т.е. субъективен. Статистические выводы могут быть адекватны реальности только тогда, когда они не зависят от того, какую единицу измерения предпочтет исследователь, т.е. когда они инвариантны относительно допустимого преобразования шкалы.
	В качестве примера рассмотрим обработку мнений экспертов, измеренных в порядковой шкале. Пусть Y1, Y2,...,Yn - совокупность оценок экспертов, «выставленных» одному объекту экспертизы (например, одному из вариантов стратегического развития фирмы), Z1, Z2,...,Zn - второму (другому варианту такого развития).
	Как сравнивать эти совокупности? Очевидно, самый простой способ - по средним значениям. А как вычислять средние? Известны различные виды средних величин: среднее арифметическое, медиана, мода, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратическое. Обобщением нескольких из перечисленных является среднее по Колмогорову. 
	Для чисел X1, X2,...,Xn среднее по Колмогорову вычисляется по формуле 
G{(F(X1) + F(X2) +...+ F(Xn))/n}, 
где F  - строго монотонная  функция (т.е. строго возрастающая или строго убывающая), G - функция, обратная к F. 
	Среди средних по Колмогорову - много хорошо известных персонажей. Так, если F(x) = x, то среднее по Колмогорову - это среднее арифметическое, если F(x) = ln x, то среднее геометрическое, если F(x) = 1/x, то среднее гармоническое, если F(x) = x2, то среднее квадратическое, и т.д. (в последних трех случаях усредняются положительные величины). С другой стороны, такие популярные средние, как медиана и мода, нельзя представить в виде средних по Колмогорову.
	Общее понятие средней величины введено французским математиком первой половины ХIХ в. академиком О. Коши. Оно таково: средней величиной является любая функция f(X1, X2,...,Xn) такая, что при всех возможных значениях аргументов значение этой функции не меньше, чем минимальное из чисел X1, X2,...,Xn, и не больше, чем максимальное из этих чисел. Среднее по Колмогорову - частный случай среднего по Коши. Медиана и мода не являются средними по Колмогорову. Однако они - средние по Коши.
	При допустимом преобразовании  шкалы значение средней величины, очевидно, меняется. Но выводы о том, для какой совокупности среднее больше, а для какой - меньше, не должны меняться (в соответствии с требованием инвариантности выводов, принятом как основное требование в РТИ). Сформулируем соответствующую математическую задачу поиска вида средних величин, результат сравнения которых устойчив относительно допустимых преобразований шкалы. 
	Пусть f(X1, X2,...,Xn) - среднее по  Коши. Пусть среднее по первой совокупности меньше среднего по второй совокупности:
 f(Y1, Y2,...,Yn) <  f(Z1, Z2,...,Zn).   
Тогда согласно теории измерений для устойчивости результата сравнения средних необходимо, чтобы для любого допустимого преобразования g (из группы допустимых преобразований в соответствующей шкале) было справедливо также неравенство 
 f(g(Y1), g(Y2),...,g(Yn)) <  f(g(Z1), g(Z2),...,g(Zn)),   
т.е. среднее преобразованных значений из первой совокупности также было меньше среднего преобразованных значений для второй совокупности. Причем сформулированное условие должно быть верно для любых двух совокупностей Y1, Y2,...,Yn и Z1, Z2,...,Zn. И, напомним, для любого допустимого преобразования. Средние величины, удовлетворяющие сформулированному условию, назовем допустимыми (в соответствующей шкале). Согласно теории измерений, только допустимыми средними величинами можно пользоваться при анализе мнений экспертов и иных данных, измеренных в рассматриваемой шкале.
	С помощью математической теории, развитой А.И.Орловым в 1970-х гг., удается описать вид допустимых средних в основных шкалах: в шкале наименований в качестве среднего годится только мода; из всех средних по Коши в порядковой шкале в качестве средних можно использовать только члены вариационного ряда (порядковые статистики), в частности, медиану (при нечетном объеме выборки; при четном же объеме следует применять один из двух центральных членов вариационного ряда - как их иногда называют, левую медиану или правую медиану), но не среднее арифметическое, среднее геометрическое и т.д.; в шкале интервалов из всех средних по Колмогорову  можно применять только среднее арифметическое; в шкале отношений из всех средних по Колмогорову устойчивыми относительно сравнения являются только степенные средние и среднее геометрическое. 
	Приведем численный пример, показывающий некорректность использования среднего арифметического f(X1, X2) = (X1 + X2)/2 в порядковой шкале. Пусть Y1= 1, Y2 = 11, Z1= 6, Z2= 8. Тогда f(Y1, Y2) = 6, что меньше, чем f(Z1, Z2) = 7. Пусть строго возрастающее преобразование g таково, что g(1) = 1, g(6) = 6, g(8) = 8, g(11) = 99. Таких преобразований много. Например, можно положить g(x) = x при x, не превосходящих 8, и g(x) = 99(x-8)/3 + 8 для х, больших 8. Тогда f(g(Y1), g(Y2)) = 50, что больше, чем f(g(Z1), g(Z2)) = 7. Как видим, в результате допустимого, т.е. строго возрастающего преобразования шкалы упорядоченность средних величин изменилась.
	Приведенные результаты о средних величинах широко применяются, причем не только в теории экспертных оценок или социологии, но и, например, для анализа методов агрегирования датчиков в АСУ ТП доменных печей. Велико прикладное значение РТИ в задачах стандартизации и управления качеством, в частности, в квалиметрии. Здесь есть и интересные теоретические результаты. Например, любое изменение коэффициентов весомости единичных показателей качества продукции приводит к изменению упорядочения изделий по средневзвешенному показателю (эта теорема доказана В.В. Подиновским).

11.4. Методы средних баллов

	В настоящее время распространены экспертные, маркетинговые, квалиметрические, социологические и иные опросы, в которых опрашиваемых просят выставить баллы объектам, изделиям, технологическим процессам, предприятиям, проектам, заявкам на выполнение научно-исследовательских работ, идеям, проблемам, программам, политикам и т.п., а затем рассчитывают средние баллы и рассматривают их как интегральные оценки, выставленные коллективом опрошенных. Какими формулами пользоваться для вычисления средних величин? Ведь средних величин, как мы знаем, очень много разных видов. Обычно применяют среднее арифметическое. Однако специалистам уже более 30 лет известно, что такой способ некорректен, поскольку баллы обычно измерены в порядковой шкале (см. выше). Обоснованным является использование медиан  в качестве средних баллов. Однако полностью игнорировать средние арифметические нецелесообразно из-за их привычности и распространенности. Поэтому целесообразно использовать одновременно оба метода - и метод средних арифметических рангов (баллов), и методов медианных рангов. Такая рекомендация находится в согласии с концепцией устойчивости, рекомендующей использовать различные методы для обработки одних и тех же данных с целью выделить выводы, получаемые одновременно при всех методах. Такие выводы, видимо, соответствуют реальной действительности, в то время как заключения, меняющиеся от метода к методу, зависят от субъективизма исследователя, выбирающего метод обработки исходных экспертных оценок.
Пример сравнения восьми проектов. Рассмотрим конкретный пример применения только что сформулированного подхода. 	По заданию руководства фирмы анализировались восемь проектов, предлагаемых для включения в план стратегического развития фирмы. Они были обозначены следующим образом: Д, Л, М-К, Б, Г-Б, Сол, Стеф, К (по фамилиям менеджеров, предложивших их для рассмотрения). Все проекты были направлены 12 экспертам, назначенным Правлением фирмы. 
Таблица 11.1
Ранги 8 проектов по степени привлекательности
для включения в план стратегического развития фирмы
№ эксперта	Д	Л	М-К	Б	Г-Б	Сол	Стеф	К	
1	5	3	1	2	8	4	6	7	
2	5	4	3	1	8	2	6	7	
3	1	7	5	4	8	2	3	6	
4	6	4	2,5	2,5	8	1	7	5	
5	8	2	4	6	3	5	1	7	
6	5	6	4	3	2	1	7	8	
7	6	1	2	3	5	4	8	7	
8	5	1	3	2	7	4	6	8	
9	6	1	3	2	5	4	7	8	
10	5	3	2	1	8	4	6	7	
11	7	1	3	2	6	4	5	8	
12	1	6	5	3	8	4	2	7	

	Примечание. Эксперт № 4 считает, что проекты М-К и Б равноценны, но уступают лишь одному проекту - проекту Сол. Поэтому проекты М-К и Б должны были бы стоять на втором и третьем местах и получить баллы 2 и 3. Поскольку они равноценны, то получают средний балл (2+3)/ 2 = 5/ 2 = 2,5.

В табл. 11.1 приведены ранги восьми проектов, присвоенные им каждым из 12 экспертов в соответствии с представлением экспертов о целесообразности включения проекта в стратегический план фирмы. При этом эксперт присваивает ранг 1 самому лучшему проекту, который обязательно надо реализовать.  Ранг 2 получает от эксперта второй по привлекательности проект,..., наконец, ранг 8 - наиболее сомнительный проект, который реализовывать стоит лишь в последнюю очередь). Анализируя результаты работы экспертов (т.е. табл. 11.1), члены Правления фирмы были вынуждены констатировать, что полного согласия между экспертами нет, а потому данные, приведенные в таблице, следует подвергнуть более тщательному математическому анализу.
Метод средних арифметических рангов. Сначала был применен метод средних арифметических рангов. Для этого прежде всего была подсчитана сумма рангов, присвоенных проектам (см. табл. 11.1). Затем эта сумма была разделена на число экспертов, в результате рассчитан средний арифметический ранг (именно эта операция дала название методу). По средним рангам строится итоговая ранжировка (в другой терминологии - упорядочение), исходя из принципа - чем меньше средний ранг, чем лучше проект. 
Наименьший средний ранг, равный 2,625, у проекта Б, - следовательно, в итоговой ранжировке он получает ранг 1. Следующая по величине сумма, равная 3,125, у проекта М-К, - и он получает итоговый ранг 2. Проекты Л и Сол имеют одинаковые суммы (равные 3,25), значит, с точки зрения экспертов они равноценны (при рассматриваемом способе сведения вместе мнений экспертов), а потому они должны бы стоять на 3 и 4 местах и получают средний балл (3+4) /2 = 3,5. Дальнейшие результаты приведены в табл. 11.2 ниже. Итак, ранжировка по суммам рангов (или, что то же самое, по средним арифметическим рангам) имеет вид:
Б < М-К < {Л, Сол} < Д < Стеф < Г-Б < К . 	(11.1)
Здесь запись типа «А < Б» означает, что проект А предшествует проекту Б (т.е. проект А лучше проекта Б). Поскольку проекты Л и Сол получили одинаковую сумму баллов, то по рассматриваемому методу они эквивалентны, а потому объединены в группу (в фигурных скобках). В терминологии математической статистики ранжировка (11.1) имеет одну связь.
		
Таблица 11.2
Результаты расчетов по методу средних арифметических
и методу медиан для данных, приведенных в табл. 11.1
	Д	Л	М-К	Б	Г-Б	Сол	Стеф	К	
Сумма рангов	60	39	37,5	31.5	76	39	64	85	
Среднее арифметическое рангов 	5	3,25	3,125	2,625	6,333	3,25	5,333	7,083	
Итоговый ранг по среднему арифметическому	5	3,5	2	1	7	3,5	6	8	
Медианы рангов	5	3	3	2,25	7,5	4	6	7	
Итоговый ранг по медианам	5	2,5	2,5	1	8	4	6	7	

Метод медиан рангов. Значит, итог расчетов - ранжировка (11.1), и на ее основе предстоит принимать решение? Но тут наиболее знакомый с современной эконометрикой член Правления вспомнил, что ответы экспертов измерены в порядковой шкале, а потому для них неправомерно проводить усреднение методом средних арифметических. Надо использовать метод медиан. Что это значит? Надо взять ответы экспертов, соответствующие одному из проектов, например, проекту Д. Это ранги 5, 5, 1, 6, 8, 5, 6, 5, 6, 5, 7, 1. Затем их надо расположить в порядке неубывания (проще было бы сказать - «в порядке возрастания», но поскольку некоторые ответы совпадают, то приходится использовать непривычный термин «неубывание»). Получим последовательность: 1, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8. На центральных местах - шестом и седьмом - стоят 5 и 5. Следовательно, медиана равна 5.
	Медианы совокупностей из 12 рангов, соответствующих определенным проектам, приведены в предпоследней строке табл. 11.2. (При этом медианы вычислены по обычным правилам статистики - как среднее арифметическое центральных членов вариационного ряда.) Итоговое упорядочение по методу медиан приведено в последней строке таблицы. Ранжировка (т.е. упорядочение - итоговое мнение комиссии экспертов) по медианам имеет вид: 
Б < {М-К, Л} < Сол < Д < Стеф < К <Г-Б  . 	(11.2)
Поскольку проекты Л и М-К имеют одинаковые медианы баллов, то по рассматриваемому методу ранжирования они эквивалентны, а потому объединены в группу (кластер), т.е. с точки зрения математической статистики ранжировка (11.2) имеет одну связь.
Сравнение ранжировок по методу средних арифметических и методу медиан. Сравнение ранжировок (11.1) и (11.2) показывает их близость (похожесть). Можно принять, что проекты М-К, Л, Сол упорядочены как М-К < Л < Сол, но из-за погрешностей экспертных оценок в одном методе признаны равноценными проекты Л и Сол (ранжировка (11.1)), а в другом - проекты М-К и Л (ранжировка (11.2)). Существенным является только расхождение, касающееся упорядочения  проектов К и Г-Б: в ранжировке (11.1) Г-Б < К, а в ранжировке (11.2), наоборот, К < Г-Б. Однако эти проекты - наименее привлекательные из восьми рассматриваемых, и при выборе наиболее привлекательных проектов для дальнейшего обсуждения и использования это расхождение не существенно.
	Рассмотренный пример демонстрирует сходство и различие ранжировок, полученных по методу средних арифметических рангов и по методу медиан, а также пользу от их совместного применения. 

11.5. Метод согласования кластеризованных ранжировок 
 
	Проблема состоит в выделении общего нестрогого порядка из набора кластеризованных ранжировок (на статистическом языке - ранжировок со связями). Этот набор может отражать мнения нескольких экспертов или быть получен при обработке мнений экспертов различными методами. В разделе разобран метод согласования кластеризованных ранжировок, позволяющий «загнать» противоречия внутрь специальным образом построенных кластеров (групп), в то время как упорядочение кластеров соответствует всем исходным упорядочениям. 
	В различных прикладных областях возникает необходимость анализа нескольких кластеризованных ранжировок объектов. К таким областям относятся, прежде всего, экология, инженерный бизнес, менеджмент, экономика, социология, прогнозирование, научные и технические исследования и т.д., особенно те их разделы, что связаны с экспертными оценками (см., например, [1, 2]). В качестве объектов могут выступать образцы продукции, технологии, математические модели, проекты, кандидаты на должность и др. Кластеризованные ранжировки могут быть получены как с помощью экспертов, так и объективным путем, например, при сопоставлении математических моделей с экспериментальными данными с помощью того или иного критерия качества. Описанный ниже метод разработан в связи с проблемами химической безопасности биосферы и экологического страхования.
	Рассмотрим метод построения кластеризованной ранжировки,  согласованной (в раскрытом ниже смысле) со всеми рассматриваемыми кластеризованными ранжировками. При этом противоречия между отдельными исходными ранжировками оказываются заключенными внутри кластеров согласованной ранжировки. В результате упорядоченность кластеров отражает общее мнение экспертов, точнее, то общее, что содержится в исходных ранжировках.
	В кластеры заключены объекты, по поводу которых некоторые из исходных ранжировок противоречат друг другу. Для их упорядочения необходимо провести новые исследования. Эти исследования могут быть как формально-математическими (например, вычисление медианы Кемени, упорядочения по средним рангам или по медианам и т.п.), так и требовать привлечения новой информации из соответствующей прикладной области, возможно, проведения  дополнительных научных или прикладных работ. 
	Введем необходимые понятия, затем сформулируем алгоритм согласования кластеризованных ранжировок в общем виде и рассмотрим его свойства.
 	Пусть имеется конечное число объектов, которые мы для простоты изложения будем изображать натуральными числами 1, 2, 3,..., k и называть «носителем». Под кластеризованной ранжировкой, определенной на заданном носителе, понимаем следующую математическую конструкцию. Пусть объекты разбиты на группы, которые будем называть кластерами. В кластере может быть и один элемент. Входящие в один кластер объекты будем заключать в фигурные скобки. Например, объекты 1, 2, 3,..., 10 могут быть разбиты на 7 кластеров: {1}, {2, 3}, {4}, {5, 6, 7}, {8}, {9}, {10}. В этом разбиении один кластер {5, 6, 7} содержит три элемента, другой - {2, 3} - два, остальные пять - по одному элементу. Кластеры не имеют общих элементов, а объединение их (как множеств) есть все рассматриваемое множество объектов. 
	Вторая составляющая кластеризованной ранжировки - это строгий линейный порядок между кластерами. Задано, какой из них первый, какой второй, и т.д. Будем изображать упорядоченность с помощью знака < . При этом кластеры, состоящие из одного элемента, будем для простоты изображать без фигурных скобок. Тогда кластеризованную ранжировку на основе введенных выше кластеров можно изобразить так: А = [1 < {2, 3} < 4 < {5, 6, 7} < 8 < 9 < 10]. Конкретные кластеризованные ранжировки будем заключать в квадратные скобки. Если для простоты речи термин «кластер» применять только к кластеру не менее чем из 2-х элементов, то можно сказать, что в кластеризованную ранжировку А входят два кластера {2, 3} и {5, 6, 7} и 5 отдельных элементов. 
	Введенная описанным образом кластеризованная ранжировка является бинарным отношением на множестве {1, 2, 3, ..., 10}. Его структура такова. Задано отношение эквивалентности с 7-ю классами эквивалентности, а именно, {2, 3}, {5, 6, 7}, а остальные состоят из оставшихся 5 отдельных элементов. Затем введен строгий линейный порядок между классами эквивалентности. Введенный математический объект известен в литературе как «ранжировка со связями» (М. Холлендер, Д.Вулф), «упорядочение» (Дж. Кемени, Дж. Снелл), «квазисерия» (Б.Г.Миркин),  «совершенный квазипорядок» (Ю.А. Шрейдер [3, с.127, 130]). Учитывая разнобой в терминологии, мы ввели термин «кластеризованная ранжировка», поскольку в нем явным образом названы основные элементы изучаемого математического объекта - кластеры, рассматриваемые на этапе согласования ранжировок как классы эквивалентности, и ранжировка - строгий совершенный порядок между ними (в терминологии [3, гл.IV]).
 	Следующее важное понятие - противоречивость. Оно определяется для четверки - две кластеризованные ранжировки на одном и том же носителе и два различных объекта - элементы того же носителя.  При этом два элемента из одного кластера будем связывать символом равенства = , как эквивалентные .  
	Пусть А и В - две кластеризованные ранжировки. Пару объектов (a,b) назовем  «противоречивой» относительно А и В, если эти два элемента по-разному упорядочены в А и В, т.е. a < b в А и a > b в В (первый вариант противоречивости) либо a >b в А и  a < b в В (второй вариант противоречивости). Отметим, что в соответствии с этим определением пара объектов (a, b), эквивалентная хотя бы в одной кластеризованной ранжировке, не может быть противоречивой: a = b не образует «противоречия» ни с a < b, ни с a > b.
	В качестве примера рассмотрим две кластеризованные ранжировки В = [{1,2} < {3, 4, 5} < 6 < 7 < 9 < {8, 10}], C = [3 < {1, 4} < 2 < 6 < {5, 7, 8} < {9, 10}]. 
	Совокупность противоречивых пар объектов для двух кластеризованных ранжировок А и В назовем «ядром противоречий» и обозначим S(A, B). Для рассмотренных выше в качестве примеров трех кластеризованных ранжировок А, В и С, определенных на одном и том же носителе {1, 2, 3,..., 10},  имеем S(A, B) = {(8, 9)}, S(A, C) = {(1, 3), (2, 4)}, S(B, C) = {(1, 3), (2, 3), (2, 4), (5, 6), (8, 9)}. Как при ручном, так и при программном нахождении ядра можно в поисках противоречивых пар просматривать пары (1, 2), (1, 3), (1, 4), ...., (1, k), затем (2, 3), (2, 4), ..., (2, k), потом (3, 4), ..., (3, k), и т.д., вплоть до (k-1, k). 
	Пользуясь понятиями дискретной математики, «ядро противоречий» можно изобразить графом с вершинами в точках носителя. При этом противоречивые пары задают ребра этого графа. Граф для S(A, B) имеет только одно ребро (одна связная компонента более чем из одной точки), для S(A, C) - 2 ребра (две связные компоненты более чем из одной точки), для S(B, C) - 5 ребер (три связные компоненты более чем из одной точки {1, 2 , 3, 4}, {5, 6} и {8, 9}).
	Каждую кластеризованную ранжировку, как и любое бинарное отношение, можно задать матрицей  ||x(a, b)|| из 0 и 1 порядка k × k. При этом x(a, b) = 1 тогда и только тогда, когда a < b либо a = b. В первом случае x(b, a) = 0, а во втором x(b, a) = 1. При этом хотя бы одно из чисел x(a, b) и x(b, a) равно 1. Из определения противоречивости пары (a, b) вытекает, что для нахождения всех таких пар достаточно поэлементно перемножить две матрицы ||x(a, b)|| и ||y(a, b)||, соответствующие двум кластеризованным ранжировкам, и отобрать те и только те пары, для которых x(a, b)y(a, b) = x(b, a)y(b, a) = 0.
 	Предлагаемый алгоритм согласования некоторого числа кластеризованных ранжировок состоят из трех этапов. На первом выделяются противоречивые пары объектов во всех парах кластеризованных ранжировок. На втором формируются кластеры итоговой кластеризованной ранжировки (т.е. классы эквивалентности - связные компоненты графов, соответствующих объединению попарных ядер противоречий). На третьем этапе эти кластеры (классы эквивалентности) упорядочиваются. Для установления порядка между кластерами произвольно выбирается один объект из первого кластера и второй - из второго, порядок между кластерами устанавливается такой же, какой имеет быть между выбранными объектами в любой из рассматриваемых кластеризованных ранжировок. Корректность подобного упорядочивания, т.е. его независимость от выбора той или иной пары объектов,  вытекает из соответствующих теорем, доказанных в статье [2]. Два объекта из разных кластеров согласующей кластеризованной ранжировки могут оказаться эквивалентными в одной из исходных кластеризованных ранжировок (т.е. находиться в одном кластере). В таком случае надо рассмотреть упорядоченность этих объектов в какой-либо другой из исходных кластеризованных ранжировок. Если же во всех исходных кластеризованных ранжировках два рассматриваемых объекта находились в одном кластере, то естественно считать (и это является уточнением к этапу 3 алгоритма), что они находятся в одном кластере и в согласующей кластеризованной ранжировке.
	Результат согласования кластеризованных ранжировок А, В, С,... обозначим f(А, В, С,...). Тогда f(А, В) = [1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < {8, 9} < 10], f(А, С) = [{1, 3} < {2, 4} < 6 < {5, 7} < 8 < 9 < 10], f(В, С) = [{1, 2, 3, 4} < {5, 6} < 7 < {8, 9} < 10], f(А, В, С) = f(В, С) = [{1, 2, 3, 4} < {5, 6} < 7 < {8, 9} < 10]. В случае f(А, В) дополнительного изучения с целью упорядочения требуют только объекты 8 и 9. В случае f(В, С) объекты 1, 2, 3, 4 объединились в один кластер, т.е. кластеризованные ранжировки оказались настолько противоречивыми, что процедура согласования не позволила провести достаточно полную декомпозицию задачи нахождения итогового мнения экспертов.
	Замечание. В f(А, С) объекты 5 и 7 объединены в кластер потому, что и в А, и в С они равноценны. Таким образом, кластер {5, 7} имеет другие свойства, чем остальные – в нем нет элементов, образующих противоречивые пары, наоборот, его элементы равноценны.
	Рассмотрим некоторые свойства алгоритмов согласования. Пусть D = f(А, В, C,...). Если a < b в согласующей кластеризованной ранжировке D, то a < b или a = b в каждой из исходных ранжировок А, В, C, ... Построение согласующих кластеризованных ранжировок может осуществляться поэтапно. В частности, f(A, B, C) = f(f(A, B), f(A, C), f(B, C)) . Ясно, что ядро противоречий для набора кластеризованных ранжировок является объединением таких ядер для всех пар рассматриваемых ранжировок. Построение согласующих кластеризованных ранжировок нацелено на выделение общего упорядочения в исходных кластеризованных ранжировках. Однако при этом некоторые общие свойства исходных кластеризованных ранжировок могут теряться. Так, при согласовании ранжировок В и С, рассмотренных выше, противоречия в упорядочении элементов 1 и 2 не было - в ранжировке В эти объекты входили в один кластер, т.е. 1 = 2, в то время как 1 < 2 в кластеризованной ранжировке С. Значит, при их отдельном рассмотрении можно принять упорядочение 1 < 2. Однако в f(В, C) они попали в один кластер, т.е. возможность их упорядочения исчезла. Это связано с поведением объекта 3, который «перескочил» в С на первое место и «увлек с собой в противоречие» пару (1, 2), образовав противоречивые пары и с 1, и с 2. Cвязная компонента графа, соответствующего ядру противоречий, сама по себе не всегда является полным графом. Недостающие ребра при этом соответствуют парам типа (1, 2), которые сами по себе не являются противоречивыми, но «увлекаются в противоречие» другими парами.
 	Необходимость согласования кластеризованных ранжировок возникает, в частности, при разработке методики применения экспертных оценок в задачах экологического страхования и химической безопасности биосферы. Как уже говорилось, популярным является метод упорядочения по средним рангам, в котором итоговая ранжировка строится на основе средних арифметических рангов, выставленных отдельными экспертами [1]. Однако из теории измерений известно (см. выше, а подробнее - [4, гл.3]), что более обоснованным является использование не средних арифметических, а медиан. Вместе с тем метод средних рангов весьма известен и широко применяется, так что просто отбросить его нецелесообразно. Поэтому было принято решение об одновременном применении обеих методов. Реализация этого решения потребовала разработки методики согласования двух указанных кластеризованных ранжировок. 
	Рассматриваемый метод согласования кластеризованных ранжировок построен в соответствии с методологией  теории устойчивости [4], согласно которой результат обработки данных, инвариантный относительно метода обработки, соответствует реальности, а результат расчетов, зависящий от метода обработки, отражает субъективизм исследователя, а не объективные соотношения.
 
11.6. Математические методы анализа экспертных оценок 
 
	При анализе мнений экспертов можно применять самые разнообразные статистические методы, описывать их - значит описывать всю прикладную статистику. Тем не менее, можно выделить основные широко используемые в настоящее время методы математической обработки экспертных оценок - это проверка согласованности мнений экспертов (или классификация экспертов, если нет согласованности) и усреднение мнений экспертов внутри согласованной группы.
	Поскольку ответы экспертов во многих процедурах экспертного опроса - не числа, а такие объекты нечисловой природы, как градации качественных признаков, ранжировки, разбиения, результаты парных сравнений, нечеткие предпочтения и т.д., то для их анализа оказываются полезными методы статистики объектов нечисловой природы.
Почему ответы экспертов часто носят нечисловой характер? Наиболее общий ответ состоит в том, что люди не мыслят числами. В мышлении человека используются образы, слова, но не числа. Поэтому требовать от эксперта ответ в форме чисел - значит насиловать его разум. Даже в экономике предприниматели, принимая решения, лишь частично опираются на численные расчеты. Это видно из условного (т.е. определяемого произвольно принятыми соглашениями, обычно оформленными в виде инструкций) характера балансовой прибыли, амортизационных отчислений и других экономических показателей. Поэтому фраза типа «фирма стремится к максимизации прибыли» не может иметь строго определенного смысла. Достаточно спросить: «Максимизация прибыли - за какой период?» И сразу станет ясно, что степень оптимальности принимаемых решений зависит от горизонта планирования (на экономико-математическом уровне этот сюжет рассмотрен в монографии [4]).
 	Эксперт может сравнить два объекта, сказать, какой из двух лучше (метод парных сравнений), дать им оценки типа «хороший», «приемлемый», «плохой», упорядочить несколько объектов по привлекательности, но обычно не может ответить, во сколько раз или на сколько один объект лучше другого.  Следовательно, ответы эксперта обычно измерены в порядковой шкале, или являются ранжировками, результатами парных сравнений и другими объектами нечисловой природы, но не числами. Распространенное заблуждение состоит в том, что ответы экспертов стараются рассматривать как числа, занимаются «оцифровкой» их мнений, приписывая этим мнениям численные значения - баллы, которые потом обрабатывают с помощью методов прикладной статистики как результаты обычных физико-технических измерений. В случае произвольности «оцифровки» выводы, полученные в результате обработки данных, могут не иметь отношения к реальности.  
Проверка согласованности мнений экспертов и классификация экспертных мнений. Ясно, что мнения разных экспертов различаются. Важно понять, насколько велико это различие. Если мало - усреднение мнений экспертов позволит выделить то общее, что есть у всех экспертов, отбросив случайные отклонения в ту или иную сторону. Если велико - усреднение является чисто формальной процедурой. Так, если представить себе, что ответы экспертов равномерно покрывают поверхность бублика, то формальное усреднение укажет на центр дырки от бублика, а такого мнения не придерживается ни один эксперт. Из сказанного ясна важность проблемы проверки согласованности мнений экспертов. 
	Разработан ряд методов такой проверки. Статистические методы проверки согласованности зависят от математической природы ответов экспертов. Соответствующие статистические теории весьма трудны, если эти ответы - ранжировки или разбиения, и достаточно просты, если ответы - результаты независимых парных сравнений. Отсюда вытекает рекомендация по организации экспертного опроса: не старайтесь сразу получить от эксперта ранжировку или разбиение, ему трудно это сделать, да и имеющиеся математические методы не позволяют далеко продвинуться в анализе подобных данных. Например, рекомендуют проверять согласованность ранжировок с помощью коэффициента ранговой конкордации Кендалла-Смита. Но давайте вспомним, какая статистическая модель при этом используется. Проверяется нулевая гипотеза, согласно которой ранжировки независимы и равномерно распределены на множестве всех ранжировок. Если эта гипотеза принимается, то конечно, ни о какой согласованности мнений экспертов говорить нельзя. А если отклоняется? Тоже нельзя. Например, может быть два (или больше) центра, около которых группируются ответы экспертов. Нулевая гипотеза отклоняется. Но разве можно говорить о согласованности? 
Эксперту гораздо легче на каждом шагу сравнивать только два объекта. Пусть он занимается парными сравнениями. Непараметрическая теория парных сравнений (теория люсианов) позволяет решать более сложные задачи, чем статистика ранжировок или разбиений. В частности, вместо гипотезы равномерного распределения можно рассматривать гипотезу однородности, т.е. вместо совпадения всех распределений с одним фиксированным (равномерным) можно проверять лишь совпадение распределений мнений экспертов между собой, что естественно трактовать как согласованность их мнений. Таким образом, удается избавиться от неестественного предположения равномерности.
При отсутствии согласованности экспертов естественно разбить их на группы сходных по мнению. Это можно сделать различными методами статистики объектов нечисловой природы, относящимися к кластер-анализу, предварительно введя метрику в пространство мнений экспертов. Идея американского математика Джона Кемени об аксиоматическом введении метрик (см. ниже) нашла многочисленных продолжателей. Однако методы кластер-анализа обычно являются эвристическими. В частности, невозможно с позиций статистической теории обосновать «законность» объединения двух кластеров в один. Имеется важное исключение - для независимых парных сравнений (люсианов) разработаны методы, позволяющие проверять возможность объединения кластеров как статистическую гипотезу. Это - еще один аргумент за то, чтобы рассматривать теорию люсианов как ядро математических методов экспертных оценок [1].
Нахождение итогового мнения комиссии экспертов. Пусть мнения комиссии экспертов или какой-то ее части признаны согласованными. Каково же итоговое (среднее, общее) мнение комиссии? Согласно идее Джона Кемени следует найти среднее мнение как решение оптимизационной задачи. А именно, надо минимизировать суммарное расстояние от кандидата в средние до мнений экспертов. Найденное таким способом среднее мнение называют «медианой Кемени».
Математическая сложность состоит в том, что мнения экспертов лежат в некотором пространстве объектов нечисловой природы. Общая теория подобного усреднения построена в ряде работ, в частности, показано, что в силу обобщения закона больших чисел среднее мнение при увеличении числа экспертов (чьи мнения независимы и одинаково распределены) приближается к некоторому пределу, который естественно назвать математическим ожиданием (случайного элемента, имеющего то же распределение, что и ответы экспертов).
В конкретных пространствах нечисловых мнений экспертов вычисление медианы Кемени может быть достаточно сложным делом. Кроме свойств пространства, велика роль конкретных метрик. Так, в пространстве ранжировок при использовании метрики, связанной с коэффициентом ранговой корреляции Кендалла, необходимо проводить достаточно сложные расчеты, в то время как применение показателя различия на основе коэффициента ранговой корреляции Спирмена приводит к упорядочению по средним рангам. 
Бинарные отношения и расстояние Кемени. Как известно, бинарное отношение А на конечном множестве Q = {q1, q2,..., qk} - это подмножество декартова квадрата Q2 = {(qm , qn), m, n = 1, 2, …, k}. При этом пара (qm , qn) входит в А тогда и только тогда, когда между qm и qn имеется рассматриваемое отношение. Каждую кластеризованную ранжировку, как и любое бинарное отношение, можно задать матрицей  ||x(a, b)|| из 0 и 1 порядка k × k. При этом x(a, b) = 1 тогда и только тогда, когда a < b либо a = b. В первом случае x(b, a) = 0, а во втором x(b, a) = 1. При этом хотя бы одно из чисел x(a, b) и x(b, a) равно 1. 
Как использовать связь между ранжировками и матрицами? Например, из определения противоречивости пары (a, b) (см. выше) вытекает, что для нахождения всех таких пар можно воспользоваться матрицами, соответствующими ранжировкам. Достаточно поэлементно перемножить две матрицы ||x(a, b)|| и ||y(a, b)||, соответствующие двум кластеризованным ранжировкам, и отобрать те и только те пары, для которых x(a, b)y(a ,b)=x(b, a)y(b, a) = 0.
В экспертных методах используют такие бинарные отношения, как ранжировки (упорядочения, или разбиения на группы, между которыми имеется строгий порядок), отношения эквивалентности, толерантности (отношения сходства). Как следует из сказанного выше, каждое бинарное отношение А можно описать матрицей ||a(i, j)|| из 0 и 1, причем a(i, j) = 1 тогда и только тогда, когда qi и qj находятся в отношении А, и a(i, j) = 0 в противном случае. 
	Определение. Расстоянием Кемени между бинарными отношениями А и В, описываемыми матрицами ||a(i, j)|| и ||b(i, j)|| соответственно, называется число 
D (A, B) = ∑│a(i,j) - b(i,j)│,
где суммирование производится по всем i, j от 1 до k, т.е. расстояние Кемени между бинарными отношениями равно сумме модулей разностей элементов, стоящих на одних и тех же местах в соответствующих им матрицах.
	Легко видеть, что расстояние Кемени - это число несовпадающих элементов в  матрицах ||a(i, j)|| и ||b(i, j)|| .Расстояние Кемени основано на некоторой системе аксиом. Эта система аксиом и вывод из нее формулы для расстояния Кемени между упорядочениями содержится в книге [7], которая сыграла большую роль в развитии в нашей стране такого научного направления, как анализ нечисловой информации [4, 6]. В дальнейшем под влиянием Кемени были предложены различные системы аксиом для получения расстояний в тех или иных нужных для социально-экономических исследований пространствах, например, в пространствах множеств [4].
Медиана Кемени и законы больших чисел. С помощью расстояния Кемени находят итоговое мнение комиссии экспертов. Пусть А1, А2, А3,…, Ар  - ответы р экспертов, представленные в виде бинарных отношений. Для их усреднения используют т.н. медиану Кемени  Argmin ∑D(Ai, A) , где Argmin - то или те значения А, при которых достигает минимума указанная сумма расстояний Кемени от ответов экспертов до текущей переменной А, по которой и проводится минимизация. Таким образом, 
∑D(Ai, A) = D(A1, A) + D(A2, A) + D(A3, A) +…+ D(Aр, A).
Кроме медианы Кемени, используют среднее по Кемени, в котором вместо D(Ai, A) стоит D2(Ai, A). Медиана Кемени - частный случай определения эмпирического среднего в пространствах нечисловой природы. Для нее справедлив закон больших чисел, т.е. эмпирическое среднее приближается при росте числа составляющих (т.е. р - числа слагаемых в сумме), к теоретическому среднему:
Argmin ∑D(Ai, A) → Argmin М D(A1, A).
Здесь М - символ математического ожидания. Предполагается, что ответы р экспертов А1, А2, А3,…, Ар  есть основания рассматривать как независимые одинаково распределенные случайные элементы (т.е. как случайную выборку) в соответствующем пространстве произвольной природы, например, в пространстве упорядочений или отношений эквивалентности. Систематически эмпирические и теоретические средние и соответствующие законы больших чисел изучены в ряде работ (см., например, [4, 6]).
	Законы больших чисел показывают: медиана Кемени обладает устойчивостью по отношению к незначительному изменению состава экспертной комиссии; при увеличении числа экспертов она приближается к некоторому пределу. Его естественно рассматривать как истинное мнение экспертов, от которого каждый из них несколько отклонялся по случайным причинам. Рассматриваемый здесь закон больших чисел является обобщением известного в статистике «классического» закона больших чисел. Он основан на иной математической базе - теории оптимизации, в то время как «классический» закон больших чисел использует суммирование. Упорядочения и другие бинарные отношения нельзя складывать, поэтому приходится применять иную математику. 
	Вычисление медианы Кемени - задача целочисленного программирования. Для ее нахождения используется различные алгоритмы дискретной математики, в частности, основанные на методе ветвей и границ. Применяют также алгоритмы, основанные на идее случайного поиска, поскольку для каждого бинарного отношения нетрудно найти множество его соседей. 
	Рассмотрим упрощенный пример вычисления медианы Кемени. Пусть дана квадратная матрица (порядка 9) попарных расстояний для множества бинарных отношений из 9 элементов А1 , А2 , А3 ,..., А9 (см. табл. 11.3). Пусть в этом множестве требуется найти медиану для выборки из 5 элементов {А2 , А4 , А5 , А8 , А9}.
		В соответствии с определением медианы Кемени следует ввести в рассмотрение функцию
С(А) = ∑d(Ai, A) = d(A2, A)+d(A4, A)+d(A5, A)+d(A8, A)+d(A9, A),
рассчитать ее значения для всех А1, А2, А3, ..., А9 и выбрать наименьшее. 

Таблица 11.3 
Матрица попарных расстояний
0	2	13	1	7	4	10	3	11	
2	0	5	6	1	3	2	5	1	
13	5	0	2	2	7	6	5	7	
1	6	2	0	5	4	3	8	8	
7	1	2	5	0	10	1	3	7	
4	3	7	4	10	0	2	1	5	
10	2	6	3	1	2	0	6	3	
3	5	5	8	3	1	6	0	9	
11	1	7	8	7	5	3	9	0	

	Проведем расчеты:
С(А1) = d(A2, А1)+d(A4, А1)+d(A5, А1)+d(A8, А1)+d(A9, А1) =
= 2 + 1 +7 +3 +11 = 24,
С(А2) = d(A2, А2)+d(A4, А2)+d(A5, А2)+d(A8, А2)+d(A9, А2) =
= 0 + 6 + 1 + 5 + 1 = 13,
С(А3) = d(A2, А3)+d(A4, А3)+d(A5, А3)+d(A8, А3)+d(A9, А3) =
 = 5 + 2 + 2 + 5 +7 = 21,
С(А4) = d(A2, А4)+d(A4, А4)+d(A5, А4)+d(A8, А4)+d(A9, А4) =
 = 6 + 0 + 5 + 8 + 8 = 27,
С(А5) = d(A2, А5)+d(A4, А5)+d(A5, А5)+d(A8, А5)+d(A9, А5) =
 = 1 + 5 + 0 +3 + 7 = 16,
С(А6) = d(A2, А6)+d(A4, А6)+d(A5, А6)+d(A8, А6)+d(A9, А6) =
 = 3 + 4 + 10 + 1 + 5 = 23,
С(А7) = d(A2, А7)+d(A4, А7)+d(A5, А7)+d(A8, А7)+d(A9, А7) =
 = 2 + 3 +1 + 6 + 3 = 15,
С(А8) = d(A2, А8)+d(A4, А8)+d(A5, А8)+d(A8, А8)+d(A9, А8) =
 = 5 + 8 + 3 + 0 +9 = 25,
С(А9) = d(A2, А9)+d(A4, А9)+d(A5, А9)+d(A8, А9)+d(A9, А9) =
 = 1 + 8 + 7 + 9 + 0 = 25.
Из всех вычисленных сумм наименьшая равна 13, и достигается она при А=А2, следовательно, медиана Кемени - это множество {А2}, состоящее из одного элемента А2.  
Более подробно статистические методы анализа экспертных данных рассмотрены в монографии [10].
 
Литература

1. Орлов А.И. Экспертные оценки // Заводская лаборатория. - 1996. - Т.62. - № 1. - С.54-60.  
2. Горский В.Г., Орлов А.И., Гриценко А.А. Метод согласования кластеризованных ранжировок // Автоматика и телемеханика. - 2000. - №3. - С. 159-167.
3. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. - М.: Наука, 1971. – 252 с.  
4. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. - 296 с.
5. Менеджмент. Учебное пособие. / Под ред. Ж.В. Прокофьевой. - М.: Знание, 2000. - 288 с.
6. Орлов А.И. Современная прикладная статистика // Заводская лаборатория. 1998. Т. 64.  № 3. С.52-60.
7. Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование: Некоторые приложения. - М.: Советское радио, 1972. - 192 с. 
8. Орлов А.И. Эконометрика. Изд. 4-е, доп. и перераб. Учебник для вузов. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2009. - 572 с.
9. Орлов А.И., Федосеев В.Н. Менеджмент в техносфере. – М.: Академия, 2003. -404 с.
10. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование: учебник : в 3 ч. Часть 2: Экспертные оценки. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. – 2010.
 
Контрольные вопросы и задачи

1. Почему необходимо применение экспертных оценок при решении технических, организационных, экономических, экологических и иных проблем?
2. Какие стадии экспертного исследования выделяет менеджер - организатор такого исследования?
3. По каким основаниям классифицируют различные варианты организации экспертных исследований?
4. Какова роль диссидентов в различных видах экспертиз?
5. Какой вид могут иметь ответы экспертов?
6. Чем метод средних арифметических рангов отличает от метода медиан рангов?
7. Почему необходимо согласование кластеризованных ранжировок и как оно проводится?
8. В чем состоит проблема согласованности ответов экспертов?
9. Как бинарные отношения используются в экспертизах?
10. Как бинарные отношения описываются матрицами из 0 и 1?
11. Что такое расстояние Кемени и медиана Кемени?
12. Чем закон больших чисел для медианы Кемени отличается от «классического» закона больших чисел, известного в статистике?
13. В табл. 11.4 приведены упорядочения 7 инвестиционных проектов, представленные 7 экспертами.

Таблица 11.4
Упорядочения проектов экспертами
Эксперты	Упорядочения	
1	1 < {2,3} < 4 < 5 < {6,7}	
2	{1,3} < 4 < 2< 5< 7 < 6	
3	1 < 4 < 2 < 3 < 6 < 5 < 7	
4	1 < {2, 4} < 3 < 5 < 7 <6	
5	2 < 3 < 4 < 5 <1 <6 <7	
6	1 < 3 < 2 < 5 < 6 < 7 < 4	
7	1 < 5 < 3 < 4 < 2 < 6 < 7	

Найдите:
а) итоговое упорядочение по средним арифметическим рангам;
б) итоговое упорядочение по медианам рангов;
в) кластеризованную ранжировку, согласующую эти два упорядочения.  

 Таблица 11.5 
Попарные расстояния между бинарными отношениями
0	5	3	6	7	4	10	3	11	
5	0	5	6	10	3	2	5	7	
3	5	0	8	2	7	6	5	7	
6	6	8	0	5	4	3	8	8	
7	10	2	5	0	10	8	3	7	
4	3	7	4	10	0	2	3	5	
10	2	6	3	8	2	0	6	3	
3	5	5	8	3	3	6	0	9	
11	7	7	8	7	5	3	9	0	

14. Выпишите матрицу из 0 и 1, соответствующую бинарному отношению (кластеризованной ранжировке) 5 < {1, 3} < 4 < 2 < {6, 7}.
15. Найдите расстояние Кемени между бинарными отношениями - упорядочениями А = [3< 2 <1< {4,5}]  и B = [1 < {2 ,3} < 4 < 5 ]. 
16. Дана квадратная матрица (порядка 9) попарных расстояний (мер различия) для множества бинарных отношений из 9 элементов А1 , А2 , А3 ,..., А9 (табл. 11.5). Найдите в этом множестве медиану для множества из 5 элементов {А2 , А3 , А5 , А6 , А9}.
17. Проведите согласование кластеризованных ранжировок (11.1) и (11.2).

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1. Роль экспертных методов в менеджменте.
2. Организация различных видов экспертных исследований.
3. Сравнение очных и заочных вариантов работы экспертов.
4. Методы средних баллов.
5. Согласование кластеризованных ранжировок.
6. Методы теории люсианов в экспертных оценках [10].
7. Классификация мнений экспертов и проверка согласованности.
8. Использование люсианов в теории и практике экспертных оценок.
9. Формирование итогового мнения комиссии экспертов.
10. Расстояние по Кемени и медиана Кемени в экспертных оценках.
11. Законы больших чисел в пространствах нечисловой природы.

Глава 12. Статистические модели в медицине

	Глава посвящена компьютерно-статистической революции в медицине, прежде всего порожденным этой революцией интеллектуальным инструментам научных медицинских исследований, основанным на современных статистических методах и моделях. 
	Всего лишь за несколько последних десятилетий в довольно значительной части медицинской науки произошла настоящая революция, изменившая не что иное, как самую основу практической медицины - мышление врача. Это изменение было столь глобальным, что во многом перевернуло применявшиеся ранее теории, едва ли не в корне изменило те принципы, согласно которым врачи всего мира долгие годы лечили своих пациентов. И в этом изменении, в этой революции основную роль сыграло развитие информационных технологий, основанных на интенсивном использовании высоких статистических технологий анализа медицинских данных. Появление систем, могущих с достаточной скоростью и без титанических затрат труда осуществить сложные математические расчеты, привело к тому, что принципы так называемой «доказательной медицины» вошли в широкую практику, а результаты выполненных на этих принципах исследований стали применяться во всем мире. 
	Что такое «доказательная медицина»? Об этом ниже рассказано на уровне, достаточном для практического применения ее результатов, для выхода на современный фронт научных исследований. В главе рассмотрены основные статистические методы и модели, используемые в настоящее время в научных медицинских исследованиях, как классические, так и высокие статистические технологии последних лет. 

12.1. Новое компьютерно-статистическое мышление врача

	Медицина - одна из самых консервативных наук. И это понятно - ведь в ней речь идет о жизни и здоровье человека. Новые медицинские теории, новые технологии лечения и выставления диагноза обычно принимались медицинским сообществом после длительного и бурного обсуждения. 
	Клиническое мышление. Как врач принимает решение о том, какой диагноз поставить своему пациенту, какое лечение следует назначить, каково может быть будущее больного при том или ином варианте лечения? 
	На протяжении многих десятилетий ход мыслей хорошего врача представлялся так. Врач, осматривая пациента, должен был вспомнить из институтского курса, прочитанных книг и личного опыта, какому заболеванию соответствуют те признаки болезни - симптомы - которые имеются у пациента. А потом, вспомнив, как это заболевание развивается, применить те лекарства, которые действуют на механизм возникновения заболевания. Воздействовать на ход болезни на основе знания того, как, из-за чего она возникает и каким образом течет. Сведения же о механизмах возникновения и течения болезней преподавались в медицинских институтах как основа всего курса обучения: многочисленные предметы, такие, как «патофизиология», «патанатомия», как раз изучению таких механизмов и посвящены.
	«Познай, из-за чего болезнь начинается, как она развивается, как течет - и ты поймешь, как ее надо лечить, и к чему она приведет» - вот «классический» принцип действия врача, который главенствовал во всей медицинской науке практически с момента ее зарождения. Именно познание, максимально глубокое познание механизмов развития болезни считалось путем к получению возможности излечивать эту болезнь. А само лечение основывалось на знании того, как то или иное химическое вещество, то или иное воздействие влияет именно на механизм развития болезни и мешает его ходу, не дает болезни развиваться дальше. Наиболее эффективными средствами лечения признавались те, которые наиболее сильно нарушали ход течения заболевания, приводя тем самым к исчезновению болезни как таковой.
	И многовековой опыт подтверждал этот принцип. Познав, что болезнетворные микроорганизмы вызывают инфекционные болезни, врачи научились предотвращать инфекции, ранее иной раз выкашивающие целые города и страны. Познав, как эти микроорганизмы устроены, как они развиваются, врачи разработали вещества, их уничтожающие. Познав, что кровообращение в ноге или руке может прекратиться из-за возникновения в их основных сосудах сгустка крови, врачи придумали, как этот сгусток оттуда извлечь и тем самым очистить пути для крови, несущей кислород и питание тканям. 
	Изучение механизмов велось различными способами. Ученые сравнивали здоровые и больные органы путем исследования тканей под микроскопом, в химических лабораториях, на основе наблюдений делали выводы. Болезни, причины возникновения которых были известны, вызывались у лабораторных животных - тем самым исследовалось течение патологического процесса. Новые лекарственные препараты также вначале испытывались в лаборатории на экспериментальных материалах, затем - на животных, затем - на добровольцах, небольших контингентах людей, после чего в случае успешного прохождения всех исследований выпускались в широкую продажу. 
	Количество людей, участвующих в исследованиях, например, действия новых лекарств или новых методов лечения, измерялось десятками и редко сотнями. Работать с большими группами крайне сложно - чтобы провести обработку данных о состоянии здоровья тысяч человек с помощью статистических методов, требовался огромный труд множества ученых - и поэтому крупномасштабные исследования практически не проводились. 
	Основная задача обучения врача в медицинском институте виделась в том, чтобы сформировать у нового специалиста «клиническое мышление». То есть, научить врача прежде всего видеть весь ход болезни у своего пациента, отчетливо представлять себе весь механизм ее возникновения, все подробности хода и - главное! - лечить пациента, исходя из этого представления о том, какие процессы протекают в организме у больного. «Познай процесс - назначай лечение» - таким был девиз каждого врача, выходящего из стен медицинской академии или университета.
	Компьютеры в медицине. Однако развитие информационных технологий изменило этот традиционный подход. 
	Примерно к середине 20 века в обиход крупных научных центров стали входить первые компьютеры. Практически в каждом крупном университете мира появились машины, способные за несколько секунд или минут выполнить расчеты, над которыми раньше пришлось бы трудиться десяткам людей в течение сотен или даже тысяч дней. Те же машины позволили значительно быстрее и проще накапливать информацию различного типа на своих магнитных носителях, а с развитием компьютерных сетей и объединением их в Интернет столь же простой и быстрой стала и передача данных между компьютерами, университетами, континентами.
	У ученых появилась идея - а почему бы ни использовать открывшиеся возможности? Заняться крупномасштабными исследованиями - например, собрать данные о десятке тысяч человек, страдающих каким-либо заболеванием и принимающих тот или иной лекарственный препарат, и сравнить их с данными о таком же десятке тысяч человек, имеющих тот же диагноз, но принимающих другое лекарство? Или даже с теми больными, кто вообще никаких лекарств не пьет? Или даже сделать еще более интересное исследование - растянутое по времени. Выделить несколько больших групп людей, различающихся по каким-нибудь критериям (например, по уровню артериального давления), и посмотреть, что с людьми в этих группах будет через пять-десять лет. Сколько из них умрет, сколько заболеет еще более тяжелыми и серьезными недугами, а сколько, наоборот, выздоровеет. Ведь тогда можно будет достоверно сказать, что, скажем, тот или иной фактор, имеющийся в жизни человека, увеличивает его риск получить какие-либо серьезные проблемы со здоровьем. 
	И подобные исследования стали проводиться. Для них были разработаны специальные правила. Ученые создали и технологии анализа накопленных данных - особенно большую роль в их разработке сыграли специалисты в области прикладной математической статистики. Статистические методы позволяют определить, например, действительно ли именно медицинское вмешательство изменяет состояние здоровья пациентов или видимое изменение объясняется всего лишь волей случая. Или выполнить иные сравнения, общей целью которых было выяснение наличия или отсутствия лишь одного факта - эффективности медицинского вмешательства. 
	Применение статистических методов на больших объёмах данных требовало весьма значительного количества расчетов. Но тут на помощь ученым пришли компьютеры: выполняя за минуты числовые операции, на которые человеку потребовались бы месяцы и годы работы, они позволили получить результаты анализа данных весьма быстро, да и хранить данные о состоянии здоровья десятков и сотен тысяч людей стало нетрудно. Но итоги многих исследований оказались весьма интересными...
	Примечание. Прежде чем говорить о результатах исследований, отметим, что компьютеры во много раз ускоряют расчеты, однако сбор исходных данных для расчетов по-прежнему весьма трудоемок. Многие используемые при подобных расчетах статистические методы, например, методы дискриминантного и кластерного анализов, появились сравнительно недавно, лишь в 30 - 50-е годы ХХ в. или даже позже. Новые статистические методы активно разрабатываются и в настоящее время.
	Результаты статистического анализа. Они действительно были интересными. 
	В состоянии после инфаркта миокарда весьма опасным осложнением является аритмия сердца. Нарушение регулярности сердечных сокращений, резкое их учащение или урежение, изменение характера сокращения может привести к нарушению снабжения организма кровью, следовательно, к смерти. Отсюда вытекает совершенно естественный вывод - с аритмией надо бороться! Во-первых, ликвидируя возникшие расстройства - а, во-вторых, не допуская появления новых, занимаясь профилактикой возникновения аритмии. На основании медицинских теорий физиологии сердца, на основании данных о том, как в человеческом сердце возникает электрический импульс, приводящий к сокращению сердечной мышцы, были разработаны лекарства. Согласно этим теориям, они не должны были допускать расстройства сердечных сокращений. Одним из таких препаратов был флекаинид. Лекарство было испытано на животных и небольших группах добровольцев - его эффективность для предотвращения аритмий была доказана: флекаинид действительно уменьшал частоту аритмий у больных с инфарктом миокарда. И он был рекомендован для массового применения.
	Однако нашлись ученые, пожелавшие посмотреть: а как флекаинид влияет не на возникновение аритмий, а на выживаемость больных инфарктом миокарда? В самом деле, именно выживаемость больных важна для врача: врачу нужно спасти жизнь пациенту, а ликвидация аритмии суть средство к этому. И началось крупное исследование: ученые стали собирать данные о пациентах с инфарктом миокарда, одни из которых получали для лечения флекаинид, а другие - нет, и сравнивать, сколько пациентов в каждой из этих групп осталось в конце концов в живых. Бесспорно, ученые приняли меры к тому, чтобы между группами не было различия в составе больных - скажем, в одной больше здоровых, а в другой меньше: при большом числе обследуемых это обеспечить было нетрудно.
	Примечание. Для проверки однородности двух групп больных (двух выборок) разработаны различные статистические методы (см. главу 5). Если же группы (генеральные совокупности) различны, то можно провести т.н. «стандартизацию выборки», чтобы исключить влияние различий.
	Результаты ошеломили ученых. Флекаинид превосходно предотвращал аритмии после инфаркта, это было однозначно ясно. Однако вот смертность в группе пациентов, получавших флекаинид, оказалась в несколько раз выше, чем среди тех, кто такого лечения не получал. То есть препарат, уменьшая частоту возникновения аритмий, убивал пациентов.
	Почему так оказалось - медицинская наука не знала. Из механизмов действия препарата не следовало ничего, что могло бы приводить к такому исходу. Никакая теория не давала объяснения. Однако факт оставался фактом - больные, получающие, казалось бы, совершенно необходимый им препарат, при прочих равных условиях умирали чаще, чем те, кто такой препарат не получал. И итогом исследования стал вполне закономерный запрет на использование флекаинида для профилактики аритмий после инфаркта миокарда - как бы он ни был хорош в теории, но он должен излечивать больных, а не убивать их.
	Стали выясняться и другие подобные факты - причем относящиеся не только к действию лекарств на организм человека (тут все же можно было предположить наличие каких-то неизвестных физиологических механизмов), но и к, казалось бы, более чем ясным ситуациям. Например, путем многочисленных исследований трупов ученые установили, что инсульт - нарушение снабжения кровью участка мозга - весьма часто возникает в том месте, где артерия, питающая участок мозга, имеет сужение вследствие поражения атеросклерозом. Решение проблемы казалось более чем ясным - следует провести к этой артерии после сужения обходной путь подачи крови от другой артерии, сделав хирургическую операцию! Так и стали делать. Операции были успешные - кровоснабжение в участке мозга, ранее снабжаемом суженной артерией, полностью восстанавливалось.
	А потом ученые проанализировали накопленный объем данных о здоровье прооперированных пациентов. И выяснилось, что никакого увеличения продолжительности жизни по сравнению с традиционным лечением лекарственными препаратами эта операция не дает. Даже инсультов у пациентов, подвергшихся операции, меньше не стало. Операция, которая по всем медицинским канонам должна помогать, оказалась бесполезной или даже вредной.
	И подобные итоги получались весьма часто. Нет, бесспорно, весьма большая часть клинико-статистических исследований давала результаты, соответствующие «классической» медицинской науке - эффективность многих лекарств без всяких проблем подтверждалась. Но наличие данных, полученных при обследовании многих тысяч пациентов, которые прямо противоречили этой самой «науке», не позволяло жить и думать по-старому. Ибо продолжать держаться за, казалось бы, безупречные научные теории, не обращая внимания на итоги практических исследований, означало бы обрекать на смерть тысячи пациентов...
	Новые принципы. Результаты проведенных исследований заставили ученых пересмотреть свои взгляды на медицинскую науку. Тот факт, что, казалось бы, совершеннейшая медицинская теория, подтвержденная в лабораториях, нередко совершенно не находила подтверждения на практике, при исследованиях десятков тысяч человек, заставил их выработать новые принципы мышления врача. Вкратце их можно сформулировать следующим образом.
	1. В большинстве случаев врач не может с абсолютно полной уверенностью судить о том, как скажется на здоровье пациента то или иное лечение, или наоборот, отсутствие лечения. Однако оценить вероятность различных исходов вполне возможно.
	И действительно - история медицины знает случаи, когда, казалось бы, совершенно безнадежные больные излечивались от своего недуга по совершенно непонятным причинам. Например, описаны ситуации, когда бесследно исчезали раковые опухоли. Увы, немало случаев и обратных: когда, казалось бы, совершенно правильное лечение не предотвращало гибель пациента. Однако и те, и другие варианты довольно редки; в то же время ситуации, когда лечение приводит к выздоровлению, а отказ от лечения - к ухудшению состояния здоровья, куда как более частые. 
	Поэтому оценивать возможные результаты того или иного лечения наиболее правильно именно с точки зрения их вероятности. Говорить не о том, что «вот это, по теории, должно привести к такому исходу, а вот это - к этому», а о том, что «при наличии этого фактора вероятность такого исхода такая-то». Повышенное артериальное давление не обязательно приведет к смерти человека: есть люди, живущие с высоким артериальным давлением по сто лет и больше - но вот риск смерти при высоком артериальном давлении куда как больше, чем при нормальном. 
	2. Эту вероятность лучше всего оценивать на основе опыта, накопленного при наблюдении за другими пациентами и их лечении. Более того - именно полученная таким образом оценка и будет наиболее верной.
	Именно опыт есть критерий теории, и лишь та теория верна, которая подтверждается практикой. А в том деле, в котором речь идет о жизни человека, опыт и только опыт может подсказать правильное решение. Недаром практически с начала развития медицинской науки ценились не столько «умные», сколько «опытные» врачи: пациенты во все времена шли прежде всего к тем врачам, которые на основании своего опыта знали, что надо делать с пациентом, чтобы он выздоровел, а не к тем, которые знали то же из теоретических изысканий. 
	Примечание. Для практического применения этой идеи надо уметь оценивать вероятность того или иного исхода. А также планировать объем наблюдений, необходимый для достижения заданной точности. Статистические методы для решения этих задач обсуждаются ниже.
	3. Однако опыт каждого врача субъективен. Кроме того, даже опыт, накопленный в пределах одного медицинского учреждения, одной научной школы не обязательно будет объективным. 
	Однажды на медицинском конгрессе встретились врачи двух больниц: сельской и областной. И зашел у них спор о том, насколько хорош один известный антибиотик, насколько он хорошо излечивает больных пневмонией. Сельский врач был уверен в его эффективности: практически все больные с пневмонией, поступавшие в ту больницу, где он работал, быстро и хорошо этим антибиотиком вылечивались. А врач областной больницы очень сильно возмутился и сказал, что этот антибиотик бесполезен: он не смог вылечить им ни одного из больных с пневмонией, кто поступил в его отделение, и был вынужден давать этим больным другие лекарства. 
	Они так и не пришли к единому мнению - а все дело было в том, что в областную больницу привозили как раз тех больных, которым не смогли помочь сельские врачи, больных, у которых обсуждаемый антибиотик оказался неэффективным. Доля таких пациентов в сельских больницах была невелика, но все они в конце концов собирались в областной больнице - потому ее врач так критически об этом антибиотике и высказывался. И ведь оба были правы - на основании собственного опыта и опыта своих больниц. Поэтому, как видно, основываться на опыте не так просто...
	4. Поэтому для того, чтобы накопить достоверные данные, необходимо выполнять исследования согласно определенным правилам, исключающим возникновение ошибок.
	Такие правила разработаны учеными-математиками, создавшими целую отрасль своей науки, посвященную в том числе и проблемам достоверности результатов анализа тех или иных данных - прикладную математическую статистику. 
	Примечание. Иногда эту отрасль науки называют анализом данных. В настоящее время анализ данных - весьма развитое научное направление. Некоторые входящие в него «статистические методы» рассмотрены ниже.
	Правила описывают практически все аспекты исследований, которые хоть как-то могут повлиять на достоверность их результата: от методики набора пациентов для исследования до алгоритмов обработки накопленной информации. Позже мы рассмотрим некоторые из этих правил. Более подробную информацию о них вы найдете в книгах, перечисленных в этой главы.
	Примечание. Отметим здесь только один прием - двойной слепой метод, применяемый, когда необходимо выяснить эффективность лекарственного препарата. Мешающим фактором является психологический - состояние некоторых больных улучшается просто от сознания того, что их лечат. Поэтому всем пациентам дают одинаковые по виду таблетки, одним - с лекарством, другим - пустышки (т.н. плацебо). Это - слепой метод. А двойной слепой - когда сами лечащие врачи не знают, кто из их больных получает лекарство, а кто - плацебо. Знают только организаторы эксперимента. 
	Итак, отныне врач, назначая лечение, стал думать прежде всего не о том, как данное лекарство подействует на биохимические процессы в организме согласно имеющимся медицинским теориям, а о том, будет ли данное лекарство эффективно при той болезни, что есть у пациента. А думать об этом он мог на основе анализа данных крупномасштабных исследований состояния здоровья людей, проведенных его коллегами-врачами, а, может, и им самим. Изменился сам подход врача к назначению лечения - в основе этого подхода стали лежать не только научные концепции, а и накопленный опыт, который зачастую ни в какие концепции не вписывался. 
	Новый подход назвали «Evidence-based medicine» (англ.). В переводе на русский язык, – «медицина, основанная на доказательствах», или «доказательная медицина». Впервые сделано это в 1990 году учеными из канадского университета Мак-Мастера. В русском языке больше прижилось словосочетание «доказательная медицина», которое в настоящее время и используется для именования новых принципов лечения больных.
	Знахарство 21 века. Если внимательно приглядеться, то описанный выше подход весьма похож на работу знахаря. Фактически врач из ученого, который назначает лекарства, исходя из теории о том, как оно действует, превратился в наследника деревенских знахарей, которые назначали лекарства исключительно на основе накопленных ими самими и переданных от предыдущих поколений знаний о том, «при каких хворях та или иная трава помогает». 
	Примечание. Изучение связи между явлениями и процессами, между случайными переменными - предмет ряда разделов прикладной статистики. Корреляционный анализ, регрессионный анализ, дисперсионный анализ - все эти статистические методы нацелены на обнаружение и изучение связи, восстановление зависимости по результатов наблюдений, измерений, испытаний, опытов. Мы поговорим об их роли в доказательной медицине в этой главе ниже.
	Можно сказать, что медицина стала знахарством - изменился основной принцип этой науки. Однако знахарством не примитивным, а основанным на современных научных принципах и технических возможностях. Опыт, накапливаемый в современных исследованиях, можно считать уже полностью достоверным, полностью отражающим реальность. Древние философы говорили, что развитие идет по спирали: на каждом из ее витков происходит повторение старого, но на новом уровне развития. Так и в медицине: она, пройдя эпоху стройных научных теорий, вновь пришла к старому доброму принципу опоры на практический опыт - но опыт, уже накопленный не одним или даже десятью человеками, а всем медицинским сообществом, и не на сотне или тысяче пациентов, но на десятках и сотнях тысяч случаев. И проанализированный не на основании представлений одного - двух человек, но на основе отработанных и точных принципов научного статистического анализа.
	Бесспорно, научные теории никуда не делись. Как бы ни был эффективен «знахарский» подход, но он практически не позволяет двигаться вперед: как искать новые лекарства, если не знать теорию их воздействия на организм? Как разрабатывать новые методы лечения, если не знать, на что они должны действовать, на какой этап болезни, на какой ее аспект? Новые теории, новые взгляды на устройство человеческого организма и его работу по-прежнему создаются, проверяются в лабораториях, обсуждаются, опровергаются и преобразуются в новые. Но вот в практику теоретические рекомендации идут уже лишь после проверки на опыте, на опыте реальном, а не теоретическом. И нередко оказывается так, что лекарство или лечебное воздействие, которое должно было бы в теории действовать так-то, на практике действует совсем иначе. Что поделать: человеческий организм весьма сложен, и силы нашего разума пока отнюдь не всегда хватает для познания этого удивительного творения...
	И весьма большую роль в свершившейся революции сыграли информационные технологии. Появление и развитие компьютеров дало человечеству в руки те возможности, которые необходимы для проведения крупномасштабных исследований состояния здоровья людей и влияния на него различных факторов. Раньше для проведения подобных мероприятий потребовались бы месяцы или даже годы работы - подготовить данные на несколько десятков тысяч человек, рассчитать результаты по статистическим формулам вручную было архисложно, и потому никто этим и не занимался. Но компьютер, даже относительно слабый, справится с такой задачей за считанные минуты, в крайнем случае - часы, выделив из сотен тысяч данных измерений и оценок искомые закономерности, зависимости, влияния. Можно даже сказать, что именно развитие «доказательной медицины» и является самым что ни на есть «компьютерным» результатом развития компьютерных технологий. Вкупе, скажем, с расчетами орбит межпланетных станций. Ведь само слово «компьютер» означает «вычислитель», и именно возможность компьютеров быстро и без особых затрат сил и средств производить огромный объем вычислений, то есть выполнять то, ради чего они и были созданы, и обусловила быстрый рост числа выполненных исследований.
	Новое медицинское мышление. Принципы «доказательной медицины» стали занимать все большее место в мышлении врача. Если ранее при назначении лечения врач отдавал предпочтение тем препаратам, которые «должны помогать согласно данным науки», то теперь - тем, которые достоверно помогают согласно накопленным данным (помогают с вероятностью, близкой к 1). В процессе совершенствования врача все большее место стало занимать освоение им результатов новых исследований. Если ранее «хороший врач» был обязан превосходно владеть медицинской теорией, знать, какие процессы протекают в организме при том или ином заболевании, то теперь все это, бесспорно, тоже требуется. Однако современный врач прежде всего обязан следить за данными новых научных исследований, оперативно с ними знакомясь и применяя в своей практике (разумеется, с учетом индивидуальных особенностей каждого пациента). 
	Ни в коем случае не стоит думать, что «доказательная медицина» полностью исключила понимание механизма заболевания из процесса лечения больного. Никому не придет в голову проверять в исследованиях, скажем, основные принципы лечения ожогового шока или травм: то, что при наличии у травмированного человека кровотечения его необходимо остановить, а при обезвоживании организма ввести в кровеносную систему жидкость, ясно всем, и доказательств это не требует. Никто также не будет доказывать, что, например, пневмонию надо лечить, а не оставлять на «самостоятельное излечение»: исследования для такого доказательства обернутся множеством смертей больных, а подтвердят лишь очевидный факт. А вот определить, какие особенности лечения ожогового шока более эффективны, какими нитками лучше всего сшивать разорванные сосуды, какой жидкостью лучше всего проводить восстановление водного баланса организма, какой из антибиотиков наиболее эффективен при той или иной форме пневмонии, методы «доказательной медицины» вполне способны. 
	Медицина не стоит на месте. Появляются и публикуются новые данные исследований, создаются новые рекомендации, разрабатываются новые лекарства. И вполне возможно, что спираль развития этой науки в конце концов обернется и дальше. Будет создана новая, всеобъемлющая теория, объясняющая все процессы, происходящие в человеческом организме, и позволяющая абсолютно достоверно предсказать эффект любого лекарства, любого вмешательства в жизнедеятельность организма, которая вновь заставит врачей в своей работе прежде всего опираться не на опыт, а на эту теорию. До этого еще далеко - но кто знает, может быть, и в ее создании суждено сыграть свою роль наследникам современных компьютеров?

12.2. Методы «доказательной медицины»
 
	Чтобы данные, получаемые в результате исследований, отражали реальность наиболее адекватно, научные работники в области медицинских наук разработали правила, по которым эти исследования следует проводить. 
	Например, первое и едва ли не основное правило - это наличие так называемой «контрольной группы», или «группы сравнения». Если надо оценить, насколько эффективно то или иное медицинское вмешательство - скажем, прием какого-либо лекарства или произведение хирургической операции - то всех пациентов, участвующие в исследовании, следует разделить как минимум на две группы – «группу вмешательства» (ее называют также экспериментальной группой или «группой лечения») и «группу сравнения». Пациенты из обеих групп должны быть одинаково обследованы, находиться в одинаковых условиях и вообще в идеале различаться между собой лишь одним - наличием или отсутствием вмешательства. В самом деле: в мире есть множество факторов, которые могут повлиять на пациентов так, что и не отличить: был ли тот или иной результат влиянием лечебного вмешательства или этих самых факторов. Например, если надо узнать, спасает ли то или иное лекарство жизни больных артериальной гипертонией, мало просто давать его группе больных несколько лет. Больные все равно будут умирать от разных причин. Чтобы определить, задержало ли лекарство эти смерти, нужно сравнить число таких исходов с числом смертей в другой группе, больные из которой данного лекарства не получали. Если смертность в группе вмешательства будет меньше, чем в группе контроля, то можно говорить о полезности этого вмешательства.
	Примечание. В современной прикладной статистике разработано много методов, реализующих идею сравнения двух групп, выявления эффекта лечебного воздействия. В некоторых из них контрольная группа как фиксированный объект исчезает, например, при использовании скользящего контроля как варианта бутстрепа.
	Технология распределения пациентов по группам получила название рандомизации. При хорошо выполненной рандомизации в каждой из групп доля пациентов с тем или иным свойством будет примерно одинакова: одинаков процент мужчин и женщин, одинаков процент лиц того или иного возраста, одинаково соотношение пациентов с различными степенями тяжести исследуемого заболевания. Способы проведения данного процесса описаны в специальной литературе, однако для полноценной рандомизации число пациентов должно быть достаточно большим - измеряться по меньшей мере тысячами.
	Примечание. Плохая рандомизация «лечится» стандартизацией выборки. Сравнение групп можно проводить с помощью статистических методов проверки однородности. В научных медицинских исследованиях до сих пор часто применяют критерий Стьюдента для проверки однородности двух выборок. Однако он опирается на два предположения - о нормальном распределении результатов наблюдений и о равенстве дисперсий для двух групп. Ни то, ни другое предположение обычно не выполнено в научных медицинских исследованиях. Поэтому современная прикладная статистика рекомендует вместо критерия Стьюдента применять иные критерии, а именно, критерии Крамера-Уэлча, непараметрические критерии Вилкоксона, Смирнова, Лемана-Розенблатта (см. главу 5). 
	При лечении людей лекарственными препаратами большое значение имеет психологический настрой человека на исцеление. Некоторые больные избавлялись от своего страдания, принимая совершенно бесполезные для них препараты: вера в то, что препарат поможет, исцеляла их куда как лучше самого препарата. Поэтому при проведении исследований лекарств нельзя просто давать его больным из группы вмешательства и не давать тем, кто входит в группу сравнения - в таком случае отличить истинное действие лекарства от его психологического эффекта будет практически невозможно. Необходимо исключить влияние психологического эффекта на результаты исследования - проще всего это сделать, если пациентам обеих групп давать совершенно одинаковые по внешнему виду, вкусу, запаху препараты, только в один из препаратов добавлять то вещество, влияние которого на человеческий организм и исследуется, а во второй - нет. В этом случае пациенты из обеих групп будут одинаково верить в то, что препарат им поможет, и эта вера не повлияет на конечный результат - оценку эффективности лечения лекарством. Препарат, который дается пациентам из контрольной группы и не содержит в себе собственно лекарства, принято называть «плацебо» - от латинского «пустышка», а исследование с использованием плацебо - «слепым».
	Однако даже при использовании плацебо могут быть проблемы. В самом деле: пациенты-то хоть и не знают, что они принимают - лекарство или «пустышку» - но врачам, проводящим исследование, это известно! И они вполне могут словом или жестом случайно дать понять пациенту, чем на самом деле его лечат, что, ясное дело, обесценит использование плацебо. Чтобы это предотвратить, исследование можно сделать «двойным слепым» - т.е. не говорить об истинном содержимом препарата и лечащим врачам пациентов.
	Оценка эффективности того или иного воздействия на организм человека можно оценивать по изменившимся параметрам жизнедеятельности. Например, по уровню артериального давления или концентрации в крови тех или иных веществ. Однако куда как более привлекательным представляется оценка по наличию или отсутствию в жизни пациента событий, имеющих для его жизни важное значение, - например, инфаркта или инсульта. Если в результате исследования получилось так, что у пациентов в группе вмешательства неблагоприятных событий было меньше, а благоприятных - больше, чем у пациентов из контрольной группы, то вмешательство, наверное, стоит назвать полезным, если же нет - то вредным. Такие события получили название «конечных точек» - во многих исследованиях оценка эффективности медицинского вмешательства ведется именно по ним.
	Примечание. Доли благоприятных событий в группе вмешательства и в контрольной группе могут различаться по чисто случайным причинам. Необходимо установить, значимо ли различие. Для этого в прикладной статистике разработаны методы проверки однородности вероятностей (см. главу 1).
	Некоторые данные доказательной медицины. Ниже приводятся некоторые факты, полученные методами «доказательной медицины», ценные тем, что их соответствие реальности можно считать полностью доказанным. Каждый из этих фактов проверен в многих десятках и сотнях тысяч наблюдений. Каждый их них – весомое доказательство практической пользы статистических методов.
	Предупреждение для тех, кто не является врачом. Вы можете здесь ознакомиться с этими фактами, однако помните: принимать любые лекарственные препараты можно только после консультации с врачом.
	1. Чем выше у человека уровень артериального давления в покое, тем больше у него риск получить инсульт или инфаркт миокарда. Эта зависимость плавная - чем выше артериальное давление, тем выше риск и, наоборот, чем ниже артериальное давление (в медицинских публикациях оно обычно обозначается аббревиатурой «АД»), тем ниже риск. Согласно общему мнению врачей мира, границей, отделяющей болезнь от здоровья, является уровень артериального давления, равный 140/90 мм рт. ст. 
	Примечание. Уточним краткое медицинское высказывание. Если верхнее артериальное давление превышает 140 мм рт. ст. и/или нижнее артериальное давление выше 90 мм рт. ст., то человек находится в «зоне болезни». Для такого заключения достаточно, чтобы хотя бы для одного из двух видов измерений граница была превышена. Реально о болезни можно говорить, если превышение является постоянным или почти постоянным.
	Практический вывод прост - при повышенном уровне артериального давления человека надо лечить, добиваясь нормализации АД.
	2. Курение, повышенное артериальное давление и повышенный уровень холестерина в крови приводят к повышенному риску развития ишемической болезни сердца. Если человек курит, если у него повышено артериальное давление в покое и высокий уровень холестерина в крови, то риск заболеть стенокардией или попасть в больницу с инфарктом, а то и умереть от него, у такого человека весьма высок. Не курите, следите за своим артериальным давлением и соблюдайте диету с пониженным содержанием продуктов, богатых холестерином - и не заболеете ишемической болезнью сердца.
	3. При отсутствии органического поражения сердца наличие такой аритмии сердца, как экстрасистолия, не влияет на риск смерти и появления какого-либо заболевания, а вот некоторые препараты, предотвращающие экстрасистолию, могут этот риск даже увеличить. Экстрасистолия - это наличие у человека преждевременных сердечных сокращений; обычно она ощущается как «перебои в сердце» или неравномерность сердечных сокращений при прослушивании грудной клетки. Многие больные экстрасистолией часто пугаются своего заболевания и считают его опасным или даже смертельным - это далеко не так! 
	Экстрасистолию даже лечить не обязательно - наоборот, препараты, которые применяются для прекращения экстрасистолии, опасны для организма. Однако помните: установить диагноз экстрасистолии и отличить экстрасистолию от других аритмий сердца может только врач; кроме того, вышеупомянутый факт верен только для тех, у кого никогда не было инфаркта миокарда.
	4. Назначение бета-блокаторов после инфаркта миокарда улучшает выживаемость больных. Если после инфаркта миокарда человек будет принимать лекарства, относящиеся к группе так называемых «блокаторов бета-адренергических рецепторов» (например, атенолол, конкор, анаприлин), то его риск смерти в ближайшие 10 лет значительно снизится.
	5. Антиаритмические препараты 1С класса увеличивают смертность больных при сердечно-сосудистых заболеваниях. Все лекарства, применяемые для лечения аритмий сердца, по механизму своего действия делятся на четыре класса - 1, 2, 3 и 4, а в первом из этих классов выделяют еще три подкласса - А, B и С. Установлено, что препараты из подкласса С класса 1 (например, упомянутый выше флекаинид), увеличивают риск смерти у тех больных, которые их принимают, - несмотря на то, что уменьшают частоту возникновения аритмий.
	6. Так называемые «метаболические» препараты не дают значимого снижения смертности при лечении инфаркта миокарда. При исследованиях процессов, происходящих в сердце, ученые выяснили: при нарушении снабжения кровью сердечной мышцы - развитии инфаркта миокарда - практически во всей этой мышце очень сильно нарушается обмен веществ. Чтобы степень выраженности этого нарушения свести к минимуму, ученые разработали специальные лекарства - например, одно из них называется «рибоксин» - и вполне естественно ожидали, что эти новые лекарства будут восстанавливать жизнедеятельность сердца после инфаркта. Это действительно происходило, но... на смертность пациентов применение метаболических препаратов никак не повлияло. То есть они оказались неэффективны - несмотря на, казалось бы, более чем правильный механизм действия.
	7. Большинство новых препаратов для лечения артериальной гипертонии не более эффективны, нежели использовавшиеся ранее. Ученые провели исследование: сравнили эффективность старого доброго лекарства от артериальной гипертонии гипотиазида, которым гипертонию еще в семидесятых годах, и современного препарата арифона, действующего по тому же принципу, что и гипотиазид. И выяснили, что их эффект практически одинаков. Таким образом, несмотря на то, что гипотиазид принято считать устаревшим препаратом, он лечит гипертонию не хуже, чем самые современные аналогичные лекарства. Кроме того, гипотиазид весьма дешев - дешевле модернизированных аналогов.
	О публикациях по доказательной медицине. Данные новых исследований публикуются в международных медицинских журналах. В настоящее время уже сложился круг изданий, публикациям которых доверяют врачи всего мира: это, например, «Lancet», «British Medical Journal», «Journal of American Medical Association», «New England Medical Journal», «Annals of Internal Medicine», «Journal of Clinical Investigations». Есть журналы столь же высокого уровня по отдельным медицинским специальностям, например, «Hypertension», «Сardiology». 
	Широко известны отечественные журналы «Клиническая медицина», «Кардиология», «Российский кардиологический журнал», «Кардиоваскулярная терапия и профилактика», «Вестник Российской академии медицинских наук» и многие другие.
	Современный врач для поддержания профессионального уровня обязан регулярно знакомиться с содержанием журналов, публикующих результаты новых исследованиях по его специальности - собственно, в настоящее время именно такое ознакомление и понимается под «совершенствованием врача». 
	Однако компьютерные технологии и тут облегчили задачу врача: появление и развитие Интернета и особенно World Wide Web позволило быстро доносить новые данные науки до самых отдаленных уголков планеты. В настоящее время все публикации наиболее крупных журналов мира и большинство статей, увидевших свет в серьезных медицинских изданиях различных стран, помещаются в медицинскую базу данных Medline, которая доступна через Сеть, а также распространяется на компакт-дисках по научным учреждениям и библиотекам. В Сети есть немало сайтов, на которых можно ознакомиться с новостями «доказательной медицины», узнать самые последние данные о результатах исследований эффективности лекарств, методов лечения, подходов к изменению образа жизни при самых различных заболеваниях. Небольшой список таких сайтов приведен ниже - ознакомьтесь, если хотите. Только помните: самостоятельно, без консультации с врачом применять приводимые там рекомендации нельзя.
	Медицинские организации, основываясь на данных исследований, составляют рекомендации по диагностике и лечению тех или иных заболеваний - так, Всемирная Организация Здравоохранения регулярно извещает врачей мира, как, по общему мнению медицинского сообщества, стоит поступать с больными теми или иными заболеваниями, чтобы их вылечить. Такие рекомендации собирают воедино опыт множества исследований, и долгом каждого врача является знание их содержания и применение его на практике. В мире есть и некий «центр» доказательной медицины - «Кокрановское сотрудничество» (Cochrane Collaboration), организация, сотрудники которой взяли на себя обязательство регулярно выпускать обзоры новых исследований, проведенных в различных отраслях медицины. Собственно, и названа она по имени составителя первого обзора - Арчи Кокрана, который сделал это больше тридцати лет тому назад. Кокрановское сотрудничество существует с 1992 г. и с тех пор снабжает своими обзорами врачей всего мира, в том числе и другие международные организации. Эти обзоры распространяются по миру в виде базы данных на компакт-дисках, и уважающая себя медицинская библиотека считает своим долгом иметь у себя такой набор CD. 
	В век Интернета книги не устарели. Порекомендуем только две из них [1], [2]. Эти книги по праву могут считаться кратким изложением основных принципов и технологий «медицины, основанной на доказательствах». Изучите их, если вы желаете разобраться в этом вопросе более глубоко. Первая книга содержит прежде всего описания технологии исследования и подходы к обработке медицинских данных, а вторая рассказывает в основном о мире современной научной медицинской литературы.
	В Сети (в Интернете) есть сайты, на которых собираются сведения о новых исследованиях, проведенных согласно правилам «доказательной медицины». Краткий список наиболее крупных из них приведен ниже. Все они англоязычные - к сожалению, полноценных русских сайтов, на которых бы размещалась информация о новых результатах исследований компьютерно-статистической медицинской науки, в настоящее время еще не создано.
	Коллекция рекомендаций Агентства по политике в области здравоохранения и научных исследований США: http://www.guideline.gov . 
	Актуальная информация по различным медицинским специальностям: http://www.medscape.com
	Библиотека американского Национального центра биотехнологической информации: http://www.ncbi.nlm.nih.gov . 
	Сайт Американской Медицинской Ассоциации: http://www.ama-assn.org .
	Полная электронная версия Британского медицинского журнала: http://www.bmj.com .
	Medline - большая база данных, созданная и поддерживаемая специалистами из США, в которую помещаются тексты всех статей, публикуемых в крупных медицинских журналах. С Medline можно работать через Интернет, кроме того, ряд организаций продают копию этой базы на компакт-дисках всем желающим. Доступ к полным текстам статей в Medline платный, однако многие сайты предоставляют желающим возможностью бесплатно работать с краткими содержаниями материалов - «абстрактами» (рефератами). 
	Доступ к Medline имеется из Библиотеки американского Национального центра биотехнологической информации: 
http://www.ncbi.nlm.nih.gov/PubMed . 
	Доступ к Medline и оглавления всех крупных медицинских журналов: http://www.biomednet.com/db/medline . Доступ к Medline с сайта Infotrieve: http://www.infotrieve.com . 
	На сайте http://www.paperchase.com  можно подписаться и на платный доступ в Medline - годовой абонемент стоит 150 долларов. На этом же сайте есть сервис рассылки распечаток статей из Medline - тоже платный, разумеется. Medline снабжена мощной системой поиска статей (например, можно искать материалы по ключевым словам, по дате публикации), так что найти нужную информацию вы сможете довольно легко. 
	Официальный сайт Российского отделения Кокрановского Сотрудничества - http://www.cochrane.ru . Здесь можно подписаться на получение Кокрановской базы данных с обзорами медицинской литературы на CD. Официальный сайт самого Кокрановского сотрудничества расположен по адресу http://www.cochrane.org .

12.3. Медико-статистические технологии

	Перейдем к более подробному рассмотрению наиболее распространенных медико-статистических технологий, т.е. статистических технологий анализа медицинских данных.
	Клинико-статистические исследования. Среди многих видов научных медицинских исследований важное место занимают клинико-статистические. Именно о них обычно идет речь в работах по доказательной медицине.
	Под клинико-статистическим исследованием понимают специально организованный сбор и анализ медицинских данных о течении заболеваний у пациентов, динамике объективных и субъективных показателей их состояния, реакции на те или иные лечебные воздействия. Исследуются одна, две или более групп лиц (больных или здоровых), выводы делаются по группам в целом, а не по каждому конкретному пациенту. Цель таких исследований - в переносе выводов «с выборки на генеральную совокупность». То есть, клинико-статистическое исследование ориентировано на получение полезных рекомендаций, касающихся тех пациентов, которые попадут в поле зрения врачей после окончания исследования. Таким образом, имеется потенциальное противоречие интересов практикующего врача и научного работника, ведущего клинико-статистическое исследование. Первый заинтересован оказать наилучшую возможную помощь каждому своему пациенту. Второй разрабатывает рекомендации для будущих больных, а для этого иногда, например, при использовании плацебо, вынужден лишить своих пациентов лечебного воздействия. 
	Интересными для теории и полезными для практики являются различные типы научных медицинских исследований. Различия между ними в настоящем разделе не принципиальны. Например, не будем выделять отдельно эпидемиологические исследования.
	Сбор данных и «карта больного». По каждому отдельному пациенту подобная информация обычно содержится в его истории болезни. Поэтому при проведении клинико-статистического исследования сбор данных зачастую состоит в заполнении специальной формы («карты больного») на основе истории болезни. Такая работа сильно облегчается, если в медицинской организации ведутся автоматизированные истории болезни со стандартными процедурами заполнения. В идеале сбор данных для конкретного клинико-статистического исследования может быть заменен на выделение соответствующей подбазы данных из общей базы медицинской организации, содержащей автоматизированные истории болезни. 
	«Карта больного» - один из видов анкет: слева вопросы, справа ответы. Начальные вопросы позволяют идентифицировать пациента (фамилия, имя, отчество, адрес, паспортные данные), другие нацелены на получение информации, используемой при лечении. Обычно фиксируют:
	пол, возраст (дату рождения), профессию (вид деятельности); 
	данные о перенесенных заболеваниях (анамнез), вредных привычках (курение, употребление иных наркотических веществ);
	рост, вес, пульс, температура, диастолическое и систолическое артериальное давление, результаты ЭКГ, других обследований и анализов при поступлении в медицинское учреждение и в другие моменты времени;
	назначенное лечение и течение заболевания;
	даты начала заболевания, госпитализации, операции, выписки, смерти и т.д.  
	Внешне «карта больного» похожа на личный листок по учету кадров. Отличие в том, что она предназначена для получения выводов по группе пациентов, а не отдельно по каждому из них. Поэтому записи в каждой графе должны вестись так, чтобы на их основе можно было формулировать выводы по группе в целом. Другими словами, записи должны быть либо числами, либо кодами градаций из заранее составленных списков.
	С формальной точки зрения «карта больного» напоминает социологические и маркетинговые анкеты. Только вопросы в них другие, соответствующие предметным областям. А вот методы обработки данных - те же. Поэтому читатель не должен удивляться тому, что в главе о доказательной медицине рассматриваются такие же методы анализа статистических данных, как и в публикациях по эконометрике.
	Виды клинико-статистических исследований. Два основных вида - ретроспективные и проспективные. Первые связаны с анализом прошлого, вторые - будущего.
	Исходный материал для ретроспективных исследований - истории болезней. Чего в них нет - восстановить нельзя. В прошлом нельзя ни опросить больных, ни провести дополнительные анализы и обследования. Это - недостаток. 
	Кроме того, трудно по историям болезни составить сопоставимые экспериментальную и контрольную группы, еще труднее обосновать эту сопоставимость. Если в прошлом врач выбрал для одних пациентов определенное лечебное воздействие, а для других - иной способ лечение, то, видимо, у него были для этого основания. Эти основания не всегда зафиксированы в историях болезни. Можно, конечно, подобрать экспериментальную и контрольную группы, сопоставимые по полу, возрасту, анамнезу, результатам анализов и обследований. Но, увы, нельзя быть уверенным, что в исследовании не упущен какой-то важный в прошлом фактор. Может быть, врач принимал решение на основе неформализуемой (экспертной) оценки состояния больного? Подобная оценка делается интуитивно, а потому и не может войти в такой официальный документ, как история болезни.
	А преимущества ретроспективных исследований в том, что:
	нет необходимости ждать развития заболевания и проявления результата лечебного воздействия. Так что клинико-статистическое исследование может быть проведено быстро. При хорошо поставленной системе автоматизированных историй болезни - за один день;
	отсутствуют этические проблемы, связанные, например, с разделением пациентов на экспериментальную и контрольную группу.
	Отметим, что иногда удается изучить состояние пациентов в настоящее время. А то и спланировать будущее ведение больных. Но это уже переход к проспективному исследованию. Таким образом, кроме двух основных форм клинико-статистических исследований, есть промежуточные.
	При планировании проспективного исследования есть возможность предусмотреть сбор всей необходимой информации, проведения всех нужных врачу-ученому анализов и обследований. 
	К недостаткам относится большая продолжительность исследования. В некоторых случаях представляется полезным знать продолжительность предстоящей жизни пациента после того или иного лечебного воздействия. Возможно, заканчивать подобное исследование придется уже следующим поколениям врачей. Впрочем, за несколько десятилетий изменятся взгляды на лечение рассматриваемых заболеваний, появятся новые виды анализов и обследований, так что отмеченное выше преимущество проспективного исследования сойдет на нет. 
	Преимуществом является также возможность обеспечить сопоставимость экспериментальной и контрольных групп, например, применить рандомизацию или «двойной слепой метод». С одной стороны, это дает возможность статистически достоверно (т.е. с вероятностью, близкой к 1) обосновать наличие (или отсутствие) эффекта. С другой стороны, часть пациентов будет получать плацебо, а не лекарство, т.е. будет лишено лечебного воздействия, что не всегда представляется корректным с этической точки зрения.
	Формулировки вопросов. Как и в маркетинговых и социологических опросах (см. главу 1), в научных медицинских исследованиях в «картах больного (пациента)» используют три типа вопросов - закрытые, открытые и полузакрытые, они же полуоткрытые. При ответе на закрытый вопрос врач-исследователь может выбирать лишь из сформулированных составителями анкеты вариантов ответа. В качестве ответа на открытый вопрос его просят изложить свое мнение в свободной форме. Полузакрытые, они же полуоткрытые вопросы занимают промежуточное положение - кроме перечисленных в анкете вариантов, врач-исследователь может добавить свои соображения.
	Преимущество открытых вопросов в том, что врач-исследователь может свободно высказать свое мнение так, как сочтет нужным. Их недостаток - в сложности сопоставления мнений по поводу различных больных. Для такого сопоставления и получения сводных характеристик организаторы исследования вынуждены сами шифровать ответы на открытые вопросы, применяя разработанную ими схему шифровки. 
	Преимущество закрытых вопросов в том и состоит, что такую шифровку проводит сам врач-исследователь. Однако при этом организаторы опроса уподобляются древнегреческому мифическому персонажу Прокрусту. Как известно, Прокруст приглашал путников заночевать у него. Укладывал их на кровать. Если путник был маленького роста, он вытягивал его ноги так, чтобы они доставали до конца кровати. Если же путник оказывался высоким, и ноги его торчали - он обрубал их так, чтобы достигнуть стандарта: «рост» путника должен равняться длине кровати. Так и организаторы опроса, применяя закрытые вопросы, заставляют врача-исследователя «вытягивать» или «обрубать» свое мнение, чтобы выразить его с помощью приведенных в формулировке вопроса возможных ответов.
	Ясно, что для обработки данных по группам и сравнения групп между собой нужны формализованные данные, и фактически речь может идти лишь о том, кто - заполняющий «карту» на конкретного больного врач-исследователь или организатор исследования при повторном просмотре всех карт - будет шифровать ответы. 
	Если в исследовании практически для всех вопросов варианты ответов можно перечислить заранее, то целесообразно широко использовать закрытые вопросы. В общем случае целесообразно применять в основном закрытые и полузакрытые вопросы. Как показывает опыт проведения научных медицинских исследований, такой подход обычно является правильным - лишь в небольшом числе карт оказываются вписаны свои варианты ответов. Вместе с тем демонстрируется уважение к мнению врача-исследователя, не выдвигается требование обязательного выбора из заданного множества ответов - врач-исследователь может добавить свое, но редко пользуется этой возможностью (как правило, не более чем в 5% случаев).
	Типовые ошибки при организации клинико-статистических исследований. Начинающие врачи-исследователи иногда недостаточно продумывают процедуры сбора и анализа информации. 
	Например, начинают бессистемно выписывать те или иные сведения, которые, по их мнению, представляют интерес для клинико-статистического исследования. Накопив гору выписок, они приходят к специалисту по анализу данных и просят обработать. Тот смотрит и видит, что материал обработке не поддается. Масса пропусков - для одних пациентов информация по определенному вопросу «карты больного» есть, для других - нет. Ответы для разных пациентов не сопоставимы. Наборы анализов, обследований, лечебных воздействий - у каждого свои. В результате обработать удается примерно 1% собранной информации. (Например, обычно удается установить численность изученной группы пациентов.) Все остальное пропадает. Большой труд потрачен зря.
	Другая типичная ошибка - «текучесть» определений понятий. В начале работы начинающий врач-исследователь использует одну определенную формулировку, потом постепенно от нее отходит. Явление, хорошо известное студентам - в процессе экзамена представление о той или иной оценке постепенно меняется - экзаменатор становится снисходительнее. 
	Известно также, что разные научно-практические коллективы, в том числе в медицине, по-разному определяют понятия. Например, в 1950-х и 1960-х гг. психиатры отметили разительное несовпадение уровней госпитализации с диагнозом шизофрении и депрессивных расстройств в Великобритании и США. Так, уровень госпитализации с маниакально-депрессивными психозами в возрастной группе 55-64 лет в Англии и Уэльсе был в 20 раз выше, чем в США. И наоборот, шизофрения в Нью-Йорке оказалась в два раза более распространенной, чем в Лондоне. Причина различий оказалась простой - разные традиции диагностики, т.е. разное понимание понятий. Одно и то же заболевание в США может диагностироваться как шизофрения, а в Великобритании - как маниакально-депрессивный психоз [3].  
	Наиболее глубокая причина ошибок - несовершенство наших знаний. Хорошо известно, что обнаружить причину различия групп пациентов зачастую весьма трудно. Например, в середине XIX в. по уровню заболевания холерой различались богатые и бедные лондонцы. В Англии осенью и зимой холера не переходила в эпидемию, а в Шотландии - наоборот. Оказалось (и это было большое научное достижение), что заболеванию холерой способствует питье сырой воды, зараженной холерными вибрионами [3]. Сырую воду бедные лондонцы пили гораздо чаще, чем богатые. По традиции сырая вода широко употреблялась осенью и зимой в Шотландии, в то время в Англии в это время пили чай. Представим теперь, что в то время проводилось бы исследование, посвященное заболеваемости холерой. Были бы подобраны экспериментальная группа англичан и контрольная группа шотландцев, одинаковые во всем, кроме места жительства. И результат исследования состоял бы в том, что зимняя заболеваемость объясняется географическим положением пациентов. Аналогично было бы «доказано», что богатство приводит к снижению заболеваемости.
	Планирование и организация сбора данных в научных медицинских исследованиях. Первое, с чего начинается как само научное медицинское исследование, так и рассказ о нем - это формулировка цели исследования. Например, в типовой научной работе цель формулируется так:
	«Изучить антигипертензивную эффективность и влияние на эндотелиальную функцию новой ретардной формы антагониста кальция дилтиазема (Антиазем® РР) у мужчин, больных мягкой и умеренной артериальной гипертонией».
	Таким образом, в типовой формулировке цели научного медицинского исследования выделяются две составляющие:
	влияние какого фактора (воздействия) изучается:
	какая совокупность пациентов рассматривается в исследовании. Первая составляющая редко упускается из внимания. Необходимость второй не столь очевидна.
	Как используются результаты клинико-статистического и, более общо, научного медицинского исследования? В большинстве случаев выводы, полученные по сравнительно небольшому числу пациентов, распространяют на всех пациентов с подобными заболеваниями. В терминологии доказательной медицины - выводы с выборки переносят на генеральную совокупность. При таком взгляде становится ясной важность тщательного описания генеральной совокупности. Одно дело - пациенты поликлиники (начальные стадии заболевания, легкое течение, как следствие - амбулаторное лечение), другое - пациенты больницы.
	Напомним ситуацию, описанную в начале главы. Сельский врач был уверен в его эффективности определенного антибиотика, поскольку практически все больные с пневмонией, поступавшие в ту больницу, где он работал, быстро и хорошо этим антибиотиком вылечивались. В то же время врач областной больницы вполне обоснованно считал, что этот антибиотик бесполезен: он не смог вылечить им ни одного из больных с пневмонией, кто поступил в его отделение, и был вынужден давать этим больным другие лекарства. 
	В чем причина такого расхождения мнений? Дело в том, что эти два врача лечили больных из двух разных генеральных совокупностей. Сельский врач основывал свои выводы на анализе лечения больных из генеральной совокупности жителей своего участка. В областную больницу привозили тех и только тех больных, которым не смогли помочь сельские врачи, т.е. больных, для которых обсуждаемый антибиотик оказался неэффективным. Это – совсем иная генеральная совокупность. Доля таких пациентов в сельских больницах была невелика, но все они, в конце концов, собирались в областной больнице - потому ее врач так критически об этом антибиотике и высказывался. И ведь оба были правы - на основании собственного опыта и опыта своих больниц. Поэтому, как видно, основываться лишь на опыте лечения конкретных пациентов не всегда полезно... Необходимо применять методы доказательной медицины. 
	Материалы и методы. Но вот цель исследования сформулирована. Что дальше? В стандартном содержании научной медицинской статьи следом за целью описывают «материалы и методы». Материалы, по крайней мере в клинико-статистических исследованиях, - это описание групп пациентов, прежде всего по полу, возрасту, анамнезу. Под методами понимают способы изучения течения заболевания. Например, в резюме научной медицинской статьи сформулирована цель:
	«Исследовать эффективность коррекции нарушений обменных процессов и тромбоцитарных дисфункций у больных артериальной гипертонией (АГ) с метаболическим синдромом (МС) сочетанным применением метформина и немедикаментозных средств».
	Затем идет абзац:
	«Материалы и методы. 25 больным АГ с МС назначался метформин, другим 25 - комплекс немедикаментозного лечения и метформин. Оценивалась динамика антропометрических показателей, липидного спектра крови, перекисного окисления липидов плазмы и тромбоцитов, их агрегация и внутрисосудистая активность».
	При планировании исследования обычно выделяют экспериментальную и контрольную группы, одинаковые или близкие по всем показателям, кроме изучаемого фактора (воздействия). Более точны следующие формулировки, взятые из монографии по доказательной медицине [1]. 
	«Экспериментальная группа - это группа, подвергающаяся вмешательству (лечению) в ходе исследования. Иначе называется группой лечения, или группой вмешательства.
	Контрольная группа, или группа сравнения - группа испытуемых, получающих обычное лечение, или не получающих   лечения, или получающих плацебо. Результаты измерений в контрольной группе сравниваются с результатами измерений в экспериментальной группе для оценки эффекта исследуемого метода лечения». 
	Все научные исследования, в том числе и медицинские, и особенно клинико-статистические, проводятся по одним и тем же правилам, выработанным многими поколениями исследователей. Опишем базовый вариант экспериментальной научной работы [4].
	Базовая схема эксперимента. Цель эксперимента - эмпирическое подтверждение или опровержение гипотезы исследования и/или справедливости теоретических результатов.
	Рассмотрим следующую базовую модель эксперимента. Пусть имеется некоторый медицинский объект, изменение состояния которого исследуется в ходе эксперимента. В качестве объекта может выступать отдельный индивид, группа, коллектив и т.д., например, множество пациентов, лечение которых проводится по новой методике. Состояние объекта измеряется теми или иными показателями (характеристиками) по критериям, отражающим его существенные характеристики. Примеры критериев: исход заболевания, продолжительность лечения, число осложнений и т.д.
	Эксперимент заключается в целенаправленном воздействии на объект, призванном изменить его определенным образом. Собственно, это воздействие – его состав, структура, свойства и т.д. – и есть результат теоретического исследования. Примеры воздействия: применение новых лекарств, новых видов лечебного воздействия.
	Следовательно, при проведении эксперимента необходимо обосновать, что состояние объекта изменилось, причем в требуемую сторону. Но этого недостаточно. Нужно обосновать, что изменения произошли именно в результате произведенного воздействия.
	Действительно, на утверждение о том, что срок лечения сократился в результате использования нового вида лечебного воздействия, можно всегда возразить, – а, может быть, он сам сократился бы, без каких-либо нововведений, или в результате каких-либо других воздействий, совпавших по времени (например, повышения оплаты пребывания в лечебном заведении)? Аналогично, на утверждение о том, что объективно устанавливаемое состояние пациентов, прошедших лечение по новой методике, лучше состояния тех, кто лечился по традиционной методике, можно возразить следующим образом. Может быть, состояние первых до начала применения новой методики была лучше, и, если бы новая методика не применялась, то оно в результате оказалось бы выше наблюдаемой?
	Например, в России в 1990-е гг. резко снизилась обращаемость пациентов в лечебные заведения по поводу ряда заболеваний, особенно легких, не требующих госпитализации. Однако из этого не следует, что снизилась и заболеваемость, здоровье населения стало лучше. Судя по резкому возрастанию смертности в 1990-е гг., дело обстояло прямо противоположным образом - здоровье населения ухудшилось. А снижение обращаемости определялось социально-экономическими причинами - появлением безработицы, снижением уровня жизни населения, ухудшением работы учреждений здравоохранения. Все эти причины приводят к тому, что население при легких заболеваниях обращается не к врачу, а к «домашним» средствам, люди продолжают работать во время течения заболевания.
	Итак, чтобы выделить в явном виде результат целенаправленного воздействия на исследуемый объект, необходимо взять аналогичный объект и посмотреть, что происходит с ним в отсутствии воздействий.
	Традиционно эти два объекта в экспериментальных исследованиях называют соответственно экспериментальной группой (например, ведущейся по предложенной лечебной методике) и контрольной группой (например, ведущейся по традиционной методике).
	На рис. 12.10 представлена в общем виде структура любого медицинского эксперимента. Двойными пунктирными стрелками отмечены процедуры сравнения характеристик объектов. С помощью рис. 12.10 обсудим все составляющие базовой модели медицинского эксперимента.

Начальное состояние

Конечное состояние

Время

Экспериментальная

группа

Контрольная

группа

Экспериментальная

группа

Контрольная

группа

I

II

III

IV

Экспериментальная

методика

Традиционная

 

методика

Рис. 12.10. Структура медицинского эксперимента

	Констатации (в результате сравнения III – см. рис. 12.10) различий начального и конечного состояний (динамики) экспериментальной группы недостаточно – быть может, аналогичные изменения происходят и с контрольной группой, что может быть установлено сравнением IV. Поэтому алгоритм действий исследователя (т.е. способ решения исследовательских задач, точно предписывающий, как и в какой последовательности получить заключительный результат), заключается в следующем:
	1) на основании сравнения I установить совпадение начальных состояний экспериментальной и контрольной группы;
	2) реализовать воздействие на экспериментальную группу;
	3) на основании сравнения II установить различие конечных состояний экспериментальной и контрольной группы.
	Легко видеть, что, выполняя перечисленные шаги, мы, фактически, косвенным образом реализуем процедуру сравнения III, исключая влияние общих для экспериментальной и контрольной группы условий и воздействий.
	Спрашивается, а где же место статистических методов доказательной медицины? Роль их заключается в том, чтобы корректно и достоверно обосновать совпадение или различие состояний контрольной и экспериментальной группы. 
	Многообразие схем эксперимента и статистические технологии. Эксперимент может следовать и более сложной, но укладывающейся в рамки описанной методологии, схеме – характеристики контрольных и экспериментальных групп могут измеряться и сравниваться неоднократно, в различные моменты времени.
	Применяют и иные схемы клинико-статистических исследований. Например, в исследовании по схеме «до - после» нет контрольной группы. Изучается течение заболевания в одной группе пациентов, подвергающейся изучаемому вмешательству (в терминах рис. 12.10 - проводится сравнение III). Обычно такое исследование служит для первоначального анализа ситуации, является базой для постановки следующей работы по схеме рис. 12.10. Иногда же при проведении исследовании по схеме «до - после» предполагают, что любое улучшение, наблюдаемое после лечения, обусловлено именно лечением. Это предположение может оказаться ложным, что делает метод «до - после» весьма уязвимым [1]. 
	Проведение сравнений III и IV позволяет выявить изменения в показателях пациентов экспериментальной и контрольной групп за время наблюдения. Таким образом, все четыре сравнения, указанные на рис. 12.10, широко используются в научных медицинских исследованиях. Расчетные методы проведения сравнений показателей (между группами и в одной группе в разные моменты времени) рассмотрены ниже (см. также главу 5). 
	Отдельные методы сбора и анализа данных (как медицинских, так и данных иной природы) объединяются в статистические технологии. В настоящей книге рассматриваются лишь отдельные элементы статистических технологий. Тем не менее они позволяют решать подавляющую часть задач, возникающих при анализе данных в медицинских научных исследованиях. Понятие «статистические технологии» подробно обсуждается в эконометрике [5, гл.11]. Приведенные в [5] соображения без труда переносятся в область доказательной медицины.
	Выборочные научные медицинские исследования. Термин «выборочные исследования» применяют, когда невозможно изучить все единицы представляющей интерес совокупности. Приходится знакомиться с частью совокупности - с выборкой, а затем с помощью статистических методов и моделей переносить выводы с выборки на всю совокупность (см. главу 1). 
	Научные медицинские исследования можно разделить на три типа. К первому относятся немногочисленные работы, посвященные описанию отдельных интересных случаев. Ко второму - выборочные исследования, когда по результатам изучения сравнительно небольших групп больных (десятки или сотни человек) делаются попытки сформулировать выводы и рекомендации для гораздо более широких совокупностей. Третий тип - это обобщающие работы, построенные на основе ранее проведенных исследований. Как правило, именно они наиболее полезны для читателей, прежде всего для практикующих врачей. Однако без работ первых двух типов, содержащих всю первичную информацию, такие работы невозможны.
	Методы выборочных исследований основаны на вероятностных моделях, описывающих получение ответов на вопросы, включенные в «карты больного». В случае ответов типа «есть» - «нет» наиболее распространенными являются две вероятностные модели - биномиальная и гипергеометрическая, подробно разобранные в главе 1. Там же установлено, что биномиальная и гипергеометрическая модели весьма близки (с практической точки зрения совпадают), когда объем генеральной совокупности по крайней мере в 10 раз превышает объем выборки. Отличия проявляются лишь при обсуждении вопроса о том, какую выборку считать представительной (в идущей с Запала терминологии - репрезентативной). Например, является ли таковой выборка, составленная из больных, находящихся в определенном отделении медицинского учреждения на фиксированный момент времени? В биномиальной модели вполне допустим ответ «да», в гипергеометрической -  только «нет».
	Биномиальная модель легче для теоретического изучения, поэтому будем её рассматривать в дальнейшем. Однако при проведении реального научного медицинского исследования лучше формировать выборку, исходя из гипергеометрической модели, если такая возможность имеется. Например, при проведении эпидемиологического исследования с целью изучения качества жизни  это делают, выбирая опрашиваемых (участников исследования) из списка избирателей с помощью датчиков псевдослучайных чисел на ЭВМ или с помощью таблиц псевдослучайных чисел. Алгоритмы формирования выборки встраивают во все современные программные продукты, предназначенные для поддержки проведения подобных исследований.
	Сколько больных достаточно для исследования? То есть, каков должен быть объем выборки? (По-английски - sample size, поэтому этот термин иногда неправильно переводят как «размер выборки».) Ответ на этот вопрос очевиден - чем больше, тем лучше. Обычно объем выборки определяется финансовыми возможностями организаторов научного медицинского исследования, числом больных с соответствующими нозологическими формами, находящимися в определенном медицинском учреждении во время исследования, и т.д. Лишь в отдельных случаях, когда требуется оценить определенный параметр с заданной точностью или выбрать между двумя полностью описанными гипотезами, необходимый объем выборки можно рассчитать на основе теории математической статистики.  
	Формирование и динамика выборки. Как реально подбирается выборка? В [1, с.177] описывается конкретное научное медицинское исследование. В качестве популяции, из которой производится отбор в выборку, рассматриваются больные с инсулиннезависимым сахарным диабетом, наблюдающиеся в одной клинике. Предполагается, что клиника является типовой, и результаты могут быть перенесены на всех больных с рассматриваемой нозологической формой заболевания.
	Критерии отбора (включения в выборку) таковы:
	1. Возраст старше 40 лет.
	2. Сахарный диабет диагностирован в возрасте старше 30 лет.
	3. Требуется лекарственная коррекция гипергликемии.
	4. Планируемая продолжительность наблюдения - более 2 лет.
	5. Выполнение определенных ограничений (здесь не описываются), связанных с другими заболеваниями, инвалидностью и т.п.
	Однако из тех больных, кто соответствует критериям включения в выборку, некоторая часть сразу откажется сотрудничать с исследователем. Некоторые не захотят лечиться предлагаемым способом. Другие станут возражать против того, чтобы выбор лечения определялся случайным образом (при применении двойного слепого методы - см. ниже), а не их лечащим врачом. Пациенты-отказники обычно отличаются от давших согласие по социально-экономическому статусу, тяжести заболевания и другим признакам.
	За время исследования (в данном случае - за 2 года) состав выборки изменится. Отпадет ряд пациентов, которые не соблюдали график посещения врача-исследователя, полностью или частично не проходили регулярных обследований. Останутся лишь наиболее дисциплинированные и ответственные пациенты. Но и среди них будут выбывшие из исследования - из-за смерти, переезда, развития другого заболевания и т.п. 
	Таким образом, реальная выборка будет отличаться от намеченной. Выборка будет нуждаться в «ремонте». Если критериям отбора удовлетворяет достаточно много пациентов, то простейшее решение состоит в увеличении исходного объема выборки, с тем, чтобы к концу исследования обеспечить прослеживание динамики заболевания для заданного числа больных. Некоторые иные методы «ремонта» выборки рассматриваются ниже. Однако приходится, например, констатировать, что включенные в научное медицинское исследование пациенты являются (в среднем) более дисциплинированными и ответственными, чем больные в исходной популяции. Поэтому переносить полученные в научных медицинских исследованиях выводы и результаты в обычную клиническую практику следует с осторожностью.
	Доверительное оценивание доли (вероятности). Зачем проводятся выборочные исследования? Чтобы получить необходимую информацию о генеральной совокупности. Для этого необходимо перенести выводы с выборки на генеральную совокупность. Как и с какой точностью можно это сделать? 
	Рассмотрим эту проблему для простейшего случая одного вопроса в «карте больного» с двумя возможными ответами - «есть» и «нет». Конечно, пары подсказок могут быть иными. Например, на вопрос об отношении к некоторому высказыванию пациент может отвечать «согласен» или «не согласен». Ситуация описывается одним параметром р - долей пациентов, выбирающих первую подсказку, во всей генеральной совокупности. Необходимо оценить этот параметр.
	В главе 1 развита соответствующая теория. Предварительно требуется задать характеристику надежности переноса выводов с выборки на генеральную совокупность - доверительную вероятность , близкую к 1. В главе 1 построим доверительный интервал, «накрывающий» неизвестную нам величину р с вероятностью , близкой к 1. Чем больше вероятность γ, тем надежнее вывод. Но при этом вывод становится менее точным, длина интервала увеличивается. Надежность и точность меняются в различных направлениях при изменении доверительной вероятности. 
	Пусть функция  удовлетворяет условию

т.е.
,
где - функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. В главе 1 показано, что нижнюю доверительную границу целесообразно задать в виде

в то время как верхняя доверительная граница такова:
,
где p* - выборочная доля, т.е. доля пациентов в выборке, выбравших первую подсказку.
	Наиболее распространенным (в прикладных исследованиях) значением доверительной вероятности является  Иногда употребляют термин «95% доверительный интервал». Тогда  
	Пример 1. Пусть в выборке объема n = 500 выбрали первую подсказку m = 300 пациентов. Тогда p* = 0,60. Найдем доверительный интервал для 

Таким образом, хотя в достаточно большой выборке 60% пациентов говорят «да», можно утверждать лишь, что во всей генеральной совокупности таких от 55,7 до 64,3% - крайние значения отличаются на 8,6%. 
	Замечание. С достаточной для практики точностью можно заменить 1,96 на 2.
	Удобные для использования в практической работе таблицы точности оценивания разработаны во ВЦИОМ (Всероссийском центре по изучению общественного мнения). Одна из них приведена ранее в главе 1.
	Пример 2 [3, с.159]. Из 64 пациентов диагноз шизофрении был у 30. Что можно сказать о распространенности шизофрении среди всех психических заболеваний?
	В рассматриваемом случае p* = 30/64 = 0,47. Найдем доверительный интервал для 

	Таким образом, среди всех психических заболеваний шизофрения занимает от 34,7 до 59,1%, что можно округлить до интервала от 35 до 60%. Более точная оценка может быть найдена лишь на основе гораздо более обширной выборки.
	Проверка однородности вероятностей - одна из базовых проблем, решаемых статистическими методами. Она часто обсуждается в литературе, а методы проверки однородности применяются при решении многих практических задач. Например, как сравнить две группы - мужчин и женщин, молодых и пожилых, и т.п.? 
	Если две группы не отличаются по ответам, значит, их можно объединить и осуществлять одни и те же лечебные воздействия. Если же две группы различаются, то и относиться к ним надо по-разному.  
	Обсуждаемая далее постановка задачи в вероятностно-статистических терминах такова. Рассматривается вопрос «карты больного» с двумя возможными ответами, например, «есть» и «нет». В первой группе из n1 пациентов для m1 человек ответ «есть», а во второй группе из n2 больных для m2 лиц ответ «есть». В вероятностной модели предполагается, что m1 и m2 - биномиальные случайные величины B(n1, p1) и B(n2, p2) соответственно. 
	Однородность двух групп означает, что соответствующие им вероятности равны, неоднородность - что эти вероятности отличаются. В терминах прикладной математической статистики задача ставится так: необходимо проверить гипотезу однородности
H0: p1 = p2
при альтернативной гипотезе о наличии эффекта
H1: p1  p2 
(Иногда представляют интерес и иные альтернативные гипотезы, прежде всего односторонние альтернативные гипотезы  и .)
	Оценкой вероятности р1 является частота р1*=m1/n1, а оценкой вероятности р2 является частота р2*=m2/n2. Даже при совпадении вероятностей р1 и р2 частоты, как правило, различаются. Как говорят, «по чисто случайным причинам». 
	Как показано в главе 1, правило принятия решения при проверке однородности двух выборок выглядит так:
	1. Вычислить статистику

	2. Сравнить значение модуля статистики |Q| с граничным значением K. Если |Q| < K, то принять гипотезу однородности H0. Если же |Q| > K, то заявить об отсутствии однородности и принять альтернативную гипотезу H1 о наличии эффекта. 
	Граничное значение К определяется выбором уровня значимости статистического критерия проверки однородности. Граничное значение в зависимости от уровня значимости целесообразно выбирать из условия

Здесь - функция, обратная к функции стандартного нормального распределения. В клинико-статистических и медико-биологических наиболее распространен 5% уровень значимости, т.е.  Для него К = 1,96. Для других уровней значимости надо использовать другие коэффициенты  Так, K(0,01) = 2,58 для уровня значимости 1% и K(0,10) = 1,64 для уровня значимости 10%.
	Пример 3. Пусть в первой группе из 500 мужчин оценка характеристики «есть» зафиксировано у 200, а во второй группе из 700 женщин ответ «есть» у 350. Есть ли разница по доле оценок «есть» между генеральными совокупностями, представленными этими двумя группами?
	Для установления лучшего взаимопонимания с врачом-исследователем уберем из формулировки примера относящийся к теории статистики термин «генеральная совокупность». Получим следующую постановку.
	Пусть из 500 мужчин определенное нарушение выявлено у 200, а из 700 женщин это нарушение зафиксировано у 350. Есть ли разница между мужчинами и женщинами по доле лиц, имеющих рассматриваемое нарушение?
	В рассматриваемом примере нужные для расчетов величины таковы:  Вычислим статистику 

Поскольку |Q| = 3,45 > 1,96, то необходимо отклонить нулевую гипотезу и принять альтернативную. Таким образом, мужчины и женщины отличаются по рассматриваемому признаку - наличию рассматриваемого нарушения.
	Результат проверки гипотезы однородности зависит не только от частот, но и от объемов выборок. Предположим, что частоты (доли) зафиксированы, а объемы выборок растут. Тогда числитель статистики Q не меняется, а знаменатель уменьшается, значит, вся дробь возрастает. Поскольку знаменатель стремится к 0, то дробь возрастает до бесконечности и рано или поздно превзойдет любую границу. Есть только одно исключение - когда в числителе стоит 0. Следовательно, при строгом подходе к формулировкам вывод статистика должен выглядеть так: «различие обнаружено» (если принята альтернативная гипотеза) или «различие не обнаружено» (если нет оснований отклонять нулевую гипотезу). Во втором случае различие, возможно, было бы обнаружено при увеличении объемов выборок.
	Как и для доверительного оценивания вероятности, во ВЦИОМ разработаны две полезные таблицы, позволяющие оценить вызванные чисто случайными причинами допустимые расхождения между частотами в группах (см. главу 1). 
	Итак, если частоты (выборочные доли) в группах достаточно сильно различаются, то делается вывод о различии долей в генеральных совокупностях. А если сравнительно мало различаются, то утверждают, что различие не обнаружено. А где граница? Допустимое расхождение  между частотами нетрудно получить расчетным путем. Для этого достаточно воспользоваться формулой для статистики Q и определить, при каком максимальном расхождении частот все еще делается вывод о том, что верна гипотеза однородности. Следовательно, допустимое расхождение находится из уравнения

Таким образом,

Для данных примера 3 = 1,96 0,029 = 0,057, или 5,7%, для уровня значимости 0,05. 
	В связи со сказанным возникает вопрос: каково типовое отличие частот в двух выборках из одной и той же совокупности? Соответствующая теория развита в главе 1. Она позволяет разработать метод контроля правильности (корректности) проведения повторных выборочных исследований. Если частоты излишне устойчивы, значения долей при повторных выборочных исследованиях слишком близки - это подозрительно! Возможно, нарушены правила проведения выборочных исследований, выборки не являются случайными, ответы фальсифицированы, и т.д.
	Пример 4. Согласно статье в медицинском журнале «Кардиоваскулярная терапия и профилактика» фраксипарин получали 75 пациентов (среди них 53 мужчины, 70,7%), фраксифорте - тоже 75 пациентов (45 мужчин, 60%). Различаются ли подгруппы по половому составу?  
	Нужные для расчетов величины таковы:  Вычислим статистику критерия проверки однородности (обнаружения эффекта)

Поскольку |Q| = 1,386 < 1,96, то необходимо принять нулевую гипотезу и отклонить альтернативную. Различие не обнаружено. Таким образом, подгруппы не отличаются по половому составу.
	Случай малых вероятностей. Рассмотренные выше методы анализа медицинских данных основаны на предположении о возможности использования биномиальной модели выборки. Кроме этого, необходимо, чтобы объем выборки n был достаточно большим - несколько десятков или сотен. 
	Наконец, третье условие. Необходимо, чтобы число m ответов «есть» (в схеме с двумя ответами «есть» - «нет») также было достаточно большим, сравнимым по величине с объемом выборки. Последнее эквивалентно предположению, что np - произведение числа опытов на вероятность рассматриваемого ответа при отдельном опыте - также достаточно велико. Напомним, что np - это среднее значение (математическое ожидание) для числа ответов m, т.е. М(m) = np. Другими словами, третье условие означает, что вероятность р не является слишком малой (не меньше 5-10%). Не должна быть слишком малой и дополнительная вероятность 1 - р. Следовательно, вероятность ответа «есть» должна лежать между 5 и 95% (а лучше - между 10 и 90%).
	Однако последнее условие выполнено отнюдь не всегда. Например, в области с миллионным населением наблюдаются сотни или тысячи заболеваний. Хотя их число достаточно велико, но оно составляет лишь доли процента от численности населения. Для описания подобных ситуаций используют не биномальное распределение, а распределение Пуассона. 
	Случайная величина Y имеет распределение Пуассона, если 
,
где λ – параметр распределения Пуассона (интенсивность заболеваемости или иной характеристики), е - основание натуральных логарифмов, е = 2,718281828..., и P(Y=y)=0 для всех прочих чисел y. Здесь у! - произведение всех натуральных чисел от 1 до у, например, 2! = 1×2 = 2, 3! = 1×2×3 = 6, 4! = 1×2×3×4 = 24, и т.д., при y = 0 обозначено 0! =1. 
	Для распределения Пуассона математическое ожидание и дисперсия совпадают с параметром интенсивности:
M(Y) = λ, D(Y) = λ. 		(12.1)
Это распределение названо в честь французского математика С.Д. Пуассона (1781-1840), впервые получившего его в 1837 г. Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения, когда вероятность р осуществления события мала, но число испытаний n велико, причем np = λ. Точнее, справедливо предельное соотношение

Поэтому распределение Пуассона (в старой терминологии «закон распределения») часто называют также «законом редких событий». 
	Оценкой неизвестного параметра λ распределения Пуассона является наблюдаемое значение случайной величины Y. Доверительное оценивание может быть основано на асимптотической нормальности распределения Пуассона и соотношении (12.1). А именно, для доверительной вероятности 0,95 нижняя доверительная граница имеет вид
λнижн = Y - 1,96 ,
а верхняя доверительная граница такова
λверх = Y + 1,96 .
Эти границы - приближенные (асимптотические), поскольку получены в предположении, что параметр интенсивности λ достаточно велик (несколько десятков или сотен). Более точные расчеты можно провести по правилам, приведенным в специальной литературе [6].
	Пример 5. Пусть в муниципальном образовании численностью 125 тыс. человек наблюдается 438 случаев заболевания. Необходимо оценить заболеваемость (на 10000 жителей).
	Заболеваемость составляет 

случаев на 10000 жителей. Чтобы рассчитать доверительные границы, найдем сначала границы для общей заболеваемости (для всего муниципального образования):
λнижн = 438 - 1,96  = 438 - 41 = 397, λверх = 438 + 41 = 479.
Нижняя доверительная граница для заболеваемости на 10000 жителей составляет
,
а верхняя доверительная граница для заболеваемости на 10000 жителей такова:
.
	Есть ли различия между двумя муниципальными образованиями, мало различающимися по численности, или между заболеваемостью на одной и той же территории, но в соседние годы? При моделировании распределениями Пуассона следует рассмотреть случайные величины Y1 и Y2, имеющие распределения Пуассона с параметрами λ1 и λ2 соответственно, и проверять статистическую гипотезу о равенстве параметров этих распределений, т.е. гипотезу однородности
H0: λ1 = λ2
при альтернативной гипотезе о наличии эффекта
H1: λ 1  λ 2 
(Иногда представляют интерес и иные альтернативные гипотезы, прежде всего односторонние альтернативные гипотезы  и .)
	В прикладной математической статистике разработаны правила проверки гипотезы однородности для распределений Пуассона [6, п. 5.5]. В большинстве практических ситуаций, в которых наблюдаемые значения случайные величины Y1 и Y2 не являются малыми (другими словами, не менее нескольких десятков), достаточно воспользоваться статистическим критерием, основанным на асимптотической нормальности случайных величин, имеющих распределения Пуассона. В этом случае правило принятия решения при проверке однородности двух выборок выглядит так:
	1. Вычислить статистику
.
	2. Сравнить значение статистики R с граничным значением K. Если R<K, то принять гипотезу однородности H0. Если же R>K, то заявить об отсутствии однородности и принять альтернативную гипотезу H1 о наличии эффекта. 
	Граничное значение К определяется выбором уровня значимости статистического критерия проверки однородности. В клинико-статистических и медико-биологических наиболее распространен 5% уровень значимости, т.е.  Для него К = 1,96.
	Примечание. Если численности сравниваемых популяций сильно (в разы) отличаются, то необходимо применять несколько более сложные способы расчета, описанные в статистической литературе [6, п. 5.5]. При этом исходная гипотеза однородности состоит в равенстве заболеваемости на 10000 жителей. В соответствующей статистической гипотезе утверждается, что отношение параметров двух распределений Пуассона равно определенной величине, известной исследователю (а именно, отношению численности популяций).  
	Пример 6. Пусть в 2002 г. на территории Ивановской области было 235 случаев заболевания, а в 2003 г. - 312 случаев. Можно ли объяснить это различие случайными причинами?
	Примем, что за год численность населения Ивановской области изменилась незначительно. Поскольку эта численность измеряется миллионами, то число заболеваний в определенном году моделируется распределением Пуассона. Рассчитаем значение статистики критерия проверки однородности двух распределений Пуассона:
.
Поскольку полученное значение больше 1,96, то гипотезу однородности отклоняем на уровне значимости 0,05 (а также и на уровне значимости 0,01, поскольку R > 2,58). Заболеваемость значимо увеличилась.
	Пример 7. Пусть выполнены все предположения примера 6, кроме одного - заболеваемость в 2003 г. составила 270 случаев. Изменятся ли выводы статистического анализа?
	Рассчитаем значение статистики критерия 
.
Поскольку полученное значение меньше 1,96, то гипотезу однородности принимаем на уровне значимости 0,05. Различие между годами можно объяснить случайными причинами.
	Расскажем об одном эпидемиологическом исследовании, в котором использовались методы, описанные в настоящем разделе.
	Пример 8. Описторхоз - тяжелое глистное заболевание, склонное к хроническому течению, вызывающее нарушения различных функций организма. Один из путей заражения - употребление в пищу сырой рыбы, например, в замороженном (строганина) или вяленом виде, поэтому описторхоз распространен в северных районах, но встречается практически во всех субъектах РФ. Он приводит к серьезным осложнениям вплоть до развития первичного рака печени. Например, в Тюменской области, где широко распространена описторхозная инвазия, количество заболеваний первичным раком печени в 7 раз превышает средний показатель по стране. За год регистрируется около 100 тыс. лиц, заболевших описторхозом.
	Анализировались статистические данные о заболеваемости описторхозом по 61 административной территории. Одна из основных проблем - отличить территорию с наличием местных очагов заражения от территорий, где имеются лишь «завозные» случаи описторхоза. Другая проблема - прогноз (с помощью доверительных границ) числа заболеваний на будущее. Третья - типология территорий по степени зараженности описторхозом. Для решения поставленных задач использовались методы доказательной медицины, основанные на доверительном оценивании и проверке гипотез относительно параметров пуассоновских распределений. Число заболеваний на конкретной административной территории моделировалось распределением Пуассона. Изменение числа заболеваний с течением времени может быть связано с появлением очага заражения на рассматриваемой территории, но может объясняться и случайными отклонениями. Первый случай соответствует изменению параметра распределения Пуассона, а второй - его постоянству. Поэтому обосновать вывод о появлении очага заражения можно, отклонив статистическую гипотезу о равенстве параметров распределений Пуассона, описывающих число заболевших в соседние годы. 
	Полученные результаты представляли достаточно большой интерес для паразитологии. В частности, сделан прогноз о наличии местной заболеваемости в Воронежской и Иркутской областях, после чего были обнаружены очаги заболевания в этих областях.

12.4. Высокие статистические технологии 
в научных медицинских исследованиях

	Слепой метод. Базовая схема проведения научного медицинского эксперимента основана на сравнениях экспериментальной и контрольной групп до и после воздействия. Могут сравниваться новая методика лечения, применяемая в экспериментальной группе, с традиционной методикой в контрольной группе. В ряде случаев, например, при изучении эффективности нового препарата, пациенты в контрольной группе получают плацебо.
	Плацебо (placebo) - лекарственная форма, которую пациент не может отличить от исследуемого препарата (по внешнему виду, цвету, вкусу, запаху и т.п.). Однако плацебо не оказывает специфического действия. Например, в качестве плацебо используют таблетки глюкозы или инъекции изотонического раствора хлорида натрия (физиологического раствора). В качестве плацебо может использоваться иное безразличное вмешательство, «воздействие без действия». 
	Часто наблюдается «плацебо-эффект» - изменение состояния больного (отмечаемое самим больным или лечащим врачом), связанное с самим фактом лечения, а не с биологическим действием препарата. Например, плацебо, которое больной воспринимает как лекарство, уменьшает послеоперационную боль, тошноту и зуд более чем у 30% прооперированных больных [1]. Плацебо-эффект демонстрирует возможности воздействия психической сферы больного на течение заболевания и процесс лечения. Подобные эффекты наблюдаются не только в медицине, но и в других сферах деятельности, например, в менеджменте при управлении персоналом. Сам факт внимания к работницам со стороны исследователей может повысить производительность труда, независимо от того, обоснованы или нет предлагаемые исследователями изменения в организации производства.
	Таким образом, плацебо используется в научных медицинских исследованиях для имитации лечения с целью устранения систематической ошибки, порождаемой плацебо-эффектом. 
	Основная идея слепого метода. Итак, если больные, включенные в клинико-статистическое исследование, знают, кто из них какой вид лечения получает, их поведение может измениться и породить систематическую ошибку в итоговых научных выводах. Чтобы избежать этого эффекта, используют слепой метод (blinding). Более правильно было бы назвать его «методом масок» (masking), но термин «слепой метод» закрепился в массовом сознании медицинских работников.
	Выделяют пять условий, соблюдение которых позволяет во многом избавиться от нежелательных эффектов [1].
	1. Те, кто формирует выборку и распределяет пациентов по группам вмешательства (в базовом случае - направляет их в две группы, она из которых будет экспериментальной, а вторая - контрольной), не должны знать, какое лечение будет назначено каждому последующему больному, чтобы это не нарушало включение пациентов в исследование в порядке их поступления.
	2. Пациенты не должны знать, какое именно лечение они получают. Тогда менее вероятны нарушения схемы лечения, субъективность при описании своего состояния.
	3. Проводящие лечение врачи не должны знать, какое именно лечение назначено конкретному пациенту. Тогда не возникнут вызванные этим знанием различия в ведении больных. 
	4. Врачи-исследователи, оценивающие исходы лечения, не должны знать, какое лечение было назначено тому или иному пациенту.
	5. Специалисты по доказательной медицине, с помощью статистических методов сравнивающие исходы лечения в группах, не должны знать, какая из них экспериментальная, а какая - контрольная.
	Три основных слепых метода. Когда информация о реально используемом лечебном воздействии отсутствует только у пациента, говорят о простом слепом методе. Если также и у лечащих врачей и исследователей, оценивающих исходы, - о двойном слепом методе. Если рассматриваемой информации нет и у лиц, проводящих статистическую обработку результатов исследования, говорят о тройном слепом методе. Наиболее часто используется простой слепой метод, а в хорошо организованных исследованиях - двойной слепой метод.
	Почему необходимо скрывать от пациента информацию о реально используемом лечебном воздействии, ясно из проведенного выше обсуждения плацебо-эффекта. Врачи, имеющие эту информацию, могут неосознанно или осознанно использовать ее при ведении больных и оценке результатов лечения. Специалисты по статистическим методам могут при выборе статистических процедур проверки гипотез или, например, отбраковки выбросов «подыграть» энтузиастам нового способа лечения.
	Можно ли полностью реализовать слепой метод? Конечно, концепция слепого метода - это лишь идеальная схема. И пациенты, и врачи достаточно часто догадываются о реально используемом воздействии. Имеющий биологическое действие препарат с течением времени проявляет свой лечебный потенциал, а также обнаруживаются и побочные эффекты. И то, и другое осознается и пациентами, и врачами. Например, в [1] описано двойное слепое рандомизированное исследование, проведенное с целью выяснить, предотвращает ли прием пропранолола повторный инфаркт миокарда. После окончания исследования, но до раскрытия кодов, пациентов и медицинский персонал попросили назвать, принимал ли пациент пропранолол или плацебо. Среди пациентов, принимавших пропранолол, правильно ответили 80%, среди тех, кто принимал плацебо - 57%. Примерно такой же результат показали врачи и медицинские сестры. Медицинский персонал мог исходить из частоты пульса. На чем основывали свои догадки пациенты - неизвестно.
	Разработано много конкретных процедур организации научного медицинского исследования, реализующих основные идеи слепого метода. Конкретная применяемая процедура должна быть описана в документации исследования и в последующих публикациях.
	Рандомизация и стандартизация выборки. Как распределять больных по группам - экспериментальной и контрольной? Ясно, что если отнести тяжелых больных в экспериментальную группу, а легких - в контрольную, то исходы заболевания будут тяжелее, скорее всего, именно в экспериментальной группе. Поэтому для эксперимента в больничных условиях, как правило, нельзя формировать контрольную группу из пациентов поликлиники. Группы должны быть похожи по всем основным демографическим и клиническим характеристикам. Этого можно добиться, применяя специальную процедуру формирования групп - рандомизацию.
	Термин «рандомизация» происходит от «random» (англ.) - случайный. Следовательно, означает «внесение случайности». Точнее, рандомизация - это процедура, обеспечивающая случайное распределение больных в экспериментальную и контрольную группы. Случайным распределением достигается отсутствие различий между двумя группами и, таким образом, снижается вероятность систематической ошибки в клинических исследованиях вследствие различий групп по каким-либо признакам [1]. Рандомизация уравнивает вероятности воздействия на пациента не только тех факторов, которые, как мы предполагаем, могут влиять на итоговый результат лечебного воздействия, но и тех, о существовании которых мы даже не знаем.
	Варианты метода рандомизации. Каждый пациент должен иметь одинаковые шансы попасть в группу воздействия и в группу без него. Назначение исследуемого или контрольного лечения производится при помощи процедуры, аналогичной подбрасыванию монеты, обеспечивающей равные шансы (вероятности) попасть в ту или иную группы. В настоящее время для получения случайности используют датчики псевдослучайных чисел, которые имеются в стандартном программном обеспечении современных компьютеров. 
	Пусть, например, надо разделить 100 пациентов на экспериментальную и контрольную группы. Можно по поводу каждого подбрасывать монетку (или генерировать случайное число с помощью ЭВМ), чтобы решить, в какую группу отнести. Если выпадает орел, то в экспериментальную группу, если цифра - то в контрольную. 
	Однако при этом численность экспериментальной группы будет случайной. Она имеет биномиальное распределение с параметрами n = 100 и p = 0,5. Стандартное отклонение (в другой терминологии - среднее квадратическое отклонение) численности экспериментальной группы от математического ожидания, равного 50, равно 5. И случайность численности групп, и возможное различие в объемах (на 10-15 человек, например, 43 в экспериментальной группе и 57 - в контрольной) - явные недостатки этого простого метода рандомизации.
	Часто используют более сложные процедуры, обеспечивающие получение групп заданных численностей. Например, для этого с помощью датчика псевдослучайных чисел отбирают выборку объема 50 из генеральной совокупности 100 номеров - натуральных чисел от 1 до 100. Номера, вошедшие в выборку - это номера пациентов, включенных в экспериментальную выборку. Остальные 50 номеров соответствуют больным из контрольной выборки.
	Описанный способ разделения пациентов на группы также имеет некоторые недостатки. Пусть, например, в генеральной совокупности 50 мужчин и 50 женщин. Число мужчин в экспериментальной группе является случайным и с большой вероятностью (точнее, с вероятностью 0,89) отличается от 25. Это число имеет биномиальное распределение с параметрами n = 50 и p = 0,5. Стандартное отклонение числа мужчин от математического ожидания, равного 25, составляет 3,54. Такой разброс может показаться излишне большим. Можно ли сравнивать группы, полагая их состав одинаковым, если в одной из них 38% мужчин, а во второй - 62%?
	Поэтому применяют еще более сложные схемы рандомизации. Например, подбирают экспериментальную и контрольную группы так, чтобы они не только совпадали по численности, но и имели ровно по 25 мужчин и по 25 женщин. В теории выборочных исследований такие заранее заданные условия называют квотами. Разделить случайным образом 100 пациентов на две группы по 50 человек, соблюдая квоты, также можно с помощью датчиков псевдослучайных чисел, хотя это и сложнее, чем в предыдущем случае. 
	Другой недостаток квотного подхода к разделению заданного числа пациентов на две группы в том, что эти группы нельзя рассматривать как независимые выборки. Например, численности мужчин в экспериментальной и контрольной группах соответственно нельзя рассматривать как независимые случайные величины, поскольку сумма этих численностей заранее известна. Следовательно, нельзя обрабатывать собранные в ходе исследования данные с помощью методов, опирающихся на модель двух независимых выборок (см. раздел 12.3 выше). Чтобы избежать этого недостатка, отбор пациентов в группы иногда проводят в два этапа. На первом формируют две совокупности кандидатов на участие в исследовании, отдельно для участия в экспериментальной группе и отдельно - в контрольной. А затем отбирают из них выборки «основного состава» групп. 
	Дополнительная проблема состоит в том, что за время исследования группы, как правило, сокращаются (см. раздел 12.3 выше). Тут-то могут оказаться полезными «кандидаты». Они могут быть переведены в «основной состав». Таким образом, начинать исследование целесообразно с несколько большим числом пациентов в группах, чем планируется закончить.
	Стратификация и стандартизация. Однако по тем или иным причинам не всегда удается с помощью рандомизации выровнять состав групп. Возникает мысль провести «ремонт» выборок, чтобы они больше походили друг на друга. В научных медицинских исследованиях применяют метод «стандартизации выборок». Его применение не обязательно связано с формированием экспериментальной и контрольной групп. Рассмотрим основные идеи метода стандартизации выборок на примере из [1].
	Пример 1. Пусть требуется сравнить послеоперационную летальность при операции аортокоронарного шунтирования в больницах А и Б. Всего в больнице А отмечено 48 смертей на 1200 операций (4%), а в больнице Б - 64 смерти на 2400 операций (2,6%). Судя по этому огрубленному показателю - проценту послеоперационной летальности по больнице в целом, - больница Б лучше больницы А. 
	Однако такой вывод был бы преждевременным. Вполне возможно, что совокупности пациентов двух больниц различаются по исходному состоянию, а потому и по прогнозу, а затем - и по частоте тех или иных исходов. Как учесть возможное исходное различие? Обычно проводят стратификацию - на основании возраста, функции миокарда, степени стеноза и других характеристик разделяют (стратифицируют) пациентов на группы (страты) с разным дооперационным риском (табл. 12.1), а затем сравнивают послеоперационную летальность в пределах каждой подгруппы.

Таблица 12.1
Пример стратификации: летальность в двух больницах
с учетом дооперационного риска
Доопера-ционный риск	Больница А	Больница Б	
	Число боль-ных	Число летальных исходов	Леталь-ность, %	Число боль-ных	Число летальных исходов	Леталь-ность, %	
Высокий	500	30	6	400	24	6	
Средний	400	16	4	800	32	4	
Низкий	300	2	0,67	1200	8	0,67	
Всего	1200	48	4	2400	64	2,6	
 
	После того как пациенты были разделены по дооперационному риску, послеоперационная летальность оказалась одинаковой для двух больниц: 6,0, 4,0 и 0,67% для пациентов с высоким, средним и низким риском соответственно. 
	Почему же общая смертность в больнице Б заметно меньше? Ответ очевиден - характеристики пациентов в двух больницах существенно различались. Высокий дооперационный риск имели 42% пациентов в больнице А и только 17% пациентов в Б. С низким риском, наоборот, пролечены 25% больных в больнице А и 50% - в больнице Б.  
	Рассмотренный пример показывает, что стратификация - действенный прием борьбы с поспешными выводами. Однако стратификация - только первый этап анализа. В примере он оказался достаточным, поскольку столбцы, описывающие летальность в зависимости от уровня риска, оказались одинаковыми для двух больниц. А как же сравнивать между собой больницы, у которых эти столбцы различны?
	Основная идея состоит в пересчете на стандартную популяцию, короче, в стандартизации выборки. Распределения пациентов по степени дооперационного риска в двух больницах различны, поэтому надо перейти к некоторому единому распределению, к стандартной популяции.  
	Один из простейших способов выбора стандартной популяции - построение ее как объединения совокупностей пациентов рассматриваемых больниц. В табл. 12.2 приведены данные о стандартной популяции, полученной путем объединения популяций для больниц А и Б (табл. 12.1) и больницы В, данные о которой приведены в той  же таблице. 

Таблица 12.2
Переход к стандартной популяции
Доопера-ционный риск	Стандартная популяция	Больница В	
	Число боль-ных	Число летальных исходов	Леталь-ность, %	Число боль-ных	Число летальных исходов	Леталь-ность, %	
Высокий	1700	94	5,5	800	40	5	
Средний	2000	80	4	800	32	4	
Низкий	2300	18	0,78	800	8	1	
Всего	6000	192	3,2	2400	80	3,3	

	Метод стандартизации (перехода к стандартной популяции) состоит в расчете средневзвешенных показателей, в которых летальность по группам риска (по стратам) берется соответствующей рассматриваемому лечебному заведению, а веса групп риска - согласно стандартной популяции. Так, согласно табл. 12.2 вес страты с высоким дооперационным риском равен 1700/6000 = 0,283, вес страты со средним дооперационным риском - 2000/6000 = 0,333, вес страты с низким дооперационным риском - 2300/6000 = 0,384. Следовательно, средневзвешенный показатель  смертности для больниц А и Б равен
6×0,283+4×0,333+0,67×0,384 = 1,698+1,332+0,257 = 3,287 (%),
а для больницы В аналогичный расчет дает 
5×0,283+4×0,333+1×0,384 = 1,415+1,332+0,384 = 3,131 (%).
Таким образом, по рассматриваемому показателю больница В имеет преимущество - для нее смертность меньше на 0,156% по сравнению с больницами А и Б. 
	Проведенные расчеты дают возможность выделить вклад различных страт в средневзвешенный показатель. Так, для больниц А и Б вклад страты больных с высоким риском составляет 1,698, а для больницы В меньше - 1,415, поскольку смертность для этой категории больных в ней не 6, а 5%. В соответствии с приведенными численными данными страта больных с высоким риском дает примерно половину смертности, хотя такие больные составляют 28% по численности.  
	Стандартизацию можно рассматривать как метод «лечения» выборки, позволяющий скорректировать численности тех или иных страт выборки (например, страт по возрасту и полу) в соответствии с тем, как эти страты представлены в более широкой («стандартной») популяции (например, в населении региона). 
	Медицинские информационные системы. Развитие компьютерной науки и техники дало в руки врачей исследователей мощные интеллектуальные инструменты - информационные технологии. В каждом современном лечебном заведении работает медицинская информационная система (МИС). Она, конечно, используется для управления больницей или поликлиникой, но не только для этого.
	Сведения о больном естественно хранить не на страницах бумажной истории болезни, а в памяти компьютера. Кроме вносимых с клавиатуры текстов, туда могут в автоматическом режиме поступать сведения о результатах анализов и исследований. Для этого необходимы соответствующие программные продукты, обеспечивающие, в частности, ведение автоматизированной истории болезни. А также компьютерная сеть, объединяющая различные подразделения лечебного заведения. Отметим пользу электронного документооборота, во многом снимающего с врача нагрузки на ведение медицинской документации. В частности, основные (по размеру) разделы выписок из историй болезни могут быть составлены автоматически. 
	Роль МИС в исследованиях. Компьютерные информационные технологии во многом облегчают проведение научных медицинских исследований. Выделим два этапа:
	1. Сбор и систематизация исходных данных о пациентах. 
	2. Анализ медицинских данных с помощью различных статистических методов. 
	Первый этап обычно реализуется с помощью баз данных  различных типов, входящих в состав медицинских информационных систем. Для конкретного научного медицинского исследования производят «выемку» соответствующей информации из баз данных общего назначения. Если, конечно, значения всех необходимых показателей уже введены. В противном случае в МИС включаются новые показатели, затем начинается сбор соответствующих данных. В технологии проведения ретроспективных научных медицинских исследований благодаря использованию МИС ликвидируется этап извлечения информации из историй болезни.
	Методам анализа медицинских данных с помощью различных статистических методов посвящена следующая глава. Современные информационные технологии позволяют легко и быстро проводить многочисленные сравнения групп между собой, находить связи и зависимости между показателями, строить правила диагностики и прогноза. 
	Проблема множественных сравнений. Однако в легкости проведения расчетов таятся и опасности получения необоснованных выводов. Одна из наиболее известных опасностей именуется «проблемой множественных сравнений» [1, с.247-249]. Она давно известна и в других областях знаний под названием «проблема множественных проверок статистических гипотез» (см. разд. 4.5 выше).
	Чтобы дать представление о проблеме, рассмотрим пример [1]. Допустим, что выполнено масштабное клинико-статистическое исследование с большим числом подгрупп пациентов и различными исходами заболевания. В частности, это могло быть клиническое испытание эффективности лечения ишемической болезни сердца, в которое было включено несколько разных групп больных. Выделялись группы с поражением одной, двух или трех коронарных артерий; с нарушениями ритма сердца и без них; с нарушением и без нарушения функции левого желудочка. Всего групп с различными сочетаниями этих состояний имеется, как следует из правил комбинаторики, 3 × 2 × 2 = 12. Рассматривалось несколько исходов (смерть, инфаркт миокарда, стенокардия). Предположим, что эффективность лечения оценивается отдельно для каждой подгруппы и каждого исхода. Фактически это означает, что подгрупп имеется 12 × 3 = 36 (т.е. столько, сколько сочетаний группа × исход). И каждая подгруппа сравнивается с каждой. Таким образом, всего проводится (36 × 35)/2 = 630 сравнений, т.е. 630 проверок статистических гипотез.
	Для выявления сути дела предположим, что в действительности не существует связи между различными видами лечения и исходами в любой из подгрупп. На языке статистических методов это означает, что в действительности во всех описанных выше 630 задачах сравнения выполнена нулевая гипотеза. Если, как это принято в научных медицинских исследованиях, гипотезы проверяются на уровне значимости 0,05, то в среднем в 5% случаев нулевая гипотеза отклоняется, принимается альтернативная - о наличии эффекта, хотя на самом деле эффекта нет. При 630 сравнениях в 5% случаев, т.е. примерно в 630×0,05 = 31 сравнении будет сделан ложный вывод о наличии эффекта. Если уровень значимости уменьшен до минимального из реально используемых значений, т.е. до 0,01, то число ложных заключений о наличии эффекта уменьшится примерно до 6. 
	Таким образом, при большом числе сравнений для некоторых из них просто вследствие случайности значения статистических критериев превысят критические значения, что приводит к заключению о наличии связей, даже если на самом деле связей между переменными не существует. Чем больше проводится сравнений, тем выше вероятность ложного выявления якобы статистически значимых различий, и тем больше число ошибочно выявленных связей.
	Этот феномен и называется проблемой множественных сравнений (или множественных проверок). Следовательно, доказательность выводов клинико-статистических исследований зависит от того, планировалось ли до начала исследования проведение сравнений, описанных в публикации, или же опубликованные сравнения - те, в которых формально выявлено различие (обнаружена связь), из сотен и тысяч сравнений, проведенных при анализе данных.
	К сожалению, из публикуемых результатов исследований не всегда можно узнать, сколько в действительности сделано сравнений. Часто важные находки отбираются среди большого числа сравнений, не приведших к обнаружению связи. 
	При подготовке результатов научного медицинского исследования к публикации, естественно, происходит отбор материала. Из большого объема результатов применения статистических методов для анализа конкретных медицинских данных авторы отбирают для публикации лишь наиболее интересные. Субъективное принятие решений о том, какие из проведенных расчетов важны, а какие нет, может привести к значительному искажению действительности. «Находки», отобранные для публикации среди массы результатов проверок статистических гипотез, приведших к заключению об отсутствии эффектов (связей), могут не подтвердиться при проведении дальнейших исследований. В рассмотренном выше примере следует ожидать обнаружения примерно 30 (при уровне значимости 0,05) или 6 (при уровне значимости 0,01) связей. Все они - ложные, будут отклонены при дальнейших исследованиях. Хорошо это или плохо для авторов гипотетического исследования, рассмотренного в примере?
	Феномен множественных проверок важно учитывать не только при попарном сравнении большого числа групп и подгрупп. Он встречается и при применении многих других статистических методов доказательной медицины. Например, при выявлении множества информативных признаков в задачах регрессионного и дискриминантного анализов (т.е. при восстановлении зависимостей и построении правил диагностики). А также при анализе таблиц сопряженности, когда формально строят т.н. детерминации, т.е. находят такие наборы значений признаков, в которых конкретные принимаемые значения одних признаков полностью определяют значения других признаков (естественно, при фиксированных исходных данных). Пример детерминации: рыжий мужчина в возрасте 20 - 29 лет, инвалид, с легочной патологией и родовой травмой, обязательно является наркоманом. Казалось бы, интересная «находка». Однако если оказывается, что таких мужчин в выборке из 1000 человек всего двое, интерес к «находке» сразу снижается.
	Доказательная медицина и МИС. Как подробно обосновано в разделах 12.1 и 12.2, современная доказательная медицина немыслима без интенсивного использования информационных компьютерных технологий и медицинских информационных систем. Только с их помощью можно отслеживать течение заболеваний у тысяч больных, оценивать риски, строить диагностические и прогностические правила, применять продвинутые статистические методы и разрабатывать математические модели медико-биологических явлений и процессов. 
	МИС - инструмент врача-исследователя. Как и всякий инструмент, он имеет достоинства и недостатки. О достоинствах сказано много. К недостаткам относится, например, то, что до сих пор не решена проблема множественных сравнений. 
	Иногда надеются, что МИС - в форме т.н. «экспертных систем» - смогут заменить врача. Это - утопия. Изложим соображения по этому поводу академика РАН Д.А. Поспелова [7].
	Классический подход в направлении исследований, известном как «искусственный интеллект», породил идею разработки «экспертных систем» (один из видов программных продуктов) в области медицины. Важная их составляющая - схемы вывода новых истинных утверждений из базовых, играющих роль аксиом, и ранее полученных утверждений. Схемы вывода предполагалось формулировать на основе опыта врачей, а в качестве исходных данных использовать информацию, полученную от пациентов, и результаты измерений и анализов. Была надежда, что экспертные системы смогут ставить диагнозы и назначать лечение.
	Но уже к середине 1970-х гг. постепенно выясняется, что классических логических моделей и схем вывода явно не хватает для того, чтобы строить достаточно богатые и практически значимые интеллектуальные системы. Логический подход в его классической форме требовал для каждой предметной области, в частности, для кардиологии или пульмонологии, наличия полного перечня исходных положений, которые можно было бы считать аксиомами этой предметной области. Их существование (сюда естественно включаются и априорно задаваемые правила вывода) обеспечивало замкнутость используемых моделей, позволяло ставить и решать круг проблем, связанных с полнотой, результативностью и непротиворечивостью используемых моделей и процедур.
	Однако конкретные предметные области, в которых стремился действовать искусственный интеллект, оправдывая свою практическую значимость, в подавляющем большинстве случаев не давали возможностей построения аксиоматических систем. Знания о предметных областях, как правило, были неполными, неточными и лишь правдоподобными. Это приводило к различным нежелательным эффектам: сбоям в процессах получения результатов, возникновению фальсификатов ранее полученных утверждений, быстрому снижению достоверности утверждений, получаемых в результате последовательного процесса логического вывода.
	Так возникла проблема замены формальной системы с присущими ей процедурами дедуктивного вывода иной, столь же мощной моделью, где отражались бы основные особенности поиска решения в плохо определенных предметных областях, которые описываются как открытые системы с обновляемыми знаниями об их строении и функционировании.
	С конца 70-х гг. XX-го века старая парадигма, опирающаяся на идею строгого логического вывода, начинает постепенно сменяться новой парадигмой, провозглашающей, что основной операцией при поиске решения должна быть правдоподобная аргументация. Однако, в отличие от завершенной структуры логического вывода, до сих пор не существует столь же стройной, научно разработанной теории правдоподобной аргументации. Хорошо известные специалистам эффекты, связанные с появлением парадоксов при рассуждениях, показывают, что переход к более богатой по сравнению с моделью логического вывода модели правдоподобной аргументации неизбежно приводит к большому количеству новых проблем, связанных с обоснованием подобной модели и изучением ее особенностей. По мнению Д.А.Поспелова [7], в ближайшие десятилетия усилия многих специалистов сосредоточатся именно в этой области исследований.
	Таким образом, в настоящее время экспертные системы не могут претендовать на самостоятельное участие в процессе ведения больных. Исключением могут быть ситуации, когда врач недоступен - на корабле в открытом море, в отдаленном населенном пункте и т.п. Главное сейчас, как и раньше - знания и интуиция врача. А МИС и, в частности, экспертные системы, лишь помогают ему. Однако потенциальные возможности этих помощников весьма велики, и современный врач должен постоянно и умело пользоваться медицинскими информационными системами. 
	Анализ медицинских данных как научное направление – это применение статистических методов в медицине, прежде всего в научных медицинских исследованиях. Можно сравнить с эконометрикой – применением статистических методов в экономике и менеджменте. Как и в других научных областях, базовую роль играет описание медицинских данных, измеренных в тех или иных шкалах (о теории измерений см. раздел 11.3). Инструменты статистического описания данных, рассмотренные в главе 2 (таблицы, диаграммы, графики и др.), зачастую позволяют сформулировать основные выводы исследования, которые затем подтверждаются методами оценивания и проверки гипотез. Примером являются проведенные нашим научным коллективом работы, посвященные клинико-статистическому анализу результатов лечения больных острой пневмонией. 
	Какие статистические методы наиболее часто используются при анализе медицинских данных? Судя по наукометрическому анализу публикаций, проведенному в работах [4, 8], второе место по распространенности после методов описания данных занимают методы интервального оценивания доли, сравнения долей (глава 1), проверки однородности независимых и связанных выборок (глава 5).
	На третьем месте - изучение связи между признаками с помощью коэффициентов корреляции и регрессионного анализа (глава 6). К сожалению, не всегда осознается принципиальная разница между активным и пассивным экспериментом. Принципиально важно, что активный эксперимент предполагает проведение измерений при специально выбранных (согласно плану эксперимента) значениях факторов, а потому позволяет предсказывать результаты лечебных воздействий. В то время как при пассивном эксперименте исследователь не вмешивается в ход процесса, он может прогнозировать его течение, но не может ничего сказать о результатах воздействия на процесс, поскольку не в состоянии изучить его внутренний механизм. 
	Отметим дискриминантный анализ, т.е. математические и статистические методы диагностики заболеваний, и кластер-анализ, позволяющий выделять варианты течения заболевания (глава 6). Анализ временных рядов (главы 7 и 9), в том числе методы обнаружения разладки (глава 10), применяют при изучении динамики характеристик, описывающих состояние пациента, например, при электрокардиографии (ЭКГ). Для обработки т.н. топокарт, получаемых при одновременном получении ЭКГ со многих отведений, необходимы методы статистики нечисловых данных, прежде всего статистики случайных множеств. Перспективны методы математического, в том числе вероятностно-статистического, моделирования функционирования различных структур человеческого организма. В качестве примера назовем разаработанную нашим научным коллективом математическую модель роли концентрирующей функции почки в патогенезе хронической артериальной гипертензии.
	Индивидуальные и коллективные экспертные оценки (глава 11) широко используются как в научных медицинских исследованиях, так и при управлении ими. 
	На основе практического опыта можно констатировать: статистические методы - неотъемлемая часть инструментария врача-исследователя, причем эта часть непрерывно расширяется и усовершенствуется [8, 9]. Практически все методы современной прикладной статистики [18] могут быть с успехом использованы в научных медицинских исследованиях. Более того, основанная на использовании высоких статистических технологий доказательная медицина основана на принципиально новой парадигме врачебного мышления [1]. Компьютеры, информационные технологии и статистические методы – надежные помощники врачей. Однако никогда формальные расчеты не смогут заменить людей при принятии решений (хотя современную теорию принятия решений [10] необходимо использовать в медицине, как и во всех иных областях деятельности). Ответственность – всегда лежит на враче!

Литература

1. Флетчер Р., Флетчер С., Вагнер Э. Клиническая эпидемиология: основы доказательной медицины.- М.: Медиа Сфера, 1998. - 352 с.
2. Власов В.В. Введение в доказательную медицину. - М.: Медиа Сфера, 2001. - 392 с.
3. Голдстейн М. и Голдстейн И.Ф. Как мы познаем. Исследование процесса научного познания. Сокр. пер. с англ. - М.: Знание, 1984. - 256 с. 
4. Новиков Д.А., Новочадов В.В. Статистические методы в медико-биологическом эксперименте (типовые случаи). - Волгоград: Издательство ВолГМУ, 2005. – 87 с.
5. Орлов А.И. Эконометрика. Учебник для вузов. Изд. 3-е, исправленное и дополненное. - М.: Экзамен, 2004. – 576 с.
6. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1983. - 416 с.
7. Поспелов Д.А. Десять «горячих точек» в исследованиях по искусственному интеллекту // Интеллектуальные системы (МГУ). – 1996. – Т.1. - Вып.1-4. – C.47-56.
8. Орлов А.И. О применении статистических методов в медико-биологических исследованиях // Вестник Академии медицинских наук СССР. - 1987. - №2. - С.88-94.
9. Орлов А.И. О некоторых математических задачах, возникающих при обработке медицинских данных // Статистика. Вероятность. Экономика. / Ученые записки по статистике. - Т.49. - М.: Наука, 1985. - С.323-326.
10. Орлов А.И. Теория принятия решений. – М.: Экзамен, 2006. – 576 с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Почему доказательная медицина невозможна без интенсивного использования высоких статистических и информационных технологий?
2. Какие варианты слепого метода Вы знаете? 
3. Является ли обоснованным использование критерия Стьюдента для проверки наличия эффекта?
4. В каких случаях использование критерия Стьюдента не приводит к ошибочным заключениям?
5. Пусть в 2006 г. на территории Ярославской области было выявлено 175 случаев определенного заболевания, а в 2003 г. - 247 случаев. Можно ли объяснить это различие случайными причинами?
6. Почему необходима стандартизация выборки?

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1. Сопоставьте традиционные научные медицинские исследования и работы по доказательной медицине.
2. Информационные технологии в доказательной медицине.
3. Методы обнаружения эффекта при сравнении независимых и связанных выборок.
4. Статистические методы диагностики.
5. Экспертные системы в медицине.
6. Статистические методы анализа топокарт.
7. Методы оценивания характеристик распределения по стандартизованной выборке.

Глава 13. Статистические методы в социологии

	Социология (от лат. societas, т.е. общество, и греч. logos, т.е. учение) - наука, изучающая общество. Среди общественных отношений важное место занимают экономические. Изучение предпочтений потребителей входит в состав маркетинговых исследований, поэтому не удивительно, что социологии относят маркетинг к сфере своих профессиональных интересов. Обращает на себя внимание общность методов, применяемых социологами и маркетологами – выборочные исследования (см. главу 1), экспертные оценки (см. главу 11). Впрочем, те же статистические методы используются и в медицинских научных исследованиях (см. главу 12), и в психологии, и во многих иных областях.  
	В социологических исследованиях применяются различные статистические методы и модели анализа данных. После анализа динамики развития статистического инструментария социологов кратко рассмотрим применение теории люсианов для анализа дихотомических данных. Сколько градаций признаков надо использовать в анкетах? Ответ можно получить с помощью методов анализа сгруппированных данных и принципа уравнивания погрешностей. В качестве следствия получаем полезные выводы для теории управления запасами (см. раздел 8.3). Методы  социометрии рассматриваем применительно к управлению малыми группами. Прикладные вопросы обсуждаются в разделах, посвященных анализу данных о научных организациях и маркетингу образовательных услуг (на примере Вечерней математической школы при Московском математическом обществе). 

13.1. Развитие статистического инструментария социологов

	Российская социология бурно растет по всем количественным параметрам. Если в 1989 г. в России было 6 социологических факультетов, отделений, кафедр, то в 2003 г. - уже 105. Число студентов-социологов выросло более чем в 100 раз. Во всех вузах преподают социологию (она вошла в перечень «Общих гуманитарных и социально-экономических дисциплин» государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования). Издается более 20 социологических журналов. Каждый год ВАК утверждает около 50 докторских диссертаций по социологии.
	Очевидно, глубину исследованиям придает использование развитого научного аппарата - методологии и методов сбора и анализа данных, математических моделей. Принципиальный прорыв осуществлен в нашей стране в 1970-е гг. Именно тогда в арсенале отечественных социологов появились теория измерений и нечеткие множества, математические методы классификации и многомерное шкалирование, непараметрическая статистика и статистика нечисловых данных. 
	В дальнейшие десятилетия шло естественное развитие научного аппарата. К сожалению, нельзя сказать, что в последние годы темпы этого развития усилились. Действующие лица 1970-х гг. выпустили учебники, но поток научных результатов в области математических методов в социологии не расширился по сравнению с 1970-ми - периодом «бури и натиска». Из этого следует, что публикации тех лет отнюдь не устарели, они представляют большой интерес для статистиков, социологов и маркетологов XXI века.  
	Итак, социология бурно развивается вширь, но весьма медленно - вглубь. Это вполне естественно. Прочитав в 1970 г. популярную книгу В.Э. Шляпентоха [1], автор настоящего учебника провел свое первое полевое исследование. Несмотря на простоту статистического инструментария, оно позволило решить управленческие задачи, стоявшие перед автором как директором Вечерней математической школы (ВМШ) при Московском математическом обществе. Итоги многолетней деятельности в ВМШ по маркетингу образовательных услуг подведены в монографии [2]. И сейчас наши ученики-маркетологи, готовя выпускные работы на степень магистра делового администрирования, обходятся полевыми исследованиями на столь же простом уровне (см. описание исследования «Потребители растворимого кофе» в главе 1 выше). 
	И лишь постепенно практики приходят к необходимости применять более сложные методы. Например, в крупном маркетинговом агентстве, опрашивающем за год около 0,5 млн. потребителей, в котором автор этих слов работал консультантом, создан специализированный отдел обработки данных, сотрудники которого ежедневно применяли различные алгоритмы статистической обработки данных, в частности, включенные в известный пакет SPSS. 
	Как показывает анализ тезисов докладов и выступлений на II Всероссийском социологическом конгрессе «Российское общество и социология в XXI веке: социальные вызовы и альтернативы», большинство участников конгресса не проводит полевых исследований и не испытывает потребности в применении математических и статистических методов. Такие методы необходимы для продвинутых социологических исследований. Очевидно, с укреплением социологических центров в них возникают подразделения анализа данных, которые сначала пользуются стандартными статистическими пакетами, а затем востребуют и современные методы. 
	В социологии с успехом используются различные методы анализа данных и разнообразные математические модели. Обсудим развитие методов обработки данных в отечественных социологических исследованиях за последние тридцать лет.
	Математические методы выборочных исследований. Выборочные исследования – один из основных инструментов социологов. Для переноса выводов с выборки на всю интересующую исследователя совокупность необходимо использовать вероятностно-статистические методы и модели. Уже в 1970-х гг. в нашей стране активно разрабатывались продвинутые математические и статистические методы анализа данных социологических опросов. Отметим, что работы тех уже далеких лет, как правило, отнюдь не устарели и по-прежнему представляют интерес для специалистов по анализу социологических данных и математическому моделированию социальных процессов. Однако за тридцать прошедших лет в некоторых направлениях удалось существенно продвинуться. Основное содержание настоящего раздела - обсуждение развития ориентированных на социологию статистических методов и моделей за последние тридцать лет в нашей стране.
	Одни и те же математические и статистические методы и модели могут с успехом применяться в самых разных областях науки и практики. Статистические методы и модели весьма эффективны в социологических, социально-экономических, управленческих, технических и технико-экономических исследованиях, медицине, истории, практически в любой прикладной отрасли и области знания. Очевидна связь между исследованиями, выполненными в рамках различных дисциплин. Например, на Втором Всероссийском социологическом конгрессе (2003) активно обсуждалась такая традиционно экономическая тематика, как маркетинговые и инновационные исследования. Однако для специалиста вполне естественным является желание «замкнуться» внутри своей предметной области. Например, довольно странным выглядело бы предложение о преподавании на социологическом факультете в соответствии с учебником по эконометрике. Удивление значительно возросло бы при констатации того, что этот учебник составлен в основном из статей, опубликованных в журнале «Заводская лаборатория» (в прошлом – орган Министерства черной металлургии). Действительно, есть ли что-либо общее у инженера-металлурга, менеджера, экономиста и социолога? Необходимо известное интеллектуальное развитие, чтобы понять, что все эти специалисты могут использовать одни и те же инструменты исследования – статистические методы и модели.
	В рассматриваемой области основное событие последних тридцати лет – это становление научно-практической дисциплины «прикладная статистика», посвященной разработке и применению статистических методов и моделей (см. главу 15 ниже). На Западе аналогичный процесс начался несколько раньше и протекает иначе из-за сложившихся традиций и отличия научно-организационных форм.
	В статье [3] мы рассмотрели развитие идей и научной области, а не персоналии. В краткой, но весьма содержательной сводке [4] описаны основные научные результаты большого числа отечественных исследователей в области статистических методов анализа социологических данных, названы основные исследовательские коллективы Москвы, Петербурга, Новосибирска и многих иных городов, приведена обширная библиография (119 названий). Подробное же описание требует серии книг, а не статьи.
	Специфика социологических данных. В социологии велика доля нечисловых данных. Среди измеряемых факторов от 70% до 90% и более составляют факторы, имеющие нечисловую природу. Примерами нечисловых данных являются:
	- значения качественных признаков, т.е. результаты кодировки объектов (например, ответов на вопросы социологической анкеты) с помощью заданного перечня категорий (градаций); 
	- результаты парных сравнений, т.е. последовательности из 0 и 1; 
	- результаты множественных сравнений и бинарные отношения - упорядочения (ранжировки), классификации (отношения эквивалентности), толерантности, 
	- множества (обычные или нечеткие), 
	- слова, предложения, тексты;
	- векторы, координаты которых - совокупность значений разнотипных признаков, часть из них носит качественный характер, а часть – количественный;
	- ответы на вопросы экспертной, маркетинговой или социологической анкеты, часть из которых носит количественный характер (возможно, интервальный), часть сводится к выбору одной из нескольких подсказок, а часть представляет собой тексты; и т.д.
	Все эти виды нечисловых данных (и многие другие) используются при проведении социологических и маркетинговых исследований. В частности, необходимость обрабатывать результаты измерений в шкалах, отличных от абсолютной (прежде всего в номинальной и порядковой шкалах), объясняет важную роль теории измерений (см. разд. 11.3) в социологии. Большое значение имеет выбор методов обработки данных, адекватных используемым шкалам измерения. Так, в разд. 11.3 построена теория, связывающая способы усреднения данных со шкалами измерения. 
	Ясно из сказанного, что для социологии определяющее значение имеют методы статистического анализа нечисловых данных. В течение 70-х гг. на основе запросов социологии, экономики, техники и медицины развивались конкретные направления статистики объектов нечисловой природы. Были установлены связи между конкретными видами таких объектов, разработаны для них вероятностные модели. Научные итоги этого периода подведены в монографии [5]. Следующий этап (80-е гг.) - выделение статистики нечисловых данных в качестве самостоятельного направления в прикладной статистике. Предварительные итоги были подведены в сборнике научных статей [6], полностью посвященном статистике нечисловых данных. Этот сборник подготовлен комиссией «Статистика нечисловых данных» Научного совета АН СССР по комплексной проблеме «Кибернетика» и Институтом социологии АН СССР.
	К 1990-м годам статистика нечисловых данных с теоретической точки зрения была достаточно хорошо развита, основные идеи, подходы и методы были разработаны и изучены математически, в частности, доказано достаточно много теорем. Наступило время перейти к применению полученных результатов на практике. Одним из примеров такого применения являются работы по социологии науки (см. раздел 13.5 ниже). Современное состояние статистики нечисловых данных отражено в монографии [7]. 

13.2. Перспективы применения люсианов в социологии

	Среди перспективных для социологии статистических методов выделяется по своей практической значимости статистика нечисловых данных, поскольку полученная от респондентов или экспертов информация часто носит нечисловой характер [6, 7]. Частью статистики нечисловых данных является теория люсианов. 
	Наиболее простой (по форме) вопрос к респонденту или к эксперту - это вопрос, на который возможны лишь два ответа - «да» или «нет». В вероятностной модели ответ на такой вопрос описывается испытанием Бернулли, т.е. случайной величиной, принимающей два значения, для определенности, 1 и 0. Событие, которому соответствует ответ, обозначенный как 1, условно называется «успехом». Распределение испытания Бернулли описывается одним числом - вероятностью успеха.
	При опросе респондентов и при проведении экспертного опроса задают не один вопрос, а несколько. Пусть на каждый из них возможны лишь два ответа. Тогда совокупность ответов кодируется последовательностью из 1 и 0. Ясно поэтому, что среди вероятностно-статистических методов анализа социологических данных центральное место должны занимать методы теории люсианов. 
	Люсианы - это конечные (длины k) последовательности независимых испытаний Бернулли с, вообще говоря, разными вероятностями успеха [7]. Распределение люсиана A задается вектором параметров P = (p1, p2..., pk), где pi - вероятность того, что i-я координата люсиана А равна 1 (и с вероятностью 1 - pi она равна 0), i  = 1, 2, ..., k. 
	В теории люсианов центральное место занимают методы проверки трех гипотез - согласованности, однородности и независимости [7]. 
	Пусть A1, A2, ..., As - независимые (между собой) люсианы с векторами параметров Р1, Р2, ..., Рs соответственно. Гипотезой согласованности люсианов называют гипотезу 
Р1 = Р2 = ...= Рs.
	Случайные толерантности - частный случай люсианов [5, 7]. Для других видов бинарных отношений, широко используемых в экспертных технологиях, - ранжировок и разбиений - под согласованностью понимают более частную гипотезу, предполагающую отрицание равномерности распределений (т.е. одинаковой вероятности появления каждой возможной ранжировки или разбиения), что соответствует замене гипотезы согласованности на гипотезу равномерности 
Р1 = Р2 = ...= Рs = (1/2, 1/2, ..., 1/2).
	Гипотеза согласованности, очевидно, более адекватна конкретным задачам обработки данных опросов или экспертных оценок, чем гипотеза равномерности. Поэтому реальные данные, обычно содержащие противоречия, целесообразно рассматривать как люсианы и проверять гипотезу согласованности, а не подбирать ближайшие ранжировки или разбиения с дальнейшей проверкой согласованности методами теории случайных ранжировок или разбиений, как иногда рекомендуется. 
	Пусть A1, A2, ..., Am и B1, B2, ..., Bn - независимые в совокупности люсианы длины k, одинаково распределенные в каждой группе с параметрами Р(А) и Р(В) соответственно. Гипотезой однородности называют гипотезу
Р(А) = Р(В).
	Пусть (Ai, Bi), i = 1. 2, ..., s - последовательность (фиксированной длины) пар люсианов. Пары предполагаются независимыми между собой. Требуется проверить гипотезу независимости Ai и Bi, т.е. независимость внутри пар. В ранее введенных обозначениях гипотеза независимости - это гипотеза 
P(Xij(A) = 1, Xij(B) = 1) = P(Xij(A) = 1)P(Xij(B) = 1), где i = 1, ..., s; j = 1, ..., k,
проверяемая в предположении 
Р1(А) = Р2(А) = ... = Рs(А), Р1(B) = Р2(B) = ... = Рs(B).
	В последние десятилетия (с начала 70-х гг.) в прикладной статистике все большее распространение получают постановки, в которых число неизвестных параметров растет вместе с объемом выборки. Результаты, полученные в подобных постановках, называют найденными «в асимптотике растущей размерности» или «в асимптотике А.Н.Колмогорова», перенося терминологию исследований по дискриминантному анализу на общий случай. Эта асимптотика естественна при обработке многих видов технических, организационно-экономических, социологических, медицинских данных. В теории люсианов используем асимптотику растущей размерности s = const, k → ∞. При проверке однородности принимаем, что m и n постоянны, а k → ∞. При этом число неизвестных параметров растет пропорционально объему данных. 
	Для проверки рассматриваемых гипотез применяем метод, основанный на использовании несмещенных оценок, построенных по малым выборкам [5, 7]. При этом исходим из вектора попарных расстояний между люсианами ξ = {d(Ap, Aq), 1 < p < q < s}, в котором пары индексов (p, q) упорядочены лексикографически, а расстояние d(Ap, Aq) - число несовпадающих координат в векторах Ap и Aq. Расчетные формулы и алгоритмы приведены в литературе [5, 7].
	Метод проверки гипотез. Пусть имеются k выборок, независимых между собой. Пусть при справедливости нулевой гипотезы по каждой из выборок можно построить несмещенную оценку  векторного нуля , где р > 1, i = 1, 2, ..., k. Другими словами, пусть распределение i-ой выборки описывается параметром θi, лежащим в произвольном пространстве, а нулевая гипотеза, очевидно, состоит в том, что θiΘ0i, где Θ0i - собственное подмножество множества {θi}. Предполагается, что можно по i-ой выборке вычислить статистику ξi такую, что 
Mξi = 0		(13.1)
при всех θiΘ0i. Очевидно, ξi ≡ 0 удовлетворяют (13.1). Однако для рассматриваемого метода необходимо, чтобы при всех θiΘ0i ковариационная матрица вектора ξi была ненулевой:
.		(13.2)
	Следующее предположение - ковариационные матрицы статистик ξi, т.е. Cov(ξi), также допускают несмещенные оценки Si по тем же выборкам:
M(Si) = Cov(ξi)		(13.3)
при всех θiΘ0i. 
	Рассматриваемый метод основан на том, что поскольку случайные вектора ξi определяются по независимым между собой выборкам, то ξi независимы в совокупности, а потому случайный вектор
		(13.4)
является суммой независимых случайных векторов, имеет в силу (13.1) нулевое математическое ожидание, а его ковариационная матрица равна 
.
	При справедливости многомерной центральной предельной теоремы (простейшее условие справедливости этой теоремы для ξi в случае люсианов - отделенность от 0 и 1 всех элементов матриц Pj, равномерная по s и k) вектор ξ является асимптотически нормальным, т.е. при k → ∞ распределение ξ сближается (в смысле, раскрытом в главе 14) с многомерным нормальным распределением N(0; Ck). 
	Однако эту сходимость нельзя непосредственно использовать для проверки исходной гипотезы, поскольку матрица Ck неизвестна статистику. Необходимо оценить эту матрицу по статистическим данным. В силу (13.3) в качестве оценки Ck естественно использовать 
.
Простейшая формулировка условий справедливости такой замены - предположение о том, что к последовательности Si можно применить закон больших чисел. А именно, пусть существует неотрицательно определенная матрица С такая, что при k → ∞
.		(13.5)
В силу результатов главы 14 из асимптотической нормальности ξ и соотношений (13.5) следует, что распределение статистики

сходится к нормальному распределению N(0; C). При этом, если некоторый случайный вектор τ имеет распределение N(0; C), то распределение случайной величины q(η) сходится к распределению q(τ) для произвольной интегрируемой по Риману по любому кубу функции q: Rp → R1. Для проверки нулевой гипотезы предлагается пользоваться статистикой q(η) при подходящей функции q, а процентные точки брать соответственно распределению q(τ). В этом и состоит рассматриваемый метод проверки гипотез о люсианах в асимптотике растущей размерности. Для реальных расчетов целесообразно использовать линейные или квадратические функции  q от координат вектора η.
	Отклонения от нулевой гипотезы приводят, как правило, к нарушению равенств (13.1) и (13.3). Случайный вектор η при этом обычно остается асимптотически нормальным.
	Несмещенные оценки параметров асимптотического распределения вектора попарных расстояний. Применим описанный выше метод для проверки гипотезы согласованности люсианов. Исходные данные - люсианы
Aj = (X1j, X2j, ..., Xkj), j = 1, 2, ..., s.
В качестве i-й выборки возьмем совокупность испытаний Бернулли, стоящих на i-м месте в рассматриваемых люсианах:  
Xi1, Xi2, ..., Xis.		(13.6)
При справедливости нулевой гипотезы в (13.6) стоят независимые испытания Бернулли с одной и той же вероятностью успеха pi; при нарушении нулевой гипотезы согласованности независимость испытаний Бернулли сохраняется, но вероятности успеха могут различаться.
	В качестве вектора ξ, на основе которого строятся статистики для проверки согласованности, будем использовать вектор попарных расстояний между люсианами
ξ = {d(Ap, Aq), 1 < p < q < s},		(13.7)
в котором пары (p, q) упорядочены лексикографически,
.	(13.8)
	Из вида расстояния в формуле (13.8) следует, что введенный в (13.7) вектор ξ является суммой независимых векторов, а именно, имеет вид (13.4) с 
ξi = μi{|Xip - Xiq|, 1 < p < q < s}.	(13.9)
Следовательно, для применения описанного выше метода проверки гипотез о люсианах в асимптотике растущей размерности достаточно построить на основе вектора ξi из (13.9) несмещенную оценку 0 и найти несмещенную оценку ковариационной матрицы этой оценки. 
	Чтобы применить общую схему, необходимо начать с построения статистики β такой, чтобы при всех pi имело место равенство
M(|Xip - Xiq| - β) - 0,  1 < p < q < s.
Элементарный расчет дает:
M|Xip - Xiq| = 2pi (1 - pi).
	Как известно [7], несмещенная оценка многочлена 

по результатам m независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха р в каждом имеет вид
,		(13.10)
где γ - общее число успехов в m испытаниях и использовано обозначение
n[h] = n(n - 1)...(n - h + 1).
Ясно, что многочлены степени m + 1 и более высокой невозможно несмещенно оценить по результатам m испытаний.
	В случае f(p) = 2p(1 - p) в соответствии с (13.10) получаем несмещенную оценку
. 		(13.11)
	Таким образом, можно применять общий метод проверки гипотез о люсианах в асимптотике растущей размерности с
ξi = μi ({|Xip - Xiq|, 1 < p < q < s} - βie),
где коэффициенты βi определяются с помощью формулы (13.11) по γi - общему числу единиц, стоящих на i-м месте в люсианах A1, A2, ..., As, а e - вектор размерности s(s - 1)/2 с единичными координатами. Тогда несмещенная оценка 0, о которой идет речь в методе проверки гипотез по совокупности малых выборок, имеет вид
.
	Для использования статистики типа η, распределение которой приближается с помощью нормального распределения
,
необходимо уметь несмещенно оценивать ковариационные матрицы Cov(ξi). Для этого достаточно найти математические ожидания элементов матрицы  как функции (многочлены) от pi, а затем использовать формулу (13.10) для получения несмещенных оценок. 
	Вычисление матрицы  хотя и трудоемко, но не содержит каких-либо принципиальных трудностей. В [8] вычислены диагональные элементы рассматриваемой матрицы. Вычисление занимает около 2,5 книжных страниц (с.299-301). Поэтому здесь приведен только окончательный итог.
	Обозначим для краткости pi = р. В [8] показано, что
.
Если двухэлементные множества {p, q} и {r, t} не имеют ни одного общего элемента, то 
,
а если имеют ровно один общий элемент, то 
.
	С помощью формулы (13.10) получаем несмещенные оценки для D, C1 и C2 как многочленов от р:
,
,
.
С помощью трех чисел  выписывается несмещенная оценка матрицы ковариаций вектора ξi/μi, которую обозначим Bi. Тогда асимптотически нормальный вектор ξ имеет нулевое математическое ожидание и ковариационную матрицу, несмещенно и состоятельно (в смысле соотношений (13.5)) оцениваемую с помощью 
.		(13.12)
	Асимптотическая нормальность доказывается в схеме серий. Достаточным условием является существование положительной константы ε такой, что
		(13.13)
при всех k и i, 1 < i < k.
	Поскольку D, C1 и C2 являются многочленами четвертой степени от р, то несмещенные оценки для них существуют при s > 4. Если же s < 4, то несмещенных оценок не существует. Поэтому указанным методом проверять согласованность можно лишь при числе люсианов s > 4.
	Проверка согласованности люсианов. Пусть α - нормально распределенный случайный вектор размерности s(s - 1)/2 с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей, определенной формулой (13.12). Вместо распределения f(ξ) для построения критериев проверки гипотез можно использовать распределение f(α). Более того, аналогичный результат верен при замене f на fn (при слабых внутриматематических условиях регулярности, наложенных на последовательность функций fn). Следовательно, для проверки гипотезы согласованности люсианов можно пользоваться любой статистикой fn(ξ), для которой могут быть вычислены на ЭВМ или заранее табулированы процентные точки распределения fn(α), аппроксимирующего распределение fn(ξ).
	В частности, можно использовать линейные статистики, представляющие собой скалярное произведение случайного вектора ξ и некоторого заданного детерминированного вектора коэффициентов а, т.е.
.		(13.14)
Линейные статистики имеют нулевое математическое ожидание и дисперсию, очевидным образом выражающуюся через матрицу коэффициентов ||aij|| и числа D, C1 и C2, а потому несмещенно и состоятельно оцениваемую с помощью с помощью выписанных выше оценок для D, C1 и C2.
	Отметим, что (ξ, а) = 0 при aij ≡ 1, 1 < j < t < s. Это следует как из непосредственного вычисления дисперсии (ξ, а), так и из того, что (ξ, а) в рассматриваемом случае выражается через достаточную статистику (γ1, γ2, ..., γk) и является несмещенной оценкой нуля, а семейство биномиальных распределений полно, т.е. существует только одна несмещенная оценка нуля - тождественный нуль. Таким образом, сумма координат вектора ξ, т.е. непосредственный аналог коэффициента ранговой конкордации Кендалла-Смита из теории ранговой корреляции, тождественно равна 0. 
	Распределение статистики (13.14) при альтернативах изучено в кандидатской диссертации Г.В. Рыдановой (см. [7]). Рассмотрим два частных случая. 
	Первый частный случай. Проверка согласованности двух определенных люсианов (ответов двух экспертов), j-го и t-го, может осуществляться с помощью статистики (13.14), в которой отличен от 0 только член с ajt = 1. Оценкой дисперсии является D*.
	Второй частный случай. Пусть необходимо проверить согласованность люсианов с одним из них, скажем, с j-м (например, люсианы отражают мнения экспертов, а j-й из них является наиболее компетентным - по априорной оценке, или «лицом, принимающим решения», или его мнение сильно отличается от мнений остальных). Это можно сделать с помощью статистики (13.14), в которой 
ajt = 1, t -= j + 1, j + 2, ..., s;   atj = 1, t = 1, 2, ..., j - 1;
aqt =0, q ≠ j, t ≠ j, 1 < q < t < s.
Другими словами, она имеет вид
,		(13.15)
где расстояние d между люсианами определено в (13.8), а βi  - в (13.11) с заменой m на s и γ на γi. Используя полученные ранее несмещенные оценки элементов ковариационной матрицы, нетрудно показать, что несмещенная и состоятельная (в смысле формулы (13.5) выше) оценка дисперсии W имеет вид
.
Тогда при выполнении некоторых внутриматематических условий регулярности, например, условий (13.13), распределение статистики 

сходится при k → ∞, s = const к стандартному нормальному распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 (при справедливости гипотезы (13.1) согласованности люсианов).
	Исследования по теории люсианов, в том числе выполненные Г.В. Рыдановой, Т.Н. Дылько, Г.В. Раушенбахом, О.В. Филипповым, А.М. Никифоровым, рассмотрены в монографиях [5, 7] и на сайте «Высокие статистические технологии» (http://orlovs.pp.ru). 
	Методы моделирования и анализа данных опросов и экспертных мнений, основанные на теории люсианов, заслуживают теоретического развития и широкого практического использования в социологии, а также в смежных областях - в маркетинговых исследованиях и при подготовке управленческих решений.

13.3. Асимптотика квантования и выбор числа градаций 
в социологических анкетах

	Наличие погрешностей наблюдений приводит к тому, что результат наблюдения приходится рассматривать не как число, а как объект более сложной природы. «Размытость» реального результата наблюдения можно моделировать различными способами. В классической метрологии погрешность моделируется случайной величиной, математическое ожидание которой называют систематической ошибкой, а соответствующую центрированную случайную величину – случайной ошибкой. В статистике применяют группировку данных (см. раздел 3.5). Более общий подход состоит в использовании нечетких чисел. Развиты методы статистики интервальных данных [7]. Наличие погрешностей наблюдений приводит к существенному изменению свойств статистических процедур.
	Об учете ошибок в ответах респондентов. Рассмотрим один подход к определению шага квантования (группировки) при переходе от непрерывной шкалы к дискретной. Прикладная цель – выбор числа градаций в социологических анкетах [5]. В соответствии с методологией общей теории устойчивости (см. раздел 14.6) предлагается выбирать шаг так, чтобы ошибки, порожденные квантованием, были того же порядка, что и ошибки, присущие ответам респондентов (опрашиваемых). При конечном интервале изменения значений измеряемого признака шаг шкалы однозначно определяет число градаций. Оказывается, во многих вопросах закрытого типа достаточно указывать 3 – 6 градаций ответов (подсказок). Этот вполне конкретный вывод следует из теории, развитой в настоящем разделе. 
	Разработаем вероятностную модель, которую будем изучать. Пусть  - истинное значение какого-либо признака. Респондент «измеряет» это значение с какой-то ошибкой, и его мнение отражает число , где  - случайная ошибка, присущая респонденту. Социолог просит респондента назвать не , а одну из градаций, включенных в систему баллов, т.е. одно из чисел kh, k = 0, +1, +2, +3, …, где h – шаг шкалы. Естественно принять модель, согласно которой респондент называет градацию , наиболее близкую к его мнению . В результате социолог получает от респондента число , где  и . Здесь  - методическая ошибка, порожденная инструментом социолога – системой баллов. 
	Очевидно, описанная процедура с ошибками двух типов – ошибкой измерения и ошибкой округления – применима для описания процесса измерения в различных областях, если итог выражается в равномерной шкале с конечным числом градаций. В частности, при оценке качества продукции в баллах, при выводе результата измерения на экран в цифровой форме, и т.д.
	Рассмотрим теперь n респондентов, независимо друг от друга отвечающих на вопросы социолога. Респонденту с номером i соответствует истинное значение  (например, месячный доход или средние затраты времени на просмотр программ телевидения), о которых респондент имеет мнение  (или же: хочет сообщить социологу , а не ). Используя систему баллов с шагом h, социолог получает . Предположим, что социолога интересует среднее истинных значений по выборке, т.е.
.
Однако социолог может вычислить лишь
,		(13.16)
где
.
В (13.16)  - ошибка, обусловленная природой респондентов,  - ошибка, связанная с использованием исследовательского инструмента – системы баллов. Уменьшение шага h (т.е. увеличение числа градаций) уменьшает суммарную ошибку, уменьшая дисперсию , однако дисперсия  при этом не меняется, а потому дисперсия суммарной ошибки всегда больше дисперсии . С другой стороны, увеличение числа градаций приводит к возрастанию сложности проведения опроса, к увеличению затрат на социологическое исследование. Поэтому чрезмерное увеличение числа градаций, т.е. чрезмерное уменьшение h, нецелесообразно. Согласно «принципу уравнивания погрешностей» в общей схеме устойчивости (см. раздел 14.6) рациональным является такое h, при котором ошибки респондентов и ошибки исследовательского инструмента имеют одинаковый порядок. Чтобы вычислить указанные ошибки, необходимо построить вероятностную модель поведения совокупности респондентов.
	Будем считать, что  - независимые случайные величины, имеющими математические ожидания и дисперсии, причем

т.е. мнение респондента, зависящее от случайных величин, является в среднем правильным (не содержит систематической ошибки). (Это предположение, разумеется, выполнено не всегда – влияние систематических погрешностей на статистические выводы продемонстрировано в статистике интервальных данных, см., например, [7, гл.4].) Отметим, что  также являются независимыми случайными величинами (поскольку  - функции от случайных величин ). Ниже будет показано, что 
,
кроме того,  и  при каждом i являются асимптотически независимыми при . При малом h и большом n в силу многомерной центральной предельной теоремы и теорем о наследовании сходимости (см. разделы 14.2 и 14.3 соответственно) величины  и  можно считать независимыми и нормально распределенными, а потому при указанных условиях случайная величина  асимптотически нормальна, причем
.
	Условие «однопорядковости ошибок» приводит к рекомендации определять h из соотношения
.		(13.17)
В разделе 3.5 установлено, что 
.
Поэтому  в (13.17) можно заменить при  на (n-1h2)/12. Если предположить, что ошибки всех респондентов имеют одинаковую дисперсию, т.е. , то (13.17) можно преобразовать к эквивалентному при  виду
,		(13.18)
откуда 
.		(13.19)
	Соотношения (13.18) и (13.19) можно получить другим путем, исходя из уравнивания вероятностей неправильного упорядочения двух совокупностей (по двум рассматриваемым причинам). Опишем в терминах социологии соответствующую постановку задачи.
	Пусть каждый респондент оценивает значения двух признаков. Так, в известных исследованиях В.Н. Шубкина школьники оценивали привлекательность различных профессий. Пусть (1) и (2) – «истинные значения» рассматриваемых признаков для i-го респондента, (1) и (2) – то, что i-й респондент хотел бы сообщить социологу, т.е. истинные значения, искаженные из-за ошибок респондента; (1) и (2) – полученные социологом ответы, «привязанные» к градациям шкалы. Можно интерпретировать дисперсии D((1)) и D((2)) как показатели «нечеткости» мнений респондентов, их изменчивости при повторном опыте через небольшой промежуток времени.
	Пусть  - средние арифметические соответствующих показателей для первого признака, а  - для второго. Предположим, социолога интересует, что больше -  или . Для ответа на этот вопрос он сравнивает  и , причем принимает, что - имеет тот же знак, что и -. Такая процедура может привести к ошибочному заключению о знаке -. Опять можно выделить ошибки респондента и ошибки исследовательского инструмента. Последние имеют место, если 
.
	Пусть для определенности -. Описанная выше процедура приводит к ошибке, если -, т.е.
.		(13.20)
	Чтобы найти вероятность осуществления события (13.20), построим вероятностную модель. Примем все предположения, описанные выше для одного признака, и добавим, что оценивание различных признаков проводится независимо. Тогда  при больших n и малых h можно рассматривать как четыре независимые в совокупности нормальные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями. Тогда () - нормальная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией , а потому вероятность осуществления события (13.20) есть 
,
где  - функция распределения стандартной нормальной случайной величины с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Условие «однопорядковости» порождающих ошибку причин приводит к равенству 
.		(13.21)
В случае  и  условие (13.21) переходит в (13.17), а при одинаковости дисперсий респондентов – в (13.19).
	Процесс получения случайной величины  по случайной величине  естественно назвать «квантованием» или, если угодно, «дискретизацией». Выше описаны способы применения квантования в социологии. Есть и другие возможности его применения, связанные, например, с управлением запасами (в конце настоящего раздела мы получим результаты, примыкающие к рассмотрениям раздела 8.3) или с округлением чисел при вычислениях на ЭВМ. 
	Предельная теорема о квантовании. Перейдем к изучению асимптотических свойств квантования при . Нам понадобятся вспомогательные утверждения - две леммы.
	Лемма 1. Пусть функции  и  таковы, что |f(x)|<g(|x|) при всех x, функция g строго убывает, причем существует
.
Рассмотрим последовательность точек числовой прямой ak таких, что . Тогда 
.
	Доказательство. Пусть сначала k > 1. Тогда
|f(ak)| < g(ak) < g(kh) < g(x)		(13.22)
при всех . Проинтегрировав (13.22) по , имеем
.		(13.23)
Из (13.23) следует оценка
.		(13.24)
Аналогично можно получить неравенство
.		(13.25)
Наконец,
.		(13.26)
Из (13.24), (13.25) и (13.26) следует требуемое.
	Лемма 2. Пусть
а) функция  дважды непрерывно дифференцируема на R1;
б) ;
в) ;
г) существует строго убывающая интегрируемая функция  такая, что  при всех 
	Тогда при всех 0 < y < h справедливо неравенство
.
	Доказательство. Разложим функцию f(x) в точке a по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Пользуясь этим разложением на отрезке [a; a+y), получим равенство
,  (13.27)
где функция K(a, z) такова:
.	(13.28)
Полагая в (13.27) a = kh, k = 0, +1, +2, …, суммируя по k и пользуясь условием б) настоящей леммы, приходим к разложению
. 	(13.29)
Оценим каждую из сумм в правой части (13.29) по отдельности. Согласно (13.28) при 0 < y < h имеем 
.		(13.30)
Из (13.30), леммы 1 и условия г) настоящей леммы следует, что вторая сумма в (13.29) не превосходит
.		(13.31)
С помощью формулы Тейлора и условия в) нетрудно показать, что 
,		(13.32)
где 
.
Поскольку 
,
то с помощью условия г) и леммы 1 заключаем, что 
.		(13.33)
Из (13.29), (13.32), (13.33) и неравенства

следует, что первая сумма в (13.29) не превосходит
.		(13.34)
Из (13.31) и (13.34) вытекает заключение леммы 2. Итак, лемма 2 полностью доказана.
	Теорема 1. Пусть плотность f(x) случайной величины  удовлетворяет условиям леммы 2. Пусть  - ближайший к  элемент системы баллов {kh, k = 0, +1, +2, …}, т.е. , где {kh, k = 0, +1, +2, …} и . Тогда  и  асимптотически независимы при , т.е. 
		(13.35)
	Доказательство. Пусть целая часть числа  равна z. Имеем
.	(13.36)
Незначительное изменение доказательства леммы 2 дает, что сумма в формуле (13.36) есть
.		(13.37)
Действительно, 
.	(13.38)
Оценка (13.31) для суммы в (13.38) сохраняется. Вместо (13.32) имеем
	(13.39)
и соответственно вместо (13.34) – 
,		(13.40)
откуда и следует (13.37), причем равномерно по y и z . При этом использовалось, что согласно условиям а) и в) леммы 2 
.		(13.41)
А именно, из (13.41) следует равномерность по z. Кроме того, из (13.41) вытекает, что 
,		(13.42)
причем равномерно по x, y. С помощью (13.37) и (13.42) можно привести (13.36) к виду
		(13.43)
При этом использовано то, что
.
	Наконец, из леммы 2 следует, что 
.		(13.44)
Из (13.43), (13.44) и отмеченной выше равномерности оценок следует (13.35), причем можно добавить, что используемый в (13.35) супремум есть O(h). Теорема 1 доказана.
	Формула (13.44) представляет самостоятельный интерес: она показывает, что нормированная ошибка округления  имеет при  асимптотически равномерное распределение на отрезке [-0,5; +0,5], причем сходимость весьма быстрая. Этот факт будет использован ниже при применении полученных в настоящем разделе результатов в задачах управления запасами (логистике).
	Теорема 2. Пусть плотность f(x) случайной величины  удовлетворяет условиям а) – г) леммы 2, причем математическое ожидание  существует. Тогда для определенной в теореме 1 нормированной ошибки округления  имеем
.		(13.45)
	Доказательство. Теорема 1 показывает, что распределение случайного вектора  сходится к распределению случайного вектора  при , где  - независимая от  случайная величина с равномерным распределением на отрезке [-0,5; +0,5].
	Отсюда следует, что при любом фиксированном N
,		(13.46)
где 
		(13.47)
Для доказательства достаточно сослаться на двумерный аналог утверждения, известного как первая теорема Хелли, вторая теорема Хелли, лемма Хелли - Брея (см. раздел 4.3 выше). 
	Из независимости  и  следует, что  и  также независимы. Поскольку , то .
	Для завершения доказательства достаточно показать, что
.		(13.48)
Действительно, поскольку  при любом , то
  (13.49)
Остается заметить что последний член цепочки неравенств (13.49) стремится к 0 при  в силу существования математического ожидания . Теорема 2 доказана. 
	Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и, кроме того, дисперсия  существует. Тогда при  коэффициент корреляции между  и  стремится к 0.
	Доказательство. В силу теоремы 1 (формула (13.44)) и цитированного в теореме 2 двумерного аналога теоремы Хелли
.		(13.50)
В силу теоремы 2
.		(13.51)
Из (13.50) и (13.51) следует, что
.		(13.52)
Для завершения доказательства теоремы 3 достаточно использовать (13.52) и еще раз сослаться на второе соотношение в (13.50) и на то, что  существует и не равна 0.
	Доказаны все утверждения, необходимые для обоснования проведенных в начале раздела рассуждений, с помощью которых был получены формулы (13.18) и (13.19). Нет необходимости подробно расписывать применение многомерной центральной теоремы (раздел 14.2) и теорем о наследовании сходимости (раздел 14.3) к векторам  и () с целью получения этих формул.
	Рекомендации по выбору числа градаций в социологических анкетах. Пусть от респондента требуется оценить интенсивность какого-либо качества в процентах (т.е. рассматриваемые величины меняются в интервале от 0% до 100%). С помощью формулы (13.19) можно найти требуемое число градаций k. А именно, 
.
Поскольку k – натуральное число, можно рекомендовать к практическому использованию формулу
, 		(13.53)
где квадратными скобками обозначена операция взятия целой части числа. Так, при  = 10 (%) в соответствии с (38) k =3, при  =5 (%) соответственно k = 6. Серединными точками интервалов являются 17%, 50%, 83% в первом случае и 8,3%, 25% и т.д. - во втором. 
	Дисперсию ошибки респондента можно оценить при пилотаже (пробном исследовании) ли найти иными способами, имеющимися в многочисленных работах по методике социологических опросов. Для многих социологических данных среднее квадратическое отклонение мнения респондента  имеет порядок 5-10% и более. Аналогичный порядок точности для экономико-статистических данных приводит и Оскар Моргенштерн в своей известной книге «О точности экономико-статистических наблюдений».
	Наши результаты показывают, что во многих социологических анкетах целесообразно использовать не более 3 – 6 градаций. Разумеется, эти формально-математические аргументы не могут служить единственным основанием при выборе числа градаций. Какова же их польза? Они могут служить ориентиром и, что по нашему мнению более важно, обосновывают корректность эмпирически применяемых мощностей множества градаций (в данном случае мощность конечного множества – это число его элементов). По данным [9], массивы данных в социологии на 92% состоят из значений качественных признаков, что и объясняет больше значение статистики нечисловых данных для социологических исследований. Присоединяясь в целом к высказанному в этой работе [9] пожеланию шире использовать в социологии многомерный статистический анализ и другие методы, основанные на признаках, измеренных в количественных шкалах (интервалов, отношений и др.), необходимо подчеркнуть, что квантование шкалы является эмпирически найденным приемом, повышающим обоснованность выводов статистического анализа социологических данных путем повышения устойчивости к ошибкам респондентов. Выше дано теоретическое обоснование этому эмпирическому приему.
	Теория асимптотического квантования опубликована в конце 70-х гг. (см. [5, раздел 2.6]). Она использовалась, например, в работах В.А. Глотова и В.В. Павельевой. Ф.Н. Ильясов провел их экспериментальную проверку, в результате от 13 градаций в исходной шкале перешел к шкале с 6 градациями.
	Есть и иные способы определения необходимого числа градаций. 
	Применения в управлении запасами. Идея «квантования» имеет применения не только в социологии. Применять ее можно не только для выбора числа градаций. Так, весьма интересны два применения идеи «квантования» в теории управления запасами – в двухуровневой модели (полезны теоремы 1 - 3) и в классической модели Вильсона с учетом отклонений от нее (демонстрируется польза «квантования» как способа повышения устойчивости). В очередной раз видим взаимопроникновение статистических методов, возникших для анализа данных из различных предметных областей, в данном случае, из социологии и логистики. Имеем новое подтверждение того, что статистические методы – единая научно-практическая область, которую нецелесообразно делить по областям применения. 
	Введение в теорию управления запасами дано в разделе 8.3. Напомним, что в математических терминах двухуровневая однопродуктовая модель работы склада формулируется следующим образом. 
	Пусть - последовательность неотрицательных независимых одинаково распределенных случайных величин (последовательность величин заявок со стороны потребителей). Пусть  - неубывающий кусочно-постоянный случайный процесс на , независимый от последовательности  и имеющий скачки величиной 1 в точках , причем  (процесс  описывает моменты возникновения заявок со стороны потребителей). Положим 

(величина s(t) показывает накопленный спрос за время t). Пусть R < 0 и R + Q > 0 – произвольные числа (уровни, упоминаемые в названии модели). Пусть
, 
где квадратными скобками обозначена целая часть числа. Здесь y(t) – уровень запаса продукта на складе. Предполагается, что продукт отпускается в соответствии с заявками потребителей. Когда уровень запаса на складе опускается до граничного значения R < 0, мгновенно поступает новая партия продукта величиной Q. Если уровень запаса на складе при удовлетворении очередной заявки становится меньше 0, но остается больше R < 0, то фиксируется образование дефицита. Рассматриваемая заявка (точнее, ее необслуженная часть) и возникающие в следующие моменты заявки накапливаются вплоть до того момента, когда суммарный дефицит достигнет граничного уровня R, а затем мгновенно удовлетворяются после прихода очередной поставки величиной Q. Таким образом,
R < y(t) < R + Q
при всех t. 
	Пусть c1, c2, c3 – положительные константы, T > 0. Введем функционал
,
где y+ = max(y,0) и y- = y+ - y. Требуется минимизировать M(w(T)), выбрав соответствующие R и Q.
	В логистических терминах c1 - расходы, связанные с хранением единицы продукта в течение единицы времени, c2 – потери, порожденные дефицитом (отсутствием на складе) единицы продукции в течение единицы времени, c3 – расходы на доставку партии продукта на склад, w(T) – средние (на единицу времени) издержки на функционирование склада (точнее, складской подсистемы, связанной со снабжением потребителей рассматриваемым продуктом). Сформулированная модель рассматривалась рядом авторов при различных предположениях (см. обзор в [5, гл.5]). У них же можно найти экономическую интерпретацию и развернутое обсуждение рассматриваемых математических объектов и констант (см. также разд. 8.3). 
	Будем изучать асимптотику при . Сначала найдем предельное распределение y(t).
	Теорема 4. Пусть случайная величина  имеет первые пять моментов и интегрируемую характеристическую функцию, при некотором С

при всех t > 0. Тогда существует константа D такая, что 

при всех y, t таких, что R < y < R + Q и t > 0.
	Доказательство. Нетрудно показать, что 
.		(13.54)
Нам окажется полезным вытекающее из (13.54) представление
,		(13.55)
где
.
При k > 1 положим 
.
Тогда 
.
Начнем с оценки A(k, y).
	Лемма 3. В условиях теоремы 4 существует константа d1 такая, что при всех y таких, что R < y < R + Q и k = 1, 2, …, выполнено неравенство
.
	Доказательство. Пусть fk(x) – плотность случайной величины Tk, существующая в силу условий теоремы 4. Из них же в соответствии с теорией асимптотических разложений, связанных с Центральной предельной теоремой теории вероятностей, конкретнее, в соответствии с теоремой 2 из монографии В. Феллера [10, с.609-611] вытекает, что 
		(13.56)
равномерно по x. Здесь
,	(13.57)
где  - плотность стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1,  и  - константы, зависящие от моментов случайной величины .
	Для A(k, y) справедливо представление 
,		(13.58)
где
.	(13.59)
К первому слагаемому в (13.58) применим лемму 2, второе слагаемое оценим с помощью (13.56).
	Пусть m – такое целое число, что a(m) < 0, но a(m+1) > 0. Легко проверить, что для функции f(x) = gk(x – a(m)) выполнены все условия леммы 2. Полагая (слева - обозначения леммы 2, справа – обозначения из (13.59))
,
заключаем, что при некоторой константе d2, зависящей, как видно из (13.57) и (13.59), лишь от Q и моментов , и произвольном k
.		(13.60)
Отметим теперь, что 
,
где
.
Из (13.57) нетрудно вывести, что
.		(13.61)
Из (13.60) и (13.61) следует оценка
.		(13.62)
	Займемся теперь второй суммой в (13.58). Положим
.
Тогда в силу (13.56)
.	(13.63)
Справедливо неравенство
,	(13.64)
где . Первый интеграл в правой части (13.64) равен . С помощью неравенства Чебышева и (13.59) заключаем, что 
.		(13.65)
Из явного вида gk(x), по аналогии с (13.61), заключаем, что второй интеграл в правой части (13.64) также есть . Из (13.63), (13.64), (13.65) и последнего утверждения следует, что 
.		(13.66)
Из (13.62) и (13.66) вытекает заключение леммы 3, поскольку, как нетрудно проверить, просматривая проведенные выше рассуждения, все оценки являются равномерными по y. Лемма 3 полностью доказана.  
	Продолжение доказательства теоремы 4. Из (13.55) и заключения леммы 3 следует, что 
,
где  Поскольку
,
то заключение теоремы 4 справедливо при D = 2d1 + C. Теорема 4 доказана.
	Теорема 5. В условиях теоремы 4 и при  имеем для минимизируемого функционала
,
где
,	(13.67)
причем существуют константы d3 и d4 такие, что 
.			(13.68)
	Доказательство. Поскольку накопленный спрос есть сумма случайного числа случайных слагаемых, то по тождеству Вальда . Следовательно, для математического ожидания третьего слагаемого средних издержек w(T) имеем 
,	(13.69)
где
.		(13.70)
	При изучении математического ожидания первого слагаемого средних издержек w(T) полезно проинтегрировать по частям:
.	(13.71)
Из (13.71) и заключения теоремы 4 следует, что 
,		(13.72)
где 
.		(13.73)
	Аналогично получаем асимптотическое выражение для математического ожидания второго слагаемого в формуле для w(T): 
,		(13.74)
где 
.		(13.75)
	Из (13.69) – (13.75) следует утверждение теоремы 5, при этом можно считать, что в (13.68)
.	(13.76)
Теорема 5 доказана.
	Нетрудно показать, что H(R,Q) из теоремы 5 (см. (13.67)) достигает минимума по области {(R, Q): Q > 0} в точке (R0, Q0), где
. 	(13.77)
	Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 5 и, кроме того,
.		(13.78)
Предположим, что минимум M(w(T)) достигается, причем в точке (RT, QT). Тогда существует константа d5 такая, что при всех T
.
	Доказательство. Нетрудно показать, что в силу (13.78) минимум M(w(T)) не может достигаться вне некоторого компакта. Далее, анализируя доказательства теорем 4 и 5, можно убедиться, что полученные в них оценки являются равномерными по произвольному компакту в области {(R, Q): Q > 0}. Поскольку 
,
то (RT, QT) лежит в области . Эта область является эллипсом, и, как легко видеть,
.		(13.79)
Из (13.68), (13.76) и (13.79) следует требуемое. Теорема 6 доказана.
	Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 6 и, кроме того, 
.		(13.80)
Тогда 

и
,
где величину M(w(T, RT, QT)) рассчитывают по формулам для математического ожидания средних издержек работы склада M(w(T)) при параметрах плана поставок R = RT, Q = QT, а величину M(w(T, R0, Q0)) – по тем же формулам при R = R0, Q = Q0.
	Таким образом, следствие указывает условия, при которых при большом горизонте планирования T возможно использовать асимптотически оптимальный план поставок с параметрами R = R0, Q = Q0, заданными формулами (13.77).
	Отметим, что для справедливости соотношения (13.80) необходимо и достаточно, чтобы 
,
но недостаточно выполнения условия
.
	В ряде работ рассматривался пуассоновский поток  заявок от потребителей. Тогда накопленный спрос s(t) асимптотически (при ) нормален. В этих работах предлагалось вероятности в правой части (13.54) заменить на предельные и полученным рядом аппроксимировать функцию распределения P(y(t) < y) при больших t. Чтобы сделать расчеты возможными, т.е. из эвристических побуждений, функция Лапласа в этом ряду заменялась на ступенчатую функцию с единственным скачком в 0 единичной высоты. С помощью результатов настоящего раздела нетрудно подсчитать, что такая замена приводит к появлению лишних членов в аналогичном H(R, Q) выражении. Таким образом, мы отказались от предположения пуассоновости, которое редко выполняется на практике, и получили в общем случае достаточно простые формулы, попутно исправив ошибки предшественников. 
	Отказ от пуассоновости спроса впервые осуществлен нами в 1977 г. Дальнейшая работа проводилась совместно с А.В. Воскресенским. Настоящее изложение соответствует работе [5], в которой предшествующие результаты были усилены. 
	Классическая модель Вильсона управления запасами разобрана в разделе 8.3. Там показано: квантование используемых экономических показателей позволяет исключить расхождение между собой методик, разработанных различными коллективами специалистов, но при этом обеспечивает сокращение издержек складского хозяйства не менее чем в 2 раза.  

13.4. Социометрическое исследование – инструмент менеджера

	В любой фирме, на любом предприятии в дополнение к официальным организационным структурам создаются неформальные, основанные на отношениях между людьми. Менеджеру необходимо учитывать с своей работе неформальные связи. Выявить их можно с помощью социометрии.
	Социометрическая техника применяется для диагностики межличностных и межгрупповых отношений в целях их изменения, улучшения и совершенствования. С помощью социометрии можно изучать типологию социального поведения людей в условиях групповой деятельности, судить о социально-психологической совместимости членов конкретных групп.
	Вместе с официальной или формальной структурой общения, отражающей рациональную, нормативную, обязательную сторону человеческих взаимоотношений, в любой социальной группе всегда имеется психологическая структура неофициального или неформального порядка, формирующаяся как система межличностных отношений, симпатий и антипатий. Особенности такой структуры во многом зависят от ценностных ориентаций участников, их восприятия и понимания друг друга, взаимооценок и самооценок. Неформальная структура группы зависит от формальной структуры в той степени, в которой индивиды подчиняют свое поведение целям и задачам совместной деятельности, правилам ролевого взаимодействия. С помощью социометрии можно оценить это влияние.
	Общая схема действий при социометрическом исследовании заключается в следующем. После постановки задач исследования и выбора объектов измерений формулируются основные гипотезы и положения, касающиеся возможных критериев опроса членов групп. Здесь не может быть полной анонимности, иначе социометрия окажется малоэффективной. Требования экспериментатора раскрыть свои симпатии нередко вызывает внутренние затруднения у опрашиваемых и проявляется у некоторых людей в нежелании участвовать в опросе. Поэтому для проведения социометрического исследования целесообразно привлекать постороннюю специализированную организацию
	Когда вопросы или критерии социометрии выбраны, они заносятся на специальную карточку или предлагаются в устном виде по типу интервью. Каждый член группы отвечает на них, выбирая тех или иных членов группы в зависимости от большей склонности, предпочтительности их по сравнению с другими, симпатий, доверия и т.д.
	Социометрическая процедура может проводиться в двух формах. Первый вариант - непараметрическая процедура. В данном случае испытуемому предлагается ответить на вопросы социометрической карточки без ограничения выборов испытуемого. Второй вариант - параметрическая процедура с ограничением числа выборов. Испытуемым предлагают выбрать строго фиксированное число из всех членов группы. Социометрическая карточка или социометрическая анкета составляется на заключительном этапе разработки программы. В ней каждый член группы должен указать свое отношение к другим членам группы по выделенным критериям. Критерии определяются в зависимости от программы данного исследования. Когда социометрические карточки заполнены и собраны, начинается этап их математической обработки.
	Вначале следует построить простейшую социоматрицу взаимных выборов. Анализ социоматрицы по каждому критерию дает достаточно наглядную картину взаимоотношений в группе. Могут быть построены суммарные социоматрицы, дающие картину выборов по нескольким критериям. Основное достоинство социоматрицы - возможность представить выборы в числовом виде. Проведение опроса и представление первичной информации является предварительным этапом для дальнейшего анализа социометрических данных. 
	Рассмотрим применение социометрической технологии на примере изучения неформальных соотношений в студенческой группе. Прикладная значимость работы определялась тем, что из студентов этой группы были сформированы две подрядные бригады, выполнявшие задания Института высоких статистических технологий и эконометрики по изучению динамики потребительских цен (см. раздел 6.6 выше).
	Респондентам были заданы вопросы (они предлагались в устной форме, без ограничения числа выборов):
	1. У кого вы берете конспекты лекций?
	2. С кем вы сидите на семинаре? 
	3. С кем вы советуетесь при выполнении контрольных работ, курсовых работ и т.п.? 
	4. С кем вы часто разговариваете по телефону?
	5. У кого вы узнаете об учебной информации: об изменениях в расписании, о собрании группы и т.п.? 
	6. С кем вы больше всего общаетесь: а) во время занятий; б) вне института;
	7. С кем вы обычно ходите обедать? 
	8. Если вы что-то не поняли на семинаре, то у кого просите объяснение? 
	9. Если бы вся ваша группа была членами одной фирмы, и перед вами встала задача выбрать руководителя, то кого бы вы предложили на эту должность? 
	10. Если бы у всех ваших одногруппников были свои фирмы, а у вас нет, то к кому из них вы пошли бы работать? 
	11. Если бы вы все были членами одной фирмы, как вы думаете, кого группа выбрала бы президентом? 
	12. У кого из вашей группы есть, по вашему мнению, талант руководителя (организатора)? 
	13. После окончания института, при устройстве на работу вы узнаете, что там уже работает ваш одногруппник. Кого вы хотели бы увидеть?
	13-1) проранжируйте всех своих одногруппников от 1 до 22 (от самого привлекательного до самого антипатичного); 
	13-2) напротив каждой фамилии укажите одну из букв а, б, в, г, д:
	а) очень хотел бы увидеть; б) скорее «да», чем «нет»; в) трудно сказать; г) скорее «нет», чем «да»; д) не хотел бы увидеть.
	Социометрические вопросы разбиты на три группы: первая группа (условное название «информационная»): сюда входят 1, 3, 5, 8 вопросы; вторая группа («неформальная»): 2, 4, 6а, 6б, 7 вопросы; третья группа («трудовая»): 9 - 13 вопросы.
	Социометрический опрос позволяет выявить неформальных лидеров в коллективе. Именно с ними менеджеру следует работать в первую очередь, проводя то или иное изменение. С точки зрения социометрии неформальный лидер - это человек, которого выбирает большинство респондентов.
	На основании полученных для конкретной студенческой группы результатов были сделаны следующие выводы:
	1. В исследуемой группе есть два крупных четко выраженных кластера (подгруппы) и ряд мелких.
	2. Первая бригада построена по принципу взаимной заинтересованности в совместной работе. Вторая бригада построена по принципу антипатии к руководителю первой бригады и внутри группы - кто с кем хотел бы работать.
	3. В группе два социометрического лидера. Оба в первой бригаде. Одна из них – староста группы (т.е. формальный лидер).
	4. Руководители бригад не являются социометрическими лидерами. 
	5. Если заменить формального лидера (условный номер 18 в списке респондентов) на одного из неформальных (условные номера 4 и 9), то получим следующие результаты. При замене 18 на 4 состав бригады не изменится, принцип объединения в группу остается прежним, количество прямых связей увеличивается (следовательно, такая замена была бы возможной с целью улучшения работы бригады). Если же заменить 18 на 9, то состав бригады изменится.
	Дальнейшее развитие событий подтвердило результаты, полученные с помощью социометрического опроса. Через некоторое время коллектив первой бригады потребовал смены бригадира, новым стал социометрический лидер 4. Бригада продолжала работать в прежнем составе. При создании второй бригады в ней объединились студенты, стоявшие в оппозиции к основной части группы. Это диссидентство (инакомыслие) в дальнейшем породило трудности в управлении бригадой. Социометрический опрос принес вполне ощутимую пользу менеджерам Института высоких статистических технологий и эконометрики.
	Методики социометрии - это синтез выборочных исследований и экспертных оценок. Обратите внимание, что ответы членов малой группы являются нечисловыми данными – подмножествами конечного множества, ранжировками, градациями признака, измеренного в порядковой шкале.

13.5. Статистические методы в выборочных исследованиях
научных организаций

	Процессы, происходящие в отечественной науке, требуют новых подходов как к методам сбора данных о состоянии науки (инфраструктура, кадры, финансирование, материально-техническая база, результативность и т.д.), так и к методам анализа полученных данных. Разработка новых подходов проводится Институтом высоких статистических технологий и эконометрики совместно с Центром исследований и статистики науки (ЦИСН) Миннауки РФ и РАН [11]. За 90-е гг. ЦИСН разработан ряд новых форм статистической отчетности, утвержденных государственными статистическими органами, им проведено несколько специальных обследований (бюджетное финансирование науки, уровень жизни ученых, утечка умов - совместно с МВД РФ, деятельность аспирантуры и др.).
	В качестве иллюстрации процессов, происходящих в те годы в науке России, можно привести несколько чисел из статистического сборника, изданного ЦИСН: с 1990 по 1993 гг. численность работников основной деятельности научных организаций сократилась на 40%, расходы на НИР (в ценах 1989 г.) - на 75%, при этом, если в 1990 г. расходы на НИР составляли 2,03% ВВП (валового внутреннего продукта), то в 1993 г. – только 0,81%.
	Сохранению потенциала российской науки уделяется большое внимание международной научной общественностью, международными организациями, в частности, Организацией экономического сотрудничества и развития, и научной общественностью отдельных стран. По некоторым оценкам зарубежная помощь российским ученым в 1992 г. составила около 8% от объема государственных расходов на науку в России.
	Кризис российской науки оживленно обсуждается и на страницах отечественных газет и журналов. Так, в №1 за 1993 г. международной газеты «Наука и технология в России» проведена дискуссия об эффективности научной деятельности и положении научных работников в современной России, глубоко и по существу использующая результаты социологических исследований.
	При обсуждении разнообразных задач изучения и управления наукой весьма важны исходные методологические принципы. Показательна упомянутая дискуссия, в которой один из авторов в качестве основного показателя использовал производительность труда научного работника, а другой - фондоемкость научной продукции, что явно затрудняло взаимопонимание. Характерно, что в обеих статьях широко использовались как статистические, так и экспертные данные. Поэтому бесспорным представляется вывод о том, что статистические данные о научном потенциале - база для теоретического и прикладного науковедения.
	Основой для проведения анализа научного потенциала России является информационная база данных по российским организациям, выполняющим научно-исследовательские работы, сформированная в Центре исследований и статистики науки Миннауки РФ и РАН. Она основана на использовании совокупности независимых баз данных как справочного, так и информационного характера и включает около 250 показателей научно-технической деятельности предприятия (организации). Благодаря подробной справочной информации, все объекты могут быть классифицированы по регионам, типам организации, ведомственной принадлежности, областям наук, формам собственности, секторам деятельности. Единицей учета является отдельный документ «Отчет предприятия (организации) о выполнении научно-технических работ» - статистическая форма «1-Наука».
	В числе показателей формы присутствуют как количественные, так и качественные. К качественным показателям, имеющим нечисловую природу, относятся:
	- область науки;
	- сектор науки;
	- отрасль народного хозяйства;
	- территория;
	- министерская (ведомственная) принадлежность;
	- организационно-правовая форма;
	- форма собственности;
	- тип организации (предприятия);
	- сектор деятельности.
	Среди количественных показателей можно выделить данные об объемах выполненных исследований (фундаментальных, прикладных разработок), затратах на НИР, объемах основных средств, количестве персонала различных категорий и др.
	База для применения методов статистики нечисловых данных в наукометрии значительно расширилась с началом проведения регулярных статистических обследований по форме «2-наука», которая, в отличие от формы «1-наука», предусматривает возможность группировок данных по социально-экономическим целям исследований и разработок (в соответствии с международными стандартами), что расширяет возможности как для построения принципиально новых моделей, так и для проведения более качественных межстрановых сопоставлений. Была введена также краткая ежеквартальная форма статистической отчетности, позволяющая накапливать ряды данных и строить на их основе прогнозные модели. Впервые в стране с 1995 г. начался сбор данных по инновационной деятельности, что позволяет увязывать данные о развитии науки с разработкой и внедрением технологий и более точно оценивать результативность науки.
	С начала 70-х гг. в России активно развивается статистика объектов нечисловой природы, известная также как статистика нечисловых данных или нечисловая статистика. На основе подходов и результатов статистики объектов нечисловой природы разрабатывается методическое, математическое и программное обеспечение для социологических, маркетинговых, экспертных, прогнозных и других исследований. В разработке этого сравнительно нового направления статистических методов приоритет принадлежит отечественным ученым.
	Показатели науки могут быть использованы для применения достижений статистики нечисловых данных на практике. Более того, представляется, что при анализе столь важной с практической точки зрения информации, как данные о научном потенциале, именно методы статистики нечисловых данных окажутся наиболее полезными, поскольку существенная часть данных носит нечисловой (в частности, качественный) характер.
	Примерами объектов нечисловой природы являются: качественные признаки, например, пол человека или тип научной организации, вообще результат отнесения объекта в одну из заданных категорий (градаций); множество, например, совокупность научных организаций, занимающихся определенной тематикой; слово, предложение, текст, которые в памяти компьютера кодируются, как известно, с помощью цифр 0 и 1, но числами от этого не становятся; вектор, координаты которого - совокупность значений разнотипных признаков, например, результат составления статистического отчета о научно-технической деятельности (например, форма «1-наука»), в котором часть признаков носит качественный характер, а часть - количественный; ответы на вопросы социологической анкеты, часть из которых носит количественный характер (возможно, интервальный, т.е. респондент свое мнение выражает не числом, а интервалом), часть сводится к выбору одной из нескольких подсказок, а часть представляет собой тексты; упорядочение экспертом заявок на проведение научных работ при проведении конкурсов на выделение грантов; результаты контроля выполнения заданий по научно-техническим программам, вообще планов научных работ, по альтернативному признаку (выполнена или не выполнена конкретная позиция плана); разбиения объектов на группы сходных между собой (кластеры); ранжировки, например, упорядочения экспертами научных проектов по степени предпочтения (на одной из стадий процесса распределения грантов); толерантности, т.е. бинарные отношения, описывающие сходство объектов между собой, например, сходство тематики научных работ, оцениваемого экспертами с целью рационального формирования экспертных советов внутри определенной области науки; результаты парных сравнений и т.д. Интервальные данные тоже можно рассматривать как пример объектов нечисловой природы.
	На развитие статистики нечисловых данных большое стимулирующее влияние оказывают запросы прикладных исследований, прежде всего в социально-экономической области. Так, многолетний (с 1970 г.) опыт проведения социологических и маркетинговых исследований, а в последнее время - анализа и прогнозирования потребительских цен и индекса инфляции, исследований рынка товаров народного потребления, образовательных услуг, программного обеспечения - привел к постановкам ряда нерешенных задач в области статистических методов анализа и прогнозирования на основе нечисловых данных.
	Однако приходится с сожалением констатировать, что ряд теоретических разработок пока не доведен до уровня методик, математического и программного обеспечения. Этим мы занимались в рамках работы по алгоритмизации и применению основных идей, подходов и методов рассматриваемого научного направления для анализа статистических данных о научных организациях России. На основе современных представлений о проведении социологических исследований и о методах анализа собранных данных разрабатывались соответствующие статистические методы, математическое и программное обеспечение. Поскольку нечисловые данные составляют до 90% данных в социологии и большую часть - в экономике, то теоретические исследования в статистике нечисловых данных позволяют получать новые результаты в той центральной области эконометрики, в которой отечественные работы имеют приоритет на мировом уровне.
	Для анализа данных о научных организациях России, об их научном потенциале весьма важны методы классификации, в том числе типологии. Проблемами теории и практики классификации в нашей стране занимались многие научные работники. С 1984 г. в рамках Союза научных и инженерных обществ действует «Комиссия по классификации», объединившая усилия нескольких десятков специалистов различных научных областей. Итоги более чем двадцатипятилетней работы нашей комиссии показали, в частности, что наиболее естественно ставить и решать задачи классификации в рамках статистики объектов нечисловой природы. Это касается как распознавания образов с учителем (дискриминантного анализа), так и распознавания образов без учителя (кластерного анализа). 
	Примеры возможных применений современных статистических методов анализа выборочных данных в задачах изучения и управления научным потенциалом. В силу целого ряда причин (высокая динамика изменений, потребность в оперативной информации для принятия решений и т.д.) возникает острая необходимость регулярного проведения оперативных обследований научных организаций и социологических опросов ученых. Эта задача может быть успешно решена только путем проведения выборочных обследований [11]. Обсудим примеры возможных применений современных статистических методов анализа выборочных данных в задачах изучения и управления научным потенциалом.
	1. Изучение показателей научной деятельности, в частности, изучение предпочтений научных работников, руководителей научных организаций и профессионалов-управленцев, экспертно-статистический подход к построению интегральных показателей (рейтингов).
	Статистический и экспертный анализ показателей науки, выявление их рейтинга (какие показатели являются наиболее значимыми с учетом общепринятых международных стандартов в статистике науки).
	Как оценивать эффективность науки? В какой мере общепринятые показатели результативности науки (публикации, патенты, лицензии, индексы цитируемости и т.д.) отражают реальную эффективность науки?
	2. Кластеризация научных организаций, выделение типов. При обсуждении вопросов финансирования, организационных преобразований, перспективного развития необходимо к различным типам научных организаций подходить дифференцированно. Насколько принятая типология научных организаций соответствует тем или иным аналитическим задачам? Сколько типов существует реально? Какова естественная типология научных организаций? Если такая типология излишне сложна, не удастся ли ее упростить, рассматривая научные организации с определенных практических позиций - с точки зрения научного уровня, отдачи, финансирования, перспективности и выживания и т.д.
	Представляет также интерес структура научных советов, комиссий и других форм деятельности ученых, особенно в ситуации, когда через такие структуры идет финансирование.
	3. Рейтинги проектов, научных организаций и др. В рамках достаточно однородной совокупности проектов НИР, заявок на гранты, научных организаций и т.д. с помощью методов многомерного статистического анализа можно выявить основные направления вариации. Однако главный фактор, вопреки распространенному способу интерпретации результатов факторного анализа (или метода главных компонент), не всегда соответствует оси «эффективность - неэффективность». Тем не менее, идея рейтинга (интегрального показателя качества) заслуживает проработки. Можно указать несколько подходов. Для решения этой задачи можно использовать три варианта экспертно-статистического метода интегральной оценки перспективности научного направления или научной организации: 
	по интегральному показателю (линейная функция, параметры которой - показатели науки, а значения коэффициентов получаются от экспертов);
	по обучающим выборкам, полученным от квалифицированных экспертов;
	с помощью оценки параметров интегрального показателя по обучающим выборкам (собственно экспертно-статистический метод).
	4. Расчет и краткосрочное прогнозирование показателей науки. Важнейшее значение для принятия управленческих решений в сфере науки имеет прогнозирование таких показателей как занятость, средняя зарплата в секторе «Наука и научное обслуживание» и др., особенно с учетом эффекта изменения макроэкономических показателей (в частности, индекса инфляции, курсов доллара, евро и других валют) и влияния тех или иных мер (экономических, законодательных, налоговых, таможенных и т.д.), предпринимаемых на государственном уровне.
	5. Применение современных статистических методов анализа нечисловых и интервальных данных. Использование статистики объектов нечисловой природы в выборочных обследованиях дает возможность реализовать идеи, изложенные в упомянутом выше сборнике [6]. В частности, регрессионный анализ в пространствах разнотипных признаков (объектов нечисловой природы) даст возможность оценить эффективность финансирования, а статистика интервальных данных позволит учесть неизбежные неточности в имеющихся данных.
	6. Анализ существующей системы приоритетов отечественной науки с точки зрения объемов базового финансирования отдельных институтов, структуры государственных научно-технических программ, системы бюджетных и внебюджетных фондов, проведения экспертных опросов ведущих ученых и специалистов. Выявление наиболее перспективных направлений развития российской науки, выделение приоритетных технологий, сопоставление научно-технического развития России и развитых стран.
	7. Оценка основных тенденций развития научной сферы за последние годы (изменение структуры сети научных организаций по ведомственному признаку, численности, эффективности функционирования, направлениям исследований и т.д.). Выявление закономерностей между основными количественными и качественными показателями развития науки и базовыми макроэкономическими показателями с последующим моделированием процессов, происходящих в сфере науки, в их взаимосвязи с инновационными процессами в экономике и социальной сфере.
	8. Выделение «групп риска». Частный случай обсуждаемых выше задач - выделение (по формальным - отчетным - признакам) научных организаций, само существование которых оказывается под вопросом в ближайшем будущем.
	Прогноз «выживаемости» НИИ может быть построен с помощью обучающих выборок на основе непараметрических оценок плотности в пространстве разнотипных признаков, часть координат которых - количественные признаки, а часть - качественные.
	Существует много других интересных проблем. Например, выявление цикличности развития научно-технического потенциала страны, изучение динамики реальной и формальной структуры науки, форм примитивизации научной деятельности и научной продукции в условиях резкого спада производства и сокращения финансирования научного труда, проблемы отражения в общественном сознании и в самосознании научного сообщества специфики научной деятельности (включая анализ распространенных догм) и др.
	Применение современных статистических методов в выборочных исследованиях научных организаций позволяет получать результаты, интересные с теоретической точки зрения и полезные для практики управляющих воздействий на развитие российской науки. 

13.6. Статистические методы в изучении
способных к математике школьников

	Автор много лет работал в Вечерней математической школе (ВМШ) при Московском математическом обществе, в 1969-1977 гг. был ее директором. Статистические методы использовались нами как для решения задач управления образовательным учреждением, так и для изучения способных к математике школьников с целью повышения эффективности процесса обучения.
	ВМШ создана в 1963 г. профессором Е.Б. Дынкиным как дальнейшее развитие системы математических кружков при МГУ им. М.В. Ломоносова. Ее цель - способствовать математическому развитию школьников, расширять их математический кругозор. Вначале основную массу составляли учащиеся 8-10 классов, а затем, с развитием системы дневных физико-математических школ, - учащиеся 5-8 классов. Численность учеников ВМШ колебалась в разные годы от 300 до 1400 (1971 г.). Общая информация о ВМШ приведена в сборниках серии «Математическая школа. Лекции и задачи» (издательство МГУ им. М.В. Ломоносова, 1965 – 68, выпуски I – XIV, доступны в Интернете: http://ilib.mccme.ru/djvu/msch/index.html) и в работе [2]. ВМШ мы рассматривали как полигон для отработки нового содержания и новых форм внеклассной работы по математике в средних классах общеобразовательной школы. Необходимо было подготовить тексты занятий ВМШ и задач, предлагаемых школьникам, а также отработать письменные формулировки и стиль изложения. Для этого в журнале «Пионер» (тираж – 1,5 млн. экземпляров) организован отдел «Встречи с тремя Неизвестными» (имеются в виду постоянные персонажи отдела Икс, Игрек и Зет). В этом отделе только автором настоящего учебника с 1970 г. по 1977 г. было опубликовано 48 статей и заметок. Ряд материалов помещен в журнале «Квант». В отличие от «Пионера», этот журнал имеется в Интернете (http://kvant.mccme.ru/). 
	На основе разработок ВМШ по заказу Академии педагогических наук СССР составлено пособие для учителей «Внеклассная работа по математике в 6-8 классах» [12]. Оно выпущено издательством «Просвещение» в 1977 и 1984 гг. общим тиражом 0,5 млн. экз. Книга переведена на молдавский, литовский, казахский, таджикский, болгарский языки. Опыт ВМШ широко используется; созданное на его основе пособие есть практически в каждой школе. И не только в России. 
	Особое внимание уделялось внедрению в преподавание различных разделов прикладной математики. Так, впервые адаптирована для учащихся средней школы модель Вильсона теории управления запасами (см. раздел 8.3 выше). Изложение основ теории вероятностей и математической статистики начиналось с постановки задачи о проверке статистической гипотезы о том, что для дефектных изделий в партии составляет 23% (см. главу 10 выше).
	Для повышения эффективности деятельности ВМШ признано полезным ее осмысление с научных позиций. Для этого в составе ВМШ был создан научно-исследовательский сектор, деятельность которого развивалась по двум направлениям – анкетные обследования школьников и разработка математических моделей отдельных сторон обучения математике. Некоторые итоговые результаты работ в первом направлении рассматриваются ниже и освещены в [2]. Во втором направлении разработаны две модели – оптимального распределения времени между активным (решение задач) и пассивным (слушание лекций, чтение литературы) усвоением материала [13, разд. 3.5.4] и расчета оптимального числа преподавателей.
	Анкетные обследования мы рассматривали как способ методами социологии получить представление о социально-психологических характеристиках больших совокупностей способных к математике школьников. Первое анкетирование учеников ВМШ было проведено в 1970 г. Получено около 1000 анкет. В их обработке участвовали А.Н. Аверкин и другие сотрудники ВМШ. Ряд результатов приведен в [2].  
	В частности, изучались маркетинговые коммуникации образовательных услуг, оказываемых ВМШ. Распространение и информации о наборе в ВМШ было организовано так.
	1. Учащиеся связанных с ВМШ средних школ (т.е. школ, в которые обычно переходили ученики ВМШ в конце учебного цикла) получали по два объявления о начале занятий ВМШ. Одно из объявлений предлагалось вывесить в прежней школе (где учился до перехода в математическую школу), а второе – отдать родителям для информирования их коллег по работе. Так распространялось до 1000 объявлений. 
	2. Помещались заметки в печати (журналы «Пионер», «Квант», газеты).
	3. Делались объявления на городских и районных собраниях учителей.
	В ноябре 1970 г. все ученики ВМШ отвечал на анкету, где был и вопрос: «Откуда узнал о ВМШ?» Результаты обработки ответов на этот вопрос приведены в табл. 13.1.
	Обращает на себя внимание малое число узнавших о ВМШ из объявлений. Создается впечатление, что объявления как средство распространения информации не играют большой роли, от них можно отказаться. Однако более глубокий анализ показывает, что подобное заключение – неверное. Дело в том, что объявления распространяют учащиеся дневных школ, связанных с ВМШ, тем самым они (учащиеся) являются носителями информации о начале работы ВМШ. Эту информацию они передают знакомым школьникам и учителям, а также родителям. Мы видим, что информация, дошедшая до многих будущих учеников ВМШ через знакомых, родителей, учителей, имела своим источником объявления, отказ от которых, таким образом, не оправдан.

Таблица 13.1
Ответы на вопрос: «Откуда узнал о ВМШ?»
Откуда узнал о ВМШ	Из печати 	От знакомых, одноклассников, друзей	От родителей и родственников	
Класс	5-6	7	8	5-6	7	8	5-6	7	8	
% ответов	30	29	27	28	33	45	28	15	7	
Откуда узнал о ВМШ	От учителя	Из объявления	Прочие ответы	
Класс	5-6	7	8	5-6	7	8	5-6	7	8	
% ответов	10	12	12	2	4	3	2	7	6	

	Результаты анкетного обследования были использованы руководством ВМШ при планировании работы. Так, анкета показала, что учителя и почтовые объявления играют сравнительно малую роль как источники информации о ВМШ, в отличие от  публикаций в печати и устной информации [2]. В частности, рассылка объявлений по школам с помощью почты была признана неэффективной, поскольку, как показала проверка, при этом информация обычно не доходит до учеников. Поэтому мы практически отказались от обращений к учителям и рассылки объявлений по почте, а силы сосредоточили на публикациях в журналах и газетах, на «командировании учащихся физико-математических школ в «родные» им школы для распространения информации о ВМШ.
	В 1972 г. 150 победителям третьей Олимпиады жунала «Пионер» разосланы анкеты. Возвращенные 50 анкет были обработаны Д.А. Модель и нами. Результаты частично опубликованы, в частности, в [2]. Результаты этого обследования имели большое значение для организации работы отдела «Встречи с тремя Неизвестными» журнала «Пионер». Например, выявлено явное предпочтение (со стороны читателей) задач последовательному изложению материала. А среди задач – алгоритмическим, а не «на доказательство». Подтверждено положительное отношение к занимательности формулировок и т.д. (см. [2]). Обнаруженные предпочтения школьников - потребителей образовательных услуг были учтены и при составлении упомянутого выше пособия по внеклассной работ [12]. Полученные в результате анкетного обследования результаты были, в частности, использованы в дискуссиях с членами редакционно-издательского совета министерства просвещения СССР.
	В 1975 г. совместно с НИИ общей и педагогической психологии (НИИ ОиПП) Академии педагогических наук СССР проведено углубленное анкетирование учеников ВМШ. В соответствии с планом исследования анкет всех видов было получено около 400. Со стороны НИИ ОиПП руководителями работы являлись докт. псих. наук Н.С. Лейтес и канд. псих. наук И.В. Дубровина. Рабочая группа со стороны ВМШ действовала под нашим руководством и включала в себя Г.А. Гусейнова, Д.А. Модель, С.Д. Ошанина, В.Б. Шехтмана, М.П. Шпильрейна. Анкеты и результаты обработки переданы в НИИ ОиПП. Ниже рассматриваем лишь один из результатов обработки данных, представляющий методический интерес с точки зрения статистических методов.
	По решению Правления ВМШ от 19 октября 1975 г. учащиеся ВМШ заполнили анкеты из двух частей – «для заполнения на занятиях» (30 вопросов) и «для заполнения дома» (38 вопросов). Ряд вопросов состоял из нескольких подвопросов. Ответы на некоторые из вопросов давались в свободной форме и не подлежали количественной обработке. Руководители групп ВМШ заполнили карты на каждого ученика своих групп. В карте – 22 вопроса. В результате на каждого ученика заполнено 3 документа общим объемом 10 машинописных страниц. Такой большой объем информации на каждого ученика был продиктован интересами специалистов по педагогической психологии. 
	Представлялось целесообразным использовать результаты опросов для построения типологии способных к математике школьников с учетом их социально-психологических свойств. Предполагалось, что для каждого типа будет построена своя оптимальная система обучения. Так, при анализе анкет победителей олимпиады журнала «Пионер» (см. выше) установлено, что одним больше нравятся те области математики, в которых «задачи легче получаются», другим – те, где «задачи самые трудные». Видимо, оптимальные системы обучения для этих двух типов учащихся различаются.
	Естественно предположить, что требуемую типологию можно получить с помощью кластер-анализа ответов школьников на вопросы некоторой «анкеты» (кроме анкеты в обычном смысле, могут применяться описанные выше «карты» и специальные тесты). Построение типологий с помощью традиционных методов рассмотрено ВА. Крутецким, Н.С. Лейтесом и др. Прообразом подобной анкеты является та, что применялась в описываемом исследовании. 
	При формировании групп для обучения по разным оптимальным программам отнесение школьника к определенному типу будет происходить по ответам на анкету. Поэтому желательно иметь анкету с возможно меньшим числом вопросов (считая, что вопросы примерно равноценны по трудоемкости, по затратам на получение ответов). Добиться этого можно, оставив по одному из каждой группы вопросов, ответы на которые близки, т.е. из каждого кластера, выделенного при решении задач кластер-анализа вопросов.
	Для «пилотажного» исследования в рамках намеченной программы были выбраны 10 вопросов. Ответы на каждый из них – результаты измерений в шкале наименований (в терминологии теории измерений – см. разд. 11.3 выше). Перейдем к общей терминологии: вопрос – это признак, ответ на вопрос – это значение признака. Некоторым вопросам изначально соответствовали количественные признаки. Переход к номинальным признакам делался путем введения градаций (см. ниже) с целью повышения устойчивости ответов, интерпретируемости, а также возможности применения соответствующего математического аппарата. Всего выделено 80 градаций. 
	Анализировались ответы на следующие вопросы.
	1. Единственный ребенок или нет.
	2. Среднее время, затрачиваемое в день на выполнение домашних заданий (градации: до 0,5 часа; 0,5 – 1 час; 1 – 1,5 часа; и т.д.).
	3. Любимый предмет в школе.
	4. Интересующая область знания.
	5. Чем занимается в свободное время (градации: искусством; спортом; наукой и техникой; спортом и искусством; прогулками; и т.п.).
	6. В каких кружках, кроме ВМШ, занимается (градации: ни в каких; в спортивном; в техническом; в математическом; в музыкальном; в гуманитарном; в техническом и математическом; в спортивном, техническом и музыкальном; и т.д.).
	7. Какой областью искусства интересуется (градации: литературой; кино и театром; рисованием; и т.д.).
	8. Занимается спортом или нет.
	9. Какой общественной работой занимается (градации: ответственной – председатель совета отряда, звеньевой и т.п.; стенгазетой; и т.д.).
	10. Какие качества человека ему нравятся (градации: интеллектуальные (ум); моральные (честность, верность); веселость, остроумие; деловые качества; всевозможные сочетания перечисленных).
	Обрабатывались анкеты 46 пятиклассников.
	Для применения алгоритмов кластер-анализа необходимо получить матрицу попарных расстояний между признаками (вопросами). Поставим k-му признаку в соответствие матрицу , где , если i-й и j-й ученики одинаково ответили на k-й вопрос, и  в противном случае. Таким образом, матрица  задает разбиение множества всех опрошенных на группы одинаково ответивших на k-й вопрос. В качестве расстояния между p-м и q-м признаками (вопросами) будем использовать расстояние Кемени (см. разд.11.6 выше) между разбиениями rp и rq учеников на группы одинаково ответивших на p-й и q-й вопросы:
.
Рассчитанные по анкетам расстояния приведены в табл. 13.2 (вычисления проведены Г.А. Гусейновым). Данные табл. 13.2 – исходные для работы трех алгоритмов кластер-анализа: ближайшего соседа, дальнего соседа (см. разд. 6.4) и алгоритма максимизации суммы существенных внутренних связей, предложенного в работе Куперштоха В.Л., Миркина Б.Г. и Трофимова В.А.

Таблица 13.2
Расстояния между социально-психологическими признаками
способных к математике школьников 
p, q	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	
1	0										
2	1028	0									
3	1028	608	0								
4	1050	688	610	0							
5	1012	686	636	634	0						
6	1006	566	538	616	562	0					
7	1012	1026	748	692	774	732	0				
8	960	1088	1144	1122	1120	1130	1110	0			
9	1026	878	874	830	836	802	904	1040	0		
10	990	744	674	744	718	580	814	1090	830	0	

	Примечание. Матрица симметрична относительно главной диагонали, поэтому в табл. 13.2 приведены только элементы, стоящие на главной диагонали и расположенные ниже нее.

	В работе Куперштоха В.Л., Миркина Б.Г. и Трофимова В.А. предлагается находить разбиение из условия 
,
где R = {R1, R2, …, Rm} – искомое разбиение, apq – показатель связи между p-м и q-м признаками, a – параметр алгоритма. Для рассматриваемых данных положили apq = n2 – dpq, где n = 10 – число классифицируемых признаков. 
	Только что сформулированная оптимизационная задача в вычислительном плане достаточно сложна. В работе Куперштоха В.Л., Миркина Б.Г. и Трофимова В.А. предложен эвристический алгоритм её решения, который независимо от его связи с оптимизационной остановкой представляет собой некоторый алгоритм кластер-анализа. В 1976 г. мы приняли решение его использовать, т.к. в то время он представлялся наиболее соответствующим задаче, обоснованным и современным. На программирование и расчеты у Г.А. Гусейнов ушло полгода. Результаты представлены в табл. 13.3. В столбце «значение параметра» приведено значение а, при котором впервые появляется разбиение, указанное в следующем столбце. Оно сохранялось при увеличении а вплоть до значения, данного в следующей строке.

Таблица 13.3
Классификация признаков по методу Куперштоха В.Л., Миркина Б.Г. и Трофимова В.А. при различных значениях параметра а
Шаг	Параметр a	Кластеры	
1	538	{3, 6}, {1}, {2}, {4}, {5}, {7}, {8}, {9}, {10} 	
2	580	{2, 3, 6}, {1}, {4}, {5}, {7}, {8}, {9}, {10}	
3 	608	{2, 3, 5, 6}, {1}, {4}, {7}, {8}, {9}, {10}	
4	634	{2, 3, 4, 5, 6}, {1}, {7}, {8}, {9}, {10}	
5	686	{2, 3, 4, 5, 6, 10}, {1}, {7}, {8}, {9}	
6	744	{2, 3, 4, 5, 6, 7, 10}, {1}, {8}, {9}	
7	874	{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}, {1}, {8}	
8	990	{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}, {1, 8}	
9	1040	{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}, {8}	
10	1090	{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}	

	В соответствии с общими положениями теории классификации, рассмотренными в разделе 6.4, все алгоритмы кластер-анализа должны давать близкие с содержательной точки зрения результаты, если задача разбиения на кластеры имеет решение. Поэтому мы применили к данным табл. 13.2 два иерархических агломеративных алгоритма типа «Дендрограмма» - ближайшего соседа и дальнего соседа. По каждому из алгоритмов ручной счет занял 2 - 3 часа. Результаты представлены в табл. 13.4 и табл. 13.5 соответственно. В столбцах «Параметр а» приведены расстояния между кластерами, при которых происходят очередные объединения.

Таблица 13.4
Классификация признаков по методу ближайшего соседа
при различных значениях параметра а
Шаг	Параметр a	Кластеры	
1	538	{3, 6}, {1}, {2}, {4}, {5}, {7}, {8}, {9}, {10} 	
2	562	{3, 5, 6}, {1}, {2}, {4}, {7}, {8}, {9}, {10}	
3 	566	{2, 3, 5, 6}, {1}, {4}, {7}, {8}, {9}, {10}	
4	580	{2, 3, 5, 6, 10}, {1}, {4}, {7}, {8}, {9}	
5	610	{2, 3, 4, 5, 6, 10}, {1}, {7}, {8}, {9}	
6	692	{2, 3, 4, 5, 6, 7, 10}, {1}, {8}, {9}	
7	802	{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}, {1}, {8}	
8	960	{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}, {1, 8}	
9	990	{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}	

	Содержательные выводы, приведенные в [2], сохраняются и при анализе табл. 13.4 и табл. 13.5. (Выводы относятся к педагогической психологии и методике математики, поэтому здесь их не приводим.) Результаты обработки реальных данных табл. 13.2 тремя алгоритмами подтверждают вывод общей теории классификации (разд. 6.4) о целесообразности использования в задачах кластер-анализа наиболее простых в расчетном смысле алгоритмов. 

Таблица 13.5
Классификация признаков по методу дальнего соседа
при различных значениях параметра а
Шаг	Параметр a	Кластеры	
1	538	{3, 6}, {1}, {2}, {4}, {5}, {7}, {8}, {9}, {10} 	
2	608	{2, 3, 6}, {1}, {4}, {5}, {7}, {8}, {9}, {10}	
3 	634	{2, 3, 6}, {4, 5}, {1}, {7}, {8}, {9}, {10}	
4	688	{2, 3, 4, 5, 6}, {1}, {7}, {8}, {9}, {10}	
5	744	{2, 3, 4, 5, 6, 10}, {1}, {7}, {8}, {9}	
6	878	{2, 3, 4, 5, 6, 9, 10}, {1}, {7}, {8}	
7	960	{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}, {1, 8}, {7}	
8	1026	{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}, {1, 8}	
9	1144	{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}	

	Обсудим одну встречающуюся в литературе рекомендацию. Все три использованных нами алгоритма являются однопараметрическими. Для однопараметрических алгоритмов в работах ряда авторов предлагается выделять разбиения, которым соответствуют наибольшие интервалы устойчивости по параметру, т.е. наибольшие разности значений параметров в соседних строках таблиц 13.3 – 13.5. Предполагается, что эти разбиения являются «наиболее объективными». В табл. 13.6 приведены наиболее устойчивые по параметру разбиения, построенные по данным табл. 13.2 (строки а)), а также «вторые по устойчивости» (строки б)). Различие одноименных строк в табл. 13.6, соответствующих трем алгоритмам, говорит о необоснованности рекомендации, предложенной в критикуемых работах. Содержательные выводы мы делаем по всей «дендрограмме», а не по наиболее устойчивому разбиению [2].

Таблица 13.6
Наиболее устойчивые по параметру разбиения на кластеры
Название метода 
кластер-анализа	Наиболее устойчивые по параметру
разбиения на кластеры	
Метод максимизации суммы
существенных внутренних связей	а) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 10}, {1}, {8}, {9}
б) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}, {1}, {8}	
Метод ближайшего соседа	а) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}, {1}, {8}
б) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 10}, {1}, {8}, {9}	
Метод дальнего соседа	а) {2, 3, 4, 5, 6, 10}, {1}, {7}, {8}, {9}
б) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9,  10}, {1,  8}	

	Необоснованность рассматриваемого предложения критикуемых авторов можно продемонстрировать не только на численных примерах, но и с помощью методологического анализа. Рассмотрим алгоритм ближайшего соседа, использующий меру близости d(x, y). Нетрудно видеть, что дендрограмма, полученная с его помощью, является инвариантной в порядковой шкале измерения меры близости d(x, y), т.е. не меняется при любом строго возрастающем преобразовании меры близости. Параметром в смысле, принятом в критикуемых работах, является численное значение меры близости между кластерами. Важны те ее значения, при которых происходит объединение кластеров. Покажем, что «наиболее устойчивое по параметру разбиение» не является инвариантным в порядковой шкале. Более того, при соответствующем подборе преобразования меры близости в качестве «наиболее устойчивого по параметру» может оказаться любое разбиение, даваемое «обрезанием» дендрограммы на том или ином уровне. Построение элементарно: выбрав произвольный интервал между соседними объединениями кластеров, рассмотрим любое строго возрастающее преобразование, оставляющее этот интервал на месте и переводящее верхний и нижний лучи оси изменения параметра в малые интервалы, примыкающие к концам неподвижного интервала. 
	Можно получить опровержение метода критикуемых работ, ограничившись более узкими семействами преобразований. Рассмотрим степенные преобразования: . Пусть при d = d1 объединяются последние два кластера, а предыдущее объединение произошло при d = d2 – после него остались эти два кластера Поскольку
,
то при достаточно большом  «наиболее объективном» по мнению критикуемых авторов будет разбиение на два кластера!
	В чем причина несостоятельности рассматриваемого предложения? Устойчивость рассматривается односторонне – относительно изменения параметра в данном алгоритме, но не относительно перехода к другому алгоритму. Стоит сделать такой переход, как «устойчивое» разбиение становится крайне неустойчивым.
	В социологии с успехом используются самые разные статистические методы, позволяющие получать в рамках данной предметной области полезные теоретические и практические выводы и рекомендации. Статистические методы социологии активно развиваются. В частности, на недавних конференциях широко обсуждалась теория люсианов (см. [7] и разд. 13.2 выше).

Литература

1. Шляпентох В.Э. Социология для всех: некоторые проблемы, результаты, методы. - М.: Советская Россия, 1970. – 250 с.
2. Орлов А.И. О теоретических основах внеклассной работы по математике и опыте Вечерней математической школы при Московском математическом обществе / Бюллетень №2 Всесоюзного центра статистических методов и информатики. - М.: ВЦСМИ, 1991. – 48 с. 
3. Орлов А.И. Статистические методы в российской социологии (тридцать лет спустя) // Социология: методология, методы, математические модели. 2005. No.20. С.32-53.
4. Толстова Ю.Н. Математические методы в социологии // Социология в России. Под ред. В.А. Ядова. - 2-е изд., перераб. и дополн. - М.: Издательство Института социологии РАН, 1998. - С.83-89, 98-103.
5. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. -М.: Наука, 1979. – 296 с.
6. Анализ нечисловой информации в социологических исследованиях. / Под ред. В.Г. Андреенкова, А.И. Орлова, Ю.Н. Толстовой. - М.: Наука, 1985. – 200 с.
7. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование: учебник : в 3 ч. Часть 1: Нечисловая статистика. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. – 2009. – 541 с.
8. Орлов А.И. Случайные множества с независимыми элементами (люсианы) и их применения. – В сб.: Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного статистического анализа. Ученые записки по статистике, т.36. - М.: Наука, 1980. - С. 287-308. 
9. Титма М.Х., Тоодинг Л.М. Математические методы в арсенале социолога // Социологические исследования. - 1986. - №4. - С.123-128.
10. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения: Том 2. – М.: Мир, 1984. – 738 с.
11. Орлов А.И., Нечаева Е.Г., Соколов А.В. Статистика объектов нечисловой природы и анализ данных о научном потенциале // Социология: методология, методы, математические модели. - 1995. - № 5-6. - С.118-136.
12. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Изд. 2-е, исправленное и дополненное. - М.: Просвещение, 1984. - 288 с. 
13. Орлов А.И. Менеджмент: организационно-экономическое моделирование. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2009. - 475 с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Расскажите о развитии статистических методов в отечественной социологии.
2. Дайте определение понятию «люсиан».
3. Для проверки каких статистических гипотез используют теорию люсианов?
4. Как рекомендуют выбирать число градаций в социологических анкетах на основе изучения асимптотики квантования?
5. Как применяют асимптотику квантования в логистике? 
6. Чем неформальный лидер отличается от формального?
7. Почему менеджеру полезно социометрическое исследование?
8. Для решения каких практических задач применяют выборочные исследования научных организаций?
9. Как анкетные исследования помогают повышать эффективность маркетинговых коммуникаций в области образовательных услуг?
10. Расскажите об использовании опросов в сочетании с методами кластер-анализа для построения типологии учащихся. 
 
Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1. Статистические данные в социологии и методы их анализа.
2. Построение непараметрической теории парных сравнений на основе теории люсианов.
3. Несмещенные оценки в теории люсианов.
4. Принцип уравнивания погрешностей и выбор числа градаций в социологических анкетах.
5. Тождество Вальда для математического ожидания суммы случайного числа случайных слагаемых.
6. Асимптотическая теория суммирования случайного числа случайных слагаемых. 
7. Современные методы социометрии.
8. Динамика статистических показателей, характеризующих состояние науки в России.
9. Статистические методы в науковедении и управлении наукой.
10. Наукометрия как область научных и прикладных исследований с интенсивным использованием статистических методов. 
11. Статистические методы в педагогических исследованиях. 

Часть 4. Инструменты, история и перспективы 
статистических методов

Глава 14. Теоретические инструменты статистических методов

	В настоящей главе собраны основные математические утверждения, постоянно используемые при обосновании статистических методов. Эти утверждения отнюдь не всегда легко найти в литературе по теории вероятностей и математической статистике. Например, такие рассматриваемые далее теоремы и методы, как многомерная центральная предельная теорема, теоремы о наследовании сходимости и метод линеаризации, даже не включены в энциклопедию «Вероятность и математическая статистика» [1] – наиболее полный, по мнению составителей, свод знаний по заявленной тематике. Последний факт наглядно демонстрирует разрыв между математической дисциплиной «теория вероятностей и математическая статистика» и потребностями прикладной статистики и других статистических методов. 

14.1. Законы больших чисел 

	Законы больших чисел позволяют описать поведение сумм случайных величин. Примером является следующий результат, доказанный русским математиком П.Л. Чебышёвым (1821-1894) в 1867 г. Пусть сначала вероятностное пространство состоит из конечного числа элементов.
	Теорема Чебышёва. Пусть случайные величины Х1, Х2,…, Хk попарно независимы и существует число С такое, что D(Xi)<C при всех i = 1, 2, …, k. Тогда для любого положительного ε выполнено неравенство
   (14.1)
	Частным случаем теоремы Чебышева является теорема Бернулли – первый в истории вариант закона больших чисел. Известный математики Якоб Бернулли (1654-1705), живший в городе Базель в Швейцарии, в самом конце XVII века доказал это утверждение в рамках математической модели (опубликовано доказательство было лишь после его смерти, в 1713 году). Современная формулировка теоремы Бернулли такова. 
	Теорема Бернулли. Пусть m – число наступлений события А в k независимых (попарно) испытаниях, и р есть вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда при любом  справедливо неравенство
   (14.2)
	Ясно, что при росте k выражения в правых частях формул (14.1) и (14.2) стремятся к 0. Таким образом, среднее арифметическое попарно независимых случайных величин сближается со средним арифметическим их математических ожиданий.
	Выше шла речь лишь о пространствах элементарных событий из конечного числа элементов. Однако приведенные теоремы верны и в общем случае, для произвольных пространств элементарных событий. Однако в список условий закона больших чисел необходимо добавить требование существования дисперсий. Легко видеть, что если существуют дисперсии, то существуют и математические ожидания. Закон больших чисел в форме Чебышёва приобретает следующий вид.
	Теорема Чебышёва [2, с.147]. Если Х1, Х2,…, Хk,… - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной, 
D(X1)<C, D(X2)<C,… D(Хi)<C,…
то, каково бы ни было постоянное ε > 0,
  (14.3)
	С точки зрения прикладных статистических исследований ограниченность дисперсий вполне естественна. Она вытекает, например, из ограниченности диапазона изменения практически всех величин, используемых при реальных расчетах. 
	В 1923 г. А.Я. Хинчин показал, что если случайные величины не только независимы, но и одинаково распределены, то существование у них математического ожидания является необходимым и достаточным условием для применимости закона больших чисел [2, с.150]. Найдены и более экзотические варианты закона больших чисел. Например, такой.
	Теорема [2, с.150 - 151]. Для того чтобы для последовательности Х1, Х2,…, Хk,…(как угодно зависимых) случайных величин при любом положительном ε выполнялось соотношение (14.3), необходимо и достаточно, чтобы при n → ∞

	Законы больших чисел для случайных величин служат основой для аналогичных утверждений для случайных элементов в пространствах более сложной природы. В частности, в пространствах произвольной природы. Однако здесь мы ограничимся классическими формулировками, служащими основой для современных статистических методов.
	Смысл классических законов больших чисел состоит в том, что выборочное среднее арифметическое независимых одинаково распределенных случайных величин приближается (сходится) к математическому ожиданию этих величин. Другими словами, выборочные средние сходятся к теоретическому среднему. 
	Это утверждение справедливо и для других видов средних. Например, выборочная медиана сходится к теоретической медиане. Это утверждение – тоже закон больших чисел, но не классический. 
	Существенным продвижением в теории вероятностей во второй половине ХХ в. явилось введение средних величин в пространствах произвольной природы и получение для них законов больших чисел, т.е. утверждений, состоящих в том, что эмпирические (т.е. выборочные) средние сходятся к теоретическим средним. 

14.2. Центральные предельные теоремы

	Простейший вариант Центральной предельной теоремы (ЦПТ) теории вероятностей таков.
	Центральная предельная теорема (для одинаково распределенных слагаемых). Пусть Х1, Х2,…, Xn, …– независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиями M(Xi) = m и дисперсиями D(Xi) = , i = 1, 2,…, n,… Тогда для любого действительного числа х существует предел 

где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения.
	Эту теорему иногда называют теоремой Линдеберга-Леви [3, с.122].
	В ряде прикладных задач не выполнено условие одинаковой распределенности. В таких случаях центральная предельная теорема обычно остается справедливой, однако на последовательность случайных величин приходится накладывать те или иные условия. Суть этих условий состоит в том, что ни одно слагаемое не должно быть доминирующим, вклад каждого слагаемого в среднее арифметическое должен быть пренебрежимо мал по сравнению с итоговой суммой. Наиболее часто используется теорема Ляпунова.
	Теорема Ляпунова - Центральная предельная теорема (для разнораспределенных слагаемых). Пусть Х1, Х2,…, Xn, …– независимые случайные величины с математическими ожиданиями M(Xi) = mi и дисперсиями D(Xi) = , i = 1, 2,…, n,… Пусть при некотором δ > 0 у всех рассматриваемых случайных величин существуют центральные моменты порядка 2+δ и безгранично убывает «дробь Ляпунова»:

где

Тогда для любого действительного числа х существует предел 
  (14.4)
где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения.
	В случае одинаково распределенных случайных слагаемых 

и теорема Ляпунова переходит в теорему Линдеберга-Леви. 
	История получения центральных предельных теорем для случайных величин растянулась на два века – от первых работ Муавра в 30-х гг. XVIII в. для необходимых и достаточных условий, полученных Линдебергом и Феллером в 30-х гг. XX в. 
	Теорема Линдеберга-Феллера. Пусть Х1, Х2,…, Xn, …– независимые случайные величины с математическими ожиданиями M(Xi) = mi и дисперсиями D(Xi) = , i = 1, 2,…, n,… Предельное соотношение (14.4), т.е. Центральная предельная теорема, выполнено тогда и только тогда, когда при любом τ > 0

где Fk(x) обозначает функцию распределения случайной величины Xk.
	Доказательства перечисленных в настоящем разделе центральных предельных теорем для случайных величин можно найти в классическом курсе теории вероятностей [2].
	Для обоснования многих статистических методов большое значение имеет многомерная центральная предельная теорема. В ней речь идет не о сумме случайных величин, а о сумме случайных векторов.
	 Необходимое и достаточное условие многомерной сходимости [3, с.124]. Пусть Fn обозначает совместную функцию распределения k-мерного случайного вектора , n = 1, 2, …, и Fλn – функция распределения линейной комбинации . Необходимое и достаточное условие для сходимости Fn  к некоторой k-мерной функции распределения F состоит в том, что Fλn имеет предел для любого вектора λ.
	Приведенная теорема ценна тем, что с ее помощью сходимость векторов сводится к сходимости линейных комбинаций их координат, т.е. к сходимости обычных случайных величин, рассмотренных ранее. Однако она не дает возможности непосредственно указать предельное распределение. Это можно сделать с помощью следующей теоремы.
	Теорема о многомерной сходимости [3]. Пусть Fn и Fλn – те же, что в предыдущей теореме. Пусть F - совместная функция распределения k-мерного случайного вектора . Если функция распределения Fλn сходится при росте объема выборки к функции распределения Fλ для любого вектора λ, где Fλ – функция распределения линейной комбинации , то Fn сходится к F. 
	Здесь сходимость Fn к F означает, что для любого k-мерного вектора  такого, что функция распределения F непрерывна в , числовая последовательность Fn сходится при росте n к числу F. Другими словами, сходимость функций распределения понимается точно так же, как при обсуждении предельных теорем для случайных величин выше. Приведем многомерный аналог этих теорем.
	Многомерная центральная предельная теорема [3]. Рассмотрим независимые одинаково распределенные  k-мерные случайные вектора

где штрих обозначает операцию транспонирования вектора. Предположим, что случайные вектора Un имеют моменты первого и второго порядка, т.е. 
М(Un) = μ, D(Un) = Σ,
где  μ – вектор математических ожиданий координат случайного вектора, Σ – его ковариационная матрица. Введем последовательность средних арифметических случайных векторов:

Тогда случайный вектор  имеет асимптотическое k-мерное нормальное распределение , т.е. он асимптотически распределен так же, как k-мерная нормальная величина с нулевым математическим ожиданием, ковариационной Σ и плотностью

Здесь |Σ| - определитель матрицы Σ. Другими словами, распределение случайного вектора  сходится к k-мерному нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Σ.
	Напомним, что многомерным нормальным распределением с математическим ожиданием μ и ковариационной матрицей Σ называется распределение, имеющее плотность 

	Многомерная центральная предельная теорема показывает, что распределения сумм независимых одинаково распределенных случайных векторов при большом числе слагаемых хорошо приближаются с помощью нормальных распределений, имеющих такие же первые два момента (вектор математических ожиданий координат случайного вектора и его корреляционную матрицу), как и исходные вектора. От одинаковой распределенности можно отказаться, но это потребует некоторого усложнения символики. В целом из теоремы о многомерной сходимости вытекает, что многомерный случай ничем принципиально не отличается от одномерного. 
	Пример. Пусть X1, … Xn ,…– независимые одинаково распределенные случайные величины. Рассмотрим k-мерные независимые одинаково распределенные случайные вектора

Их математическое ожидание – вектор теоретических начальных моментов, а ковариационная матрица составлена из соответствующих центральных моментов. Тогда  - вектор выборочных центральных моментов. Многомерная центральная предельная теорема утверждает, что  имеет асимптотически нормальное распределение. Как вытекает из теорем о наследовании сходимости и о линеаризации (см. ниже), из распределения  можно вывести распределения различных функций от выборочных начальных моментов. А поскольку центральные моменты выражаются через начальные моменты, то аналогичное утверждение верно и для них. 

14.3. Теоремы о наследовании сходимости

	Суть проблемы наследования сходимости. Пусть распределения случайных величин Xn при n → ∞ стремятся к распределению случайной величины Х. При каких функциях f можно утверждать, что распределения случайных величин f(Xn) сходятся к распределению f(X), т.е. наследуется сходимость? 
	Хорошо известно, что для непрерывных функций f сходимость наследуется [3]. Однако в статистических методах используются различные обобщения этого утверждения. Необходимость обобщений связана с тремя обстоятельствами.
	1) Статистические данные могут моделироваться не только случайными величинами, но и случайными векторами, случайными множествами, случайными элементами произвольной природы (т.е. функциями на вероятностном пространстве со значениями в произвольном множестве).
	2) Переход к пределу должен рассматриваться не только для случая безграничного возрастания объема выборки, но и в более общих случаях. Например, если в постановке статистической задачи участвуют несколько выборок объемов n(1), n(2), … , n(k), то вполне обычным является предположение о безграничном росте всех этих объемов (что можно описать и как min {n(1), n(2), … , n(k)} → ∞). 
	3) Функция f не обязательно является непрерывной. Она может иметь разрывы. Кроме того, она может зависеть от параметров, по которым происходит переход к пределу. Например, может зависеть от объемов выборок. Например, в главе 5 понадобилось рассмотреть функцию f = f(n(1), n(2), … , n(k)).
	Расстояние Прохорова и сходимость по направленному множеству. Введем необходимые для дальнейшего изложения понятия.
	Расстояние (метрика) Прохорова. Пусть С – некоторое пространство, А – его подмножество, d – метрика в С. Введем понятие ε-окрестности множества А в метрике d:
S(A,ε) = {x С: d(A,x) < ε}.
Таким образом, ε-окрестность множества А – это совокупность всех точек пространства С, отстоящих от А не более чем на положительное число ε. При этом расстояние от точки х до множества А – это точная нижняя грань расстояний от х до точек множества А, т.е. 
d(A,x) = inf{d(x,y): yA}.
	Пусть P1 и P2 – две вероятностные меры на С (т.е. распределения двух случайных элементов со значениями в С). Пусть D12 – множество чисел ε > 0 таких, что
P1(A) < P2(S(A,ε)+ε
для любого замкнутого подмножества А пространства С. Пусть D21 – множество чисел ε > 0 таких, что 
P2(A) < P1(S(A,ε)+ε
для любого замкнутого подмножества А пространства С. Расстояние Прохорова L(P1,P2) между вероятностными мерами (его можно рассматривать и как расстояние между случайными элементами с распределениями P1 и P2 соответственно) вводится формулой
L(P1,P2) = max (inf D12, inf D21).
С помощью метрики Прохорова формализуется понятие сходимости распределений случайных элементов в произвольном пространстве.
	Расстояние L(P1,P2) введено академиком РАН Юрием Васильевичем Прохоровым в середине ХХ в. и широко используется в современной теории вероятностей.
	Сходимость по направленному множеству [4, с.95-96]. Бинарное отношение > (упорядочение), заданное на множестве В, называется направлением на нем, если В не пусто и 
	(а) если m, n и p – такие элементы множества В, что m > n и n > p, то m > p;
	(б) m > m для любого m из B;
	(в) если m и n принадлежат B, то найдется элемент p из B такой, что p > m и p > n. 
	Направленное множество – это пара (В, >), где > - направление на множестве В. Направленностью (или «последовательностью по направленному множеству») называется пара (f, >), где f – функция, > - направление на ее области определения. Пусть f: B → Y, где Y – топологическое пространство. Направленность (f, >) сходится в топологическом пространстве Y к точке y0, если для любой окрестности U точки y0 найдется p из B такое, что f(q)U при любом q > p. В таком случае говорят также о сходимости по направленному множеству. 
	Пусть В = {(n(1), n(2), … , n(k))} – совокупность векторов, каждый из которых составлен из объемов k выборок. Пусть
(n(1), n(2), … , n(k)) > (n1(1), n1(2), … , n1(k))
тогда и только тогда, когда n(i) > n1(i) при всех i = 1, 2, …, k. Тогда (В, >) – направленное множество, сходимость по которому эквивалентна сходимости при min {n(1), n(2), … , n(k)} → ∞.
	Чтобы охватить различные частные случаи, целесообразно предельные теоремы формулировать в терминах сходимости по направленному множеству. Будем писать B = {α}. Пусть запись α→∞ обозначает переход к пределу по направленному множеству.
	Формулировка проблемы наследования сходимости. Пусть случайные элементы Xα со значениями в пространстве С сходятся при α→∞ к случайному элементу Х, где через α→∞ обозначен переход к пределу по направленному множеству. Сходимость случайных элементов означает, что L(Xα, X) → 0 при α→∞, где L – метрика Прохорова в пространстве С. 
	Пусть fα: C → Y – некоторые функции. Какие условия надо на них наложить, чтобы из L(Xα, X) → 0 вытекало, что L1(fα(Xα), fα(X)) → 0 при α→∞, где L1 – метрика Прохорова в пространстве Y? Другими словами, какие условия на функции fα: C → Y гарантируют наследование сходимости? 
	В работе [5] найдены необходимые и достаточные условия на функции fα: C → Y, гарантирующие наследование сходимости. Описанию этих условий посвящена оставшаяся часть подраздела. 
	Приведем для полноты изложения строгие формулировки математических предположений.
	Математические предположения. Пусть С и У – полные сепарабельные метрические пространства, Пусть выполнены обычные предположения измеримости: Хα и Х – случайные элементы С, fα(Хα) и fα(Х) – случайные элементы в У, рассматриваемые ниже подмножества пространств С и У лежат в соответствующих σ–алгебрах измеримых подмножеств, и т.д.
	Понадобятся некоторые определения. Разбиение Тn = {C1n, C2n, … , Cnn} пространства С – это такой набор подмножеств Cj, j = 1, 2, … , n, этого пространства, что пересечение любых двух из них пусто, а объединение совпадает с С. Диаметром diam(A) подмножества А множества С называется точная верхняя грань расстояний между элементами А, т.е. 
diam(A) = sup {d(x,y), xA, yA},
где d(x,y) – метрика в пространстве С. Обозначим ∂А границу множества А, т.е. совокупность точек х таких, что любая их окрестность U(x) имеет непустое пересечение как с А, так и с C\А. Колебанием δ(f, B) функции f на множестве B называется δ(f, B) = sup {|f(x) – f(y)|, xB, yB}.
	Достаточное условие для наследования сходимости. Пусть L(Xα,X) → 0 при α → ∞. Пусть существует последовательность Тn разбиений пространства С такая, что Р(Х∂А) = 0 для любого А из Тn и, основное условие, для любого ε > 0
		(14.5)
при n →∞ и α→∞, где сумма берется по всем тем А из Тn, для которых колебание функции fα на А больше ε, т.е. δ(fα, А) > ε. Тогда L1(fα(Xα), fα(X)) → 0 при α→∞.
	Необходимое условие для наследования сходимости. Пусть У – конечномерное линейное пространство, У = Rk. Пусть случайные элементы fα(X) асимптотически ограничены по вероятности при α→∞, т.е. для любого ε > 0 существуют число S(ε) и элемент направленного множества α(ε) такие, что Р(||fα(X)||> S(ε))<ε при α > α(ε), где ||fα(X)|| - норма (длина) вектора fα(X). Пусть существует последовательность Тn разбиений пространства С такая, что
,
т.е. последовательность Тn является безгранично измельчающейся. Самое существенное – пусть условие (14.5) не выполнено для последовательности Тn. Тогда существует последовательность случайных элементов Xα такая, что L(Xα,X) → 0 при α → ∞, но L1(fα(Xα), fα(X)) не сходится к 0 при α → ∞.
	Несколько огрубляя, можно сказать, что условие (14.5) является необходимым и достаточным для наследования сходимости. 
	Пример 1. Пусть С и У – конечномерные линейные пространства, функции fα не зависят от α, т.е. fα ≡ f, причем функция f ограничена. Тогда условие (14.5) эквивалентно требованию интегрируемости по Риману-Стилтьесу функции f по мере G(A) = P(XA). В частности, условие (14.5) выполнено для непрерывной функции f.
	В конечномерных пространствах С вместо сходимости L(Xα,X) → 0 при α → ∞ можно говорить о слабой сходимости функций распределения случайных векторов Xα к функции распределения случайного вектора X. Речь идет о «сходимости по распределению», т.е. о сходимости во всех точках непрерывности функции распределения случайного вектора X. В этом случае разбиения могут состоять из многомерных параллелепипедов [5, гл.2]. 
	Пример 2. Полученные выше результаты дают обоснование для рассуждений типа следующего (ср., например, утверждения в главе 5 выше). Пусть по двум независимым выборкам объемов m и n соответственно построены статистики Xm и Yn. Пусть известно, что распределения этих статистик сходятся при безграничном росте объемов выборок к стандартному нормальному распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Пусть a(m, n) и b(m, n) – некоторые коэффициенты. Тогда согласно результатам примера 1 распределение случайной величины Z(m, n) = a(m, n)Xm + b(m, n)Yn сближается с распределением нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием 0 и дисперсией a2(m, n) + b2(m, n). Если же a2(m, n) + b2(m, n) = 1, например,
,
то распределение Z(m, n) сходится при безграничном росте объемов выборок к стандартному нормальному распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.

14.4. Метод линеаризации

	При разработке статистических методов часто возникает следующая задача [3, с.338]. Имеется последовательность k-мерных случайных векторов Xn = (X1n, X2n, … , Xkn), n = 1, 2, … , такая, что Xn → a = (a1, a2, … , ak) при n → ∞, и последовательность функций fn: Rk → R1. Требуется найти распределение случайной величины fn(Xn). 
	Основная идея – рассмотреть главный линейный член функции fn в окрестности точки а. Из математического анализа известно, что 
,
где остаточный член является бесконечно малой величиной более высокого порядка малости, чем линейный член. Таким образом, произвольная функция может быть заменена на линейную функцию от координат случайного вектора. Эта замена проводится с точностью до бесконечно малых более высокого порядка. Конечно, должны быть выполнены некоторые математические условия регулярности. Например, функции fn должны быть дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки а. 
	Если вектор Xn является асимптотически нормальным с математическим ожиданием а и ковариационной матрицей ∑/n, где ∑ = ||σij||, причем σij = nM(Xi – ai)(Xj – aj), то линейная функция от его координат также асимптотически нормальна. Следовательно, при очевидных условиях регулярности fn(Xn) – асимптотически нормальная случайная величина с математическим ожиданием fn(а) и дисперсией
.
	Для практического использования асимптотической нормальности fn(Xn) остается заменить неизвестные моменты а и ∑ на их оценки. Например, если Xn – это среднее арифметическое независимых одинаково распределенных случайных векторов, то а можно заменить на Xn, а ∑ - на выборочную ковариационную матрицу.
	Пример. Пусть Y1, Y2, … , Yn – независимые одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием а и дисперсией σ2. В качестве Xn (k = 1) рассмотрим выборочное среднее арифметическое 
.
Как известно, в силу закона больших чисел  → а = М(У). Следовательно, для получения распределений функций от выборочного среднего арифметического можно использовать метод линеаризации. В качестве примера рассмотрим fn(y) = f(y) = y2. Тогда
.
Из этого соотношения следует, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка 
.
Поскольку в соответствии с Центральной Предельной Теоремой выборочное среднее арифметическое является асимптотически нормальной случайной величиной с математическим ожиданием а и дисперсией σ2/n, то квадрат этой статистики является асимптотически нормальной случайной величиной с математическим ожиданием а2 и дисперсией 4а2σ2/n. Для практического использования может оказаться полезной замена параметров (асимптотического нормального распределения) на их оценки, а именно, математического ожидания – на , а дисперсии – на , где s2 – выборочная дисперсия. 

14.5. Принцип инвариантности

	Пусть Y1, Y2, … , Yn – независимые одинаково распределенные случайные величины с непрерывной функцией распределения F(x). Многие используемые в статистических методах функции от результатов наблюдений выражаются через эмпирическую функцию распределения Fn(x). К ним относятся статистики Колмогорова, Смирнова, омега-квадрат. Отметим, что и другие статистики выражаются через эмпирическую функцию распределения, например:
.
	Полезным является преобразование Н.В.Смирнова t = F(x). Тогда независимые случайные величины Zj = F(Yj), j = 1, 2, … , n, имеют равномерное распределение на отрезке [0; 1]. Рассмотрим построенную по ним эмпирическую функцию распределения Fn(t), 0 < t < 1. Эмпирическим процессом называется случайный процесс
.
	Рассмотрим критерии проверки согласия функции распределения выборки с фиксированной функцией распределения F(x). Статистика критерия Колмогорова записывается в виде

статистика критерия Смирнова – это

а статистика критерия омега-квадрат (Крамера-Мизеса-Смирнова) имеет вид
.
	Случайный процесс ξn(t) имеет нулевое математическое ожидание и ковариационную функцию Мξn(s)ξn(t) = min (s,t) – st. Рассмотрим гауссовский случайный процесс ξ(t) с такими же математическим ожиданием и ковариационной функцией. Он называется броуновским мостом. (Напомним, что гауссовским процесс именуется потому, что вектор (ξ(t1), ξ(t2), … , ξ(tk)) имеет многомерное нормальное распределение при любых наборах моментов времени t1, t2, … , tk.) 
	Пусть f – функционал, определенный на множестве возможных траекторий случайных процессов. Принцип инвариантности [1] состоит в том, что последовательность распределений случайных величин f(ξn) сходится при n → ∞ к распределению случайной величины f(ξ). Сходимость по распределению обозначим символом =>. Тогда принцип инвариантности кратко записывается так: f(ξn) => f(ξ). В частности, согласно принципу инвариантности статистика Колмогорова и статистика омега квадрат сходятся по распределению к распределениям соответствующих функционалов от случайного процесса ξ:
 => ,  => .
Таким образом, от проблем прикладной статистики сделан переход к теории случайных процессов. Методами этой теории найдены распределения случайных величин 
,  .
Принцип инвариантности – инструмент получения предельных распределений функций от результатов наблюдений, используемых в прикладной статистике.
	Обоснование принципу инвариантности может быть дано на основе теории сходимости вероятностных мер в функциональных пространствах [6]. Более простой подход, позволяющий к тому же получать необходимые и достаточные условия в предельной теории статистик интегрального типа (принцип инвариантности к ним нельзя применить), рассмотрен в главе 4.3. 
	Почему «принцип инвариантности» так назван? Обратим внимание, что предельные распределения рассматриваемых статистик не зависят от их функции распределения F(x). Другими словами, предельное распределение инвариантно относительно выбора F(x). 
	В более широком смысле термин «принцип инвариантности» применяют тогда, когда предельное распределение не зависит от тех или иных характеристик исходных распределений [1]. В этом смысле наиболее известный «принцип инвариантности» - это Центральная предельная теорема, поскольку предельное стандартное нормальное распределение – одно и то же для всех возможных распределений независимых одинаково распределенных слагаемых (лишь бы слагаемые имели конечные математическое ожидание и дисперсию).

14.6. Устойчивость выводов и принцип уравнивания погрешностей

	Устойчивость математических моделей. Проблемам познания, в том числе в технических исследованиях, естественнонаучных и социально-экономических областях, посвящено огромное количество работ. Однако это не значит, что обо всем в этой области уже все сказано. А о некоторых положениях целесообразно говорить еще и еще раз, пока они ни станут общеизвестными.
	В идеале каждую модель порождения и анализа данных следовало бы рассматривать как аксиоматическую теорию. В этом идеальном случае создание и использование модели происходит в соответствии с известной триадой «практика - теория - практика». А именно, сначала вводятся некоторые математические объекты, соответствующие интересующим исследователя реальным объектам, и на основе представлений о свойствах реальных объектов формулируются необходимые для успешного моделирования свойства математических объектов, которые и принимаются в качестве аксиом. Затем аксиоматическая теория развивается как часть математики, вне связи с представлениями о реальных объектах. На заключительном этапе полученные в математической теории результаты интерпретируются содержательно. Получаются утверждения о реальных объектах, являющиеся следствиями тех и только тех их свойств, которые ранее были аксиоматизированы.
	После построения математической модели реального явления или процесса встает вопрос об ее адекватности. Иногда ответ на этот вопрос может дать эксперимент. Рассогласование модельных и экспериментальных данных следует интерпретировать как признак неадекватности некоторых из принятых аксиом. Однако для проверки адекватности социально-экономических моделей зачастую невозможно поставить решающий эксперимент в отличие, скажем, от физических моделей. С другой стороны, для одного и того же  явления или процесса, как правило, можно составить много возможных моделей, если угодно, много разновидностей одной базовой модели. Поэтому необходимы какие-то дополнительные условия, которые позволяли бы их множества возможных моделей и эконометрических методов анализа данных выбрать наиболее подходящие. В качестве одного из подобных условий выдвигается требование устойчивости модели и метода анализа данных относительно допустимых отклонений исходных данных и предпосылок модели или условий применимости метода.
	В большинстве случаев исследователей и практических работников интересуют не столько сами модели и методы, сколько решения, которые с их помощью принимаются. Ведь модели и методы для того и разрабатываются, чтобы подготавливать решения. Вместе с тем очевидно, что решения, как правило, принимаются в условиях неполноты информации. Так, любые числовые параметры известны лишь с некоторой точностью. Введение в рассмотрение возможных неопределенностей исходных данных требует каких-то заключений относительно устойчивости принимаемых решений по отношению к этим допустимым неопределенностям.
	Введем основные понятия согласно монографии [5]. Будем считать, что имеются исходные данные, на основе которых принимаются решения. Способ переработки (отображения) исходных данных в решение назовем моделью. Таким образом, с общей точки зрения модель - это функция, переводящая исходные данные в решение, т.е. способ перехода значения не имеет. Очевидно, любая рекомендуемая для практического использования модель должна быть исследована на устойчивость относительно допустимых отклонений исходных данных. Укажем некоторые возможные применения результатов подобного исследования:
	- заказчик научно-исследовательской работы получает представление о точности предлагаемого решения;
	- удается выбрать из многих моделей наиболее адекватную;
	- по известной точности определения отдельных параметров модели удается указать необходимую точность нахождения остальных параметров;
	- переход к случаю «общего положения» позволяет получать более сильные с математической точки зрения результаты.
	Примеры. По каждому из четырех перечисленных возможных применений в [5, 7] приведены различные примеры. В статистических методах точность предлагаемого решения связана с разбросом исходных данных и с объемом выборки. Выбору наиболее адекватной модели посвящены многие рассмотрения в главах 5 и 6, связанные с обсуждением моделей однородности и регрессии. Использование рационального объема выборки в статистике интервальных данных [7] исходит из принципа уравнивания погрешностей. Этот принцип основан на том, что по известной точности определения отдельных параметров модели удается указать необходимую точность нахождения остальных параметров. Другим примером применения принципа уравнивания погрешностей является нахождение необходимой точности оценивания параметров в моделях логистики, рассмотренных в главе 5 монографии [5]. Наконец, переходом к случаю «общего положения» в прикладной статистике является, в частности, переход к непараметрическим методам, необходимый из-за невозможности обосновать принадлежность результатов наблюдений к тем или иным параметрическим семействам.
	Специалисты по математическому моделированию и теории управления считают устойчивость одной из важных характеристик технических, социально-экономических, медицинских и иных моделей. Достаточно глубокие исследования ведутся по ряду направлений.
	Первоначальное изучение влияния малого изменения одного параметра обычно называют анализом чувствительности. Оно описывается значением частной производной. Если модель задается дифференцируемой функцией, то итог анализа чувствительности - вектор значений частных производных в анализируемой точке.
	Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений развивается по крайней мере с XIX в. Выработаны соответствующие понятия - устойчивость по Ляпунову, корректность, доказаны глубокие теоремы. Для решения некорректных задач академиком АН СССР А.Н. Тихоновым в начале 1960-х гг. был предложен метод регуляризации. Модели явлений и процессов, выражаемые с помощью дифференциальных уравнений, могут быть исследованы на устойчивость путем применения хорошо разработанного математического аппарата. 
	Вопросы устойчивости изучались практически во всех направлениях прикладных математических методов - и в математическом программировании, и в теории массового обслуживания (теории очередей), и в эколого-экономических моделях, и в различных областях эконометрики. 
	Общая схема устойчивости. Прежде чем переходить к конкретным постановкам, обсудим «общую схему  устойчивости», дающую понятийную базу для обсуждения проблем устойчивости в различных предметных областях.
	Определение 1. Общей схемой устойчивости называется математический объект 
	Здесь - множество, интерпретируемое как пространство исходных данных; - множество, называемое пространством решений. Однозначное отображение  называется моделью. Об этих трех составляющих общей схемы устойчивости уже шла речь выше. 
	Оставшиеся два понятия нужны для уточнения понятий близости в пространстве исходных данных и пространстве решений. Подобные уточнения могут быть сделаны разными способами. Самое «слабое» уточнение - на языке топологических пространств. Тогда возможны качественные выводы (сходится - не сходится), но не количественные расчеты. Самое «сильное» уточнение - на языке метрических пространств. Промежуточный вариант - используются показатели различия (отличаются от метрик тем, что не обязательно выполняются неравенства треугольника) или вводимые ниже понятия.
	Пусть d - показатель устойчивости, т.е. неотрицательная функция, определенная на подмножествах У множества  и такая, что из  вытекает  Часто показатель устойчивости d(Y) определяется с помощью метрики, псевдометрики или показателя различия (меры близости)  как диаметр множества У, т.е. 

Таким образом, в пространстве решений с помощью показателя устойчивости вокруг образа исходных данных может быть сформирована система окрестностей. Но сначала надо такую систему сформировать в пространстве исходных данных.
	Пусть  - совокупность допустимых отклонений. Т.е. система подмножеств множества  такая, что каждому элементу множества исходных данных  и каждому значению параметра  из некоторого множества параметров  соответствует подмножество  множества исходных данных. Оно называется множеством допустимых отклонений в точке х при значении параметра, равном . Наглядно можно представить себе, что вокруг точки х взята окрестность радиуса . 
	Определение 2. Показателем устойчивости в точке х при значении параметра, равном , называется число

	Другими словами, это - диаметр образа множества допустимых колебаний при рассматриваемом в качестве модели отображении. Очевидно, что этот показатель устойчивости зависит как от исходных данных, так и от диаметра множества возможных отклонений в исходном пространстве. Для непрерывных функций показатель устойчивости обычно называется модулем непрерывности. 
	Естественно посмотреть, насколько сузится образ окрестности возможных отклонений при максимально возможном сужении этой окрестности. 
	Определение 3. Абсолютным показателем устойчивости в точке х  называется число

	Если функция f непрерывна, а окрестности - именно те, о которых идет речь в математическом анализе, то максимальное сужение означает сужение к точке и абсолютный показатель устойчивости равен 0. Но в теории измерений и статистике интервальных данных мы сталкиваемся с совсем иными ситуациями. В теории измерений окрестностью исходных данных являются все те вектора, что получаются из исходного путем преобразования координат с помощью допустимого преобразования шкалы, а допустимое преобразование шкалы берется из соответствующей группы допустимых преобразований. В статистике интервальных данных под окрестностью исходных данных естественно понимать - при описании выборки - куб с ребрами  и центром в исходном векторе. И в том, и в другом случае максимальное сужение не означает сужение к точке.
	Естественным является желание ввести характеристики устойчивости на всем пространстве. Не вдаваясь в математические тонкости (см. о них монографию [5]), рассмотрим меру  на пространстве  такую, что мера всего пространства равна 1 (т.е. 
	Определение 4. Абсолютным показателем устойчивости на пространстве исходных данных  по мере  называется число

	Здесь имеется в виду интеграл Лебега. Интегрирование проводится по (абстрактному) пространству исходных данных  по мере . Естественно, должны быть выполнены некоторые внутриматематические условия. Читателю, незнакомому с интегрированием по Лебегу, достаточно мысленно заменить в предыдущей формуле интеграл на сумму (а пространство  считать конечным, хотя и состоящим из большого числа элементов). 
	Определение 5. Максимальным абсолютным показателем устойчивости называется

	Легко видеть, что  где супремум берется по всем описанным выше мерам. 
	Итак, построена иерархия показателей устойчивости  математических моделей реальных явлений и процессов. Она с успехом использовалась в различных исследованиях, подробно развивалась, в частности, в монографии [5]. Приведем еще одно полезное определение.
	Определение 6. Модель f называется абсолютно -устойчивой, если  где  - максимальный абсолютный показатель устойчивости.
	Пример. Если показатель устойчивости формируется с помощью метрики , совокупность допустимых отклонений  - это совокупность всех окрестностей всех точек пространства исходных данных , то 0-устойчивость модели f эквивалентна непрерывности модели f на множестве .
	Основная проблема в общей схеме устойчивости - проверка -устойчивости данной модели f относительно данной системы допустимых отклонений .
	Часто оказываются полезными следующие два обобщения основной проблемы. 
	Проблема А (характеризации устойчивых моделей). Даны пространство исходных данных , пространство решений , показатель устойчивости d, совокупность допустимых отклонений  и неотрицательное число . Описать достаточно широкий класс -устойчивых моделей f. Или: найти все -устойчивые модели среди моделей, обладающих данными свойствами, т.е. входящих в данное множество моделей. 
	Проблема Б (характеризации систем допустимых отклонений). Даны пространство исходных данных , пространство решений , показатель устойчивости d, модель f и неотрицательное число . Описать достаточно широкий класс систем допустимых отклонений , относительно которых модель f является -устойчивой. Или: найти все такие системы допустимых отклонений  среди совокупностей допустимых отклонений, обладающих данными свойствами, т.е. входящих в данное множество совокупностей допустимых отклонений.
	Проблемы А и Б можно рассматривать не только для показателя устойчивости , но и для других только что введенных показателей устойчивости, а именно, 
	Язык общей схемы устойчивости позволяет описывать конкретные задачи специализированных теорий устойчивости в различных областях исследований, выделять в основные элементы в них, ставить проблемы типа А и Б. В частности, на этом языке легко формулируются задачи теории устойчивости решений дифференциальных уравнений, теории робастности статистических процедур (см. главу 3.4), проблемы адекватности теории измерений, достигаемой точности расчетов в статистике интервальных данных   и в логистике (см. монографию [5]), и т.д. 
	Для примера рассмотрим определение устойчивости по Ляпунову решения  нормальной автономной системы дифференциальных уравнений  с начальными условиями  Здесь пространство исходных данных  - конечномерное евклидово пространство, множество допустимых отклонений  окрестность радиуса  точки , пространство решений - множество функций на луче  с метрикой 

Модель f - отображение, переводящее начальные условия х в решение системы дифференциальных уравнений с этими начальными условиями  
	В терминах общей схемы устойчивости положение равновесия а называется устойчивым по Ляпунову, если  Для формулировки определения асимптотической устойчивости по Ляпунову надо ввести в пространстве решений  псевдометрику 

Положение равновесия а называется асимптотически устойчивым, если  для некоторого  где показатель устойчивости  рассчитан с использованием псевдометрики . 
	Таким образом, общая схема устойчивости естественным образом включает в себя классические понятия теории устойчивости по Ляпунову. Вместе с тем стоит отметить, что эта схема дает общий подход к различным проблемам устойчивости. Она дает систему понятий, которые в каждом конкретном случае должны приспосабливаться к решаемой задаче.
	До настоящего момента для определенности речь шла о допустимых отклонениях в пространстве исходных данных. Часто оказывается необходимым говорить и об отклонениях от предпосылок модели. С чисто формальной точки зрения для этого достаточно расширить понятие «исходные данные» до пары (x, f), т.е. включив «прежнюю» модель в качестве второго элемента пары. Все остальные определения остаются без изменения. Теперь отклонения в пространстве решений вызываются не только отклонениями в исходных данных x, но и отклонениями от предпосылок модели, т.е. отклонениями f. Это соображение нам понадобилось в разделе 3.4, посвященном робастности статистических процедур. 
	Устойчивость по отношению к объему выборки. Различные асимптотические постановки в прикладной статистике также естественно рассматривать как задачи устойчивости. Если при безграничном возрастании объема выборки некоторая величина стремится к пределу, то в терминах общей схемы устойчивости это означает, что она 0-устойчива в соответствующей псевдометрике (см. выше обсуждение асимптотической устойчивости по Ляпунову). С содержательной точки зрения употребление термина «устойчивость» в такой ситуации представляется вполне оправданным, поскольку рассматриваемая величина мало меняется при изменении объема выборки.
	Рассмотрим проблему и методы оценки близости предельных распределений статистик и распределений, соответствующих конечным объемам выборок. При каких объемах выборок уже можно пользоваться предельными распределениями? Каков точный смысл термина «можно» в предыдущей фразе? Основное внимание уделяется переходу от точных формул допредельных распределений к пределу и применению метода статистических испытаний (Монте-Карло). 
	Начнем с обсуждения взаимоотношений асимптотической математической статистики и практики анализа статистических данных. Как обычно подходят к обработке реальных данных в конкретной задаче? Первым делом строят статистическую модель. Если хотят перенести выводы с совокупности результатов наблюдений на более широкую совокупность, например, предсказать что-либо, то рассматривают, как правило, вероятностно-статистическую модель. Например, традиционную модель выборки, в которой результаты наблюдений - реализации независимых (в совокупности) одинаково распределенных случайных величин. Очевидно, любая модель лишь приближенно соответствует реальности. В частности, естественно ожидать, что распределения результатов наблюдений несколько отличаются друг от друга, а сами результаты связаны между собой, хотя и слабо.
	Итак, первый этап - переход от реальной ситуации к математической модели. Далее - неожиданность: на настоящем этапе своего развития математическая теория статистики зачастую не позволяет провести необходимые исследования для имеющихся объемов выборок. Более того, отдельные математики пытаются оправдать свой отрыв от практики соображениями о структуре этой теории, на первый взгляд убедительными. Неосторожная давняя фраза Б.В. Гнеденко и А.Н.Колмогорова: «Познавательная ценность теории вероятностей раскрывается только предельными теоремами» (см. классическую монографию [8], одну из наиболее ценных математических книг ХХ в.) взята на вооружение и более близкими к нам по времени авторами. Так, И.А. Ибрагимов и Р.З. Хасьминский пишут: «Решение неасимптотических задач оценивания, хотя и весьма важное само по себе, как правило, не может являться объектом достаточно общей математической теории. Более того, соответствующее решение часто зависит от конкретного типа распределения, объема выборки и т.д. Так, теория малых выборок из нормального закона будет отличаться от теории малых выборок из закона Пуассона».
	Согласно цитированным авторам и их единомышленникам, основное содержание математической теории статистики - предельные теоремы, полученные в предположении, что объемы рассматриваемых выборок стремятся к бесконечности. Эти теоремы опираются на предельные соотношения теории вероятностей, типа Закона больших чисел и Центральной предельной теоремы. Ясно, что сами по себе подобные утверждения относятся к математике, т.е. к сфере чистой абстракции, и не могут быть непосредственно применены для анализа реальных данных. Их практическое использование, о котором «чистые» математики предпочитают не думать, опирается на важное предположение: «При данном объеме выборки достаточно точными являются асимптотические формулы».
	Конечно, в качестве первого приближения представляется естественным воспользоваться асимптотическими формулами, не тратя сил на анализ их точности. Но это - лишь начало долгой цепи исследований. Как же обычно преодолевают разрыв между результатами асимптотической математической статистики и потребностями практики статистического анализа данных? Какие «подводные камни» подстерегают на этом пути?  
	Точные формулы и асимптотика. Начнем с наиболее продвинутой в математическом плане ситуации, когда для статистики известны как предельное распределение, так и распределения при конечных объемах выборки. 
	Примером является двухвыборочная односторонняя статистика Н.В.Смирнова. Рассмотрим две независимые выборки объемов m и n из непрерывных функций распределения F(x) и G(x) соответственно. Для проверки гипотезы однородности двух выборок (ср. главу 5)
H0: F(x) = G(x) для всех действительных чисел x
в 1939 г. Н.В. Смирнов предложил использовать статистику
D+(m,n) = sup (Fm(x) – Gn(x)) ,
где Fm(x) - эмпирическая функция распределения, построенная по первой выборке, Gn(x) - эмпирическая функция распределения, построенная по второй выборке, супремум берется по всем действительным числам x. 
	Для обсуждения проблемы соотношения точных и предельных результатов ограничимся случаем равных объемов выборок, т.е. m = n. Положим 

Н.В. Смирнов установил, что при безграничном возрастании объема выборки n вероятность H(n, t) стремится к exp(- t2). 
	В 1951 г. Б.В. Гнеденко и В.С. Королюк показали, что при целом  (именно при таких t вероятность H(n, t) как функция t имеет скачки, поскольку статистика Смирнова D+(n,n) кратна 1/n) рассматриваемая вероятность H(n, t) выражается через биномиальные коэффициенты, а именно,
		(14.6)
	К сожалению, непосредственные расчеты по формуле (14.6) возможны лишь при сравнительно небольших объемах выборок, поскольку величина n! (n-факториал) уже при n = 100 имеет более 200 цифр и не может быть без преобразований использована в вычислениях. Следовательно, наличие точной формулы для интересующей нас вероятности не снимает необходимости использования предельного распределения и изучения точности приближения с его помощью.
	Широко известная формула Стирлинга для гамма-функции и, в частности, для факториалов позволяет преобразовать последнее выражение в асимптотическое разложение. Т.е. построить бесконечный степенной ряд (по степеням n) такой, что каждая следующая частичная сумма дает все более точное приближение для интересующей нас вероятности H(x, t). Это и было сделано в работе А.А. Боровкова 1962 г. Большое количество подобных разложений для различных статистических задач приведено в работах В.М. Калинина и О.В. Шалаевского конца 1960-х - начала 1970-х гг. (Интересно отметить, что асимптотические разложения в ряде случаев расходятся, т.е. остаточные члены имеют нетривиальную природу.) 
	Затем в работах конца семидесятых годов сделана попытка теоретически оценить остаточный член второго порядка. Итоги подведены в монографии [5, §2.2, с.37-45]. Справедливо равенство
H(n, t) = exp( - t2) (1 + f(t)/n + g(n,t)/ n2),
где
f(t) = t2 (1/2 - t2/6).
Целью последних из названных работ было получение равномерных по n, t оценок остаточного члена второго порядка g(n,t) сверху и снизу в области, задаваемой условиями 
		(14.7)
где  - некоторые параметры. С помощью длинных цепочек оценок остаточных членов в формулах, получаемых при преобразовании формулы (14.6) к предельному виду, сформулированная выше цель была достигнута. Для различных наборов параметров  получены равномерные по n, t оценки (сверху и снизу) остаточного члена второго порядка g(n,t) в области (14.7). Так, например, при А = 0,5, tmax = 1,73, n0 = 8 нижняя граница равна (- 0,71), а верхняя есть 2,65.
	Основными недостатками такого подхода являются, во первых, зависимость оценок от параметров , задающих границы областей, во-вторых, завышение оценок, иногда в сотни раз, обусловленное желанием получить равномерные оценки по области (оценкой реальной погрешности в конкретной точке является значение следующего члена асимптотического разложения).
	Поэтому при составлении рассчитанной на практическое использование методики [9] проверки однородности двух выборок с помощью статистики Смирнова мы решили перейти на несколько другую методологию (назовем ее «методологией заданной точности»), которую кратко можно описать следующим образом.
	1) выбирается достаточно малое положительное число р, например р = 0,05 или р = 0,20;
	2) приводятся точные значения H(n, t) для всех значений n таких, что 
|H(n, t) - exp( - t2)| > p exp( - t2);
	3) если же последнее неравенство не выполнено, то используется вместо H(n, t) предельное значение exp(-t2).
	Таким образом, принятая в методике [9] методология предполагает интенсивное использование вычислительной техники. Результатами расчетов являются граничные значения объемов выборок n(p,t) такие, что при меньших значениях объемов выборок рекомендуется пользоваться точными значениями функции распределения статистики Смирнова, а при больших - предельными. Описывается этот результат таблицей, а не формулой. При построении реальных таблиц не обойтись без выбора того или иного конкретного значения р, задающего объемы таблиц. 
	Оценки скорости сходимости. Теоретические оценки скорости сходимости в различных задачах прикладной математической статистики иногда формулируются в весьма абстрактном виде. Так, в 1960-1970-х гг. была популярна задача оценки скорости сходимости распределения классической статистики омега-квадрат (Крамера-Мизеса-Смирнова). Для максимума модуля разности допредельной и предельной функций распределения этой статистики различные авторы доказывали, что для любого e>0 существует константа С(e) такая, что он не превосходит С(e)n-w+e. Прогресс состоял в увеличении константы w. Сформулированный выше результат был доказан последовательно для w = 1/10, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 1/2 и 1 (подробнее история этих исследований рассказана в §2.3 монографии [5]).
	Конечно, все эти исследования не могли дать конкретных практических рекомендаций. Однако необходимой исходной точкой является само существование предельного распределения. Представим себе, что некто, не зная, что у распределения Коши нет математического ожидания, моделирует выборочные средние арифметические результатов наблюдений из этого распределения. Ясно, что его попытки оценить скорость сходимости выборочных средних к пределу обречены на провал.
	Последовательное улучшение теоретических оценок скорости сходимости дает надежду на быструю реальную сходимость. Действительно, численные расчеты показали, что предельным распределением для статистики омега-квадрат (Крамера-Мизеса-Смирнова) можно пользоваться уже при объеме выборки, равном 4. 
	Использование датчиков псевдослучайных чисел. Если же предельное распределение известно, возникает возможность изучить скорость сходимости численно методом статистических испытаний (Монте-Карло). Однако при этом обычно возникают две проблемы.
	Во-первых, откуда известно, что скорость сходимости монотонна? Если при данном объеме выборки различие мало, то будет ли оно мало и при дальнейших объемах? Иногда отклонения допредельного распределения от предельного объясняются довольно сложными причинами. Так, для распределения хи-квадрат они связаны с рядом до сих пор не решенных теоретико-числовых проблем о числе целых точек в эллипсоиде растущего диаметра.  
	Во-вторых, с помощью датчиков псевдослучайных чисел получаем допредельные распределения с погрешностью, которая может преуменьшать различие. Поясним мысль аналогией. Растущий сигнал измеряется с погрешностями. Когда можно гарантировать, что его величина наверняка превзошла заданную границу? 
	Проблема качества датчиков псевдослучайных чисел продолжает оставаться открытой. Для моделирования в пространствах фиксированной размерности датчики псевдослучайных чисел решают поставленные задачи. Но для рассматриваемых здесь задач размерность не фиксирована - мы не знаем, при каком конкретно объеме выборки можно переходить к предельному распределению согласно «методологии заданной точности». 
	Нужны дальнейшие работы по изучению качества датчиков псевдослучайных чисел в задачах неопределенной размерности. Поскольку критиков датчиков обычно обвиняют в том, что они сами их не используют, отметим, что мы применяли этот инструментарий при изучении помех, создаваемых электровозами (см. раздел 8.5), при изучении статистических критериев проверки однородности двух выборок (см. раздел 5.7).
	А нужна ли вообще асимптотика? В настоящее время развивается актуальное направление статистических методов, связанное с интенсивным использованием вычислительной техники для изучения свойств статистических процедур. Как уже отмечалось, математические методы в статистике обычно позволяют получать лишь асимптотические результаты, и для переноса выводов на конечные объемы выборок приходится применять вычислительные методы. Разработан и успешно применяется компьютерно-статистический подход, основанный на интенсивном использовании современной вычислительной техники. Основная идея такова: в качестве альтернативы асимптотическим методам математической статистики используется анализ результатов статистического моделирования (порядка 2000 - 100000 испытаний) выборок конкретных объемов (10, 50, 100, 200, 500, 1000). При этом анализ предельных распределений заменяется на анализ распределений соответствующих статистик при указанных объемах выборок.
	К достоинствам компьютерно-статистического подхода относится возможность замены теоретических исследований расчетами. Достаточно простая программная система дает (в принципе) возможность численно изучить свойства любого статистического алгоритма для любого конкретного распределения результатов наблюдений и любого конкретного объема выборки. К недостаткам рассматриваемого подхода относится зависимость от свойств датчиков псевдослучайных чисел, а также - что более важно - неизвестность предельного распределения (и даже самого факта его существования), а потому невозможность обоснованного переноса полученных выводов на объемы выборок, отличные от исследованных. Более существенный недостаток – зависимость выводов от того, какое именно распределение моделируется – нормальное, логистическое, Вейбулла-Гнеденко или какое-либо еще. Ведь выводы могут сильно измениться при переходе к другому распределению, а все распределения – их бесконечное количество – перебрать невозможно. Поэтому с точки зрения теории математической статистики полученные рассматриваемым способом результаты следует рассматривать как правдоподобные (а не доказательные, как в классической математической статистике). 
	Кроме того, они принципиально неточные. Даже в наиболее благоприятных условиях отклонение (в метрике «супремум разности», другое её название – метрика Колмогорова) смоделированного распределения, построенного по 2000 испытаниям, от теоретического предельного распределения может достигать 1,358×(1/2000)1/2 = 0,030. Это означает, в частности, что процентные точки, соответствующие уровням значимости 0,05 и особенно 0,01, могут сильно отличаться от соответствующих процентных точек предельных распределений. Конечно, точность можно увеличить, взяв существенно больше испытаний – не 2000, а 100000. Очевидно, следующий этап работ - изучение точности полученных в рассматриваемом подходе выводов, прежде всего приближений и процентных точек, в зависимости от числа испытаний в методах Монте-Карло.
	Однако сразу все не сделаешь. Поэтому необходимо развивать новые компьютерные подходы к давним задачам прикладной статистики. Так, весьма интересными и полезными и являются результаты, касающиеся сравнения реальных и номинальных уровней значимости в задачах проверки статистических гипотез (см. раздел 5.7).
	Однако стоит сделать два замечания. В работе [10] сравниваются два плана контроля надежности технических изделий. Оказывается, что при объемах выборки, меньших 150, лучше первый план, а при объемах, больших 150 - второй. Значит, если бы методом статистического моделирования сравнивались эти планы, причем был взят достаточно большой объем выборки n = 100, то лучшим был бы признан первый план, что неверно - наступит момент (объем выборки), когда лучшим станет второй план.  
	Другая относящаяся к делу ассоциация - из прикладной математики. Будем суммировать бесконечный ряд с членами zn= 1/n. Поскольку члены его убывают, то обычно используемые алгоритмы остановят вычисления на каком-то шагу. А сумма-то - бесконечна!
	Кажется, что компьютер дал универсальную отмычку ко всем проблемам вообще и в области прикладной статистики в частности. Но это только кажется. 
	Принцип уравнивания погрешностей состоит в том, что погрешности различной природы должны вносит примерно одинаковый вклад в общую погрешность математической модели. Так, определение рационального объема выборки в статистике интервальных данных основано на уравнивании влияния метрологической и статистической погрешностей [7]. Согласно подходу [5] выбор числа градаций в социологических анкетах целесообразно проводить на основе уравнивания погрешностей квантования и неопределенности в ответах респондентов (см. разд. 13.3). В классической модели управления запасами целесообразно уравнять влияние неточностей в определении параметров на отклонение целевой функции от оптимума. Из принципа уравнивания погрешностей следует, что относительные погрешности определения различных параметров модели должны совпадать [5]. При использовании классической модели управления запасами погрешность, порожденная отклонением спроса от линейного, оценивается по данным об отпуске товаров. Это дает возможность оценить допустимые отклонения для других параметров. В частности, установить, что расхождения между методиками не являются существенными (см. разд. 8.3). 
	В терминах общей схемы устойчивости рассмотрим для простоты записи случай двух параметров. Пусть Α = [0, ∞)×[0,∞) и E(x, α) = E(x, (ε, δ)), где ε > 0 и δ > 0 задают точность определения соответствующих параметров, так что  при ε1 < ε2, δ1 < δ2. Пусть ε задано, а δ исследователь может выбрать, причем известно, что уменьшение δ связано с увеличением расходов. Как выбирать δ? Представляется естественным «уравнять» отклонения, порожденные различными параметрами, т.е. определить δ из условия 
β(x, E(x, (ε, δ)) – β(x, E(x, (ε, 0)) ≈ β(x, E(x, (0, δ)).	(14.8)
	Если затраты и полезный эффект точно известны, то δ можно определить путем решения соответствующей оптимизационной задачи. В противном случае соотношение (14.8) предлагается использовать в качестве эвристического правила. 

Литература

1. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. – М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. – 910с.
2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник. 7-е изд., исправл. - М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 320 с.
3. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применения. – М.: Наука, 1968. - 548 с.
4. Келли Дж. Общая топология. - М.: Наука, 1968. - 384 с.
5. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. - 296 с.
6. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. – М.: Наука, 1977. - 352 с.
7. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование: учебник : в 3 ч. Часть 1: Нечисловая статистика. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. – 2009. – 541 с.
8. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. - 264 с.
9. Методика. Проверка однородности двух выборок параметров продукции при оценке ее технического уровня и качества / Орлов А.И. и др. - М.: Всесоюзный научно-исследовательский институт стандартизации Госстандарта СССР, 1987. - 116 с.
10. Левин Б.Р., Демидович Н.О. Использование непараметрических методов при обработке результатов испытаний на надежность. // Надежность средств связи. - Киев: Технiка, 1976. - С.59-72.

Контрольные вопросы и задачи 

1. Какова роль законов больших чисел в обосновании статистических методов?
2. Приведите примеры использования центральных предельных теорем при построении статистических процедур доверительного оценивания и проверки гипотез.
3. Почему при обосновании статистических методов необходимо использовать теоремы о наследовании сходимости?
4. Примените метод линеаризации для изучения распределения выборочной дисперсии (исходя из асимптотической нормальности при n → ∞ среднего арифметического двумерных векторов (Xk, (Xk)2), k = 1, 2, … , n).
5. Как применяется в прикладной статистике принцип инвариантности?
6. Почему необходимо изучать устойчивость выводов, полученных на основе математических моделей, по отношению к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок моделей?
7. В чем состоит основная идея принципа уравнивания погрешностей?

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1. Законы больших чисел и различные варианты Центральной предельной теоремы – основные результаты классической теории вероятностей.
2. Место теорем о наследовании сходимости и метода линеаризации в асимптотической прикладной статистике.
3. Необходимые и достаточные условия наследования сходимости. 
4. Принцип инвариантности для классических непараметрических статистик.
5. Проблема устойчивости в математическом моделировании. 
6. Теория измерений и концепция устойчивости.
7. Принцип уравнивания погрешностей в статистике интервальных данных.
8. Принцип уравнивания погрешностей в логистике (управлении запасами). 

Глава 15. О развитии статистических методов

15.1. Основные этапы становления статистических методов

	Самая ранняя из известных нам статистических работ входит в Библию. В Ветхий Завет включена Четвертая книга Моисеева под названием «Числа». Глава 1 этой книги начинается так (цитируем по синодальному изданию): 
	«1. И сказал Господь Моисею в пустыне Синайской, в скинии собрания, в первый день второго месяца, во второй год по выходе их из земли Египетской, говоря:
	2. Исчислите всё общество сынов Израилевых по родам их, по семействам их, по числу имен, всех мужеского пола поголовно, 
	3. От двадцати лет и выше, всех годных для войны у Израиля, по ополчениям их исчислите их – ты и Аарон. 
	4. С вами должны быть из каждого колена по одному человеку, который в роде своем есть главный.
*	*	*
	21. Исчислено в колене Рувимовом сорок шесть тысяч пятьсот.
*	*	*
	23. Исчислено в колене Симеоновом пятьдесят девять тысяч триста.
*	*	*
	46. И было всех вошедших в исчисление шестьсот три тысячи пятьсот пятьдесят».
	Практическая направленность этого статистического исследования вполне очевидна. Обратите внимание, что оно предпринято по решению руководства страны (в библейских терминах – «общества сынов Израилевых»), причем к работам привлечены региональные начальники (главные по коленам, на которые делилось государство). Четко указана совокупность, подлежащая переписи - мужчины от 20 лет и старше, годные для войны (военнообязанные).
	Древность исследования проявляется только в том, что стандартные описания результатов учета военнообязанных по коленам выражены словами. Сейчас мы представили бы результаты в виде таблицы (табл. 15.1). Таблицы такого типа постоянно составляют органы государственной статистики и в настоящее время (см. портал http://www.gks.ru Федеральной службы государственной статистики РФ (краткое название – Росстат)). 
	Итак, при сравнении с деятельностью Росстата описанное в Библии исследование, выполненное под руководством Моисея, является вполне современным по своим задачам и методам.  

Таблица 15.1
Число всех годных для войны у Израиля
№ п/п	Родоначальник колена	Число военнообязанных	
1	Рувим	46 500	
2	Симеон	59 300	
3	Гад	45 650	
4	Иуда	74 600	
5	Иссахар	54 400	
6	Завулон	57 400	
7	Ефрем	40 500	
8	Манассия	32 200	
9	Вениамин	35 400	
10	Дан	62 700	
11	Асир	41 500	
12	Неффалим	53 400	
	Всего	603 550	

	Развитие представлений о статистике. В Библии не было терминов «статистика» или «статистик». Впервые термин «статистик» мы находим в художественной литературе – в «Гамлете» Шекспира (1602 г., акт 5, сцена 2). Смысл этого слова у Шекспира – знать, придворные. По-видимому, оно происходит от латинского слова status, что в оригинале означает «состояние» или «политическое состояние». 
	В течении следующих 400 с небольшим лет термин «статистика» понимали и понимают по-разному. В работе [1] сотрудниками Межфакультетской лаборатории статистических методов МГУ им. М.В. Ломоносова собрано более 200 определений этого термина, некоторые из которых приводятся ниже. 
	Вначале под статистикой понимали описание экономического и политического состояния государства или его части. Например, к 1792 г. относится определение: «Статистика описывает состояние государства в настоящее время или в некоторый известный момент в прошлом». И в настоящее время деятельность государственных статистических служб достаточно хорошо соответствует этому определению.
	Однако постепенно термин «статистика» стал использоваться более широко. По Наполеону Бонапарту: «Статистика – это бюджет вещей». Тем самым статистические методы были признаны полезными не только для административного управления, но и для управления на уровне отдельного предприятия. Согласно формулировке 1833 г. «цель статистики заключается в представлении фактов в наиболее сжатой форме». Здесь статистика уже не связывается ни с государствоведением, ни с социально-экономическими проблемами вообще.
	Приведем еще два высказывания. «Статистика состоит в наблюдении явлений, которые могут быть подсчитаны или выражены посредством чисел» (1895). «Статистика – это численное представление фактов из любой области исследования в их взаимосвязи» (1909). 
	В ХХ в. статистику часто рассматривают прежде всего как самостоятельную научную дисциплина. «Статистика есть совокупность методов и принципов, согласно которым проводится сбор, анализ, сравнение, представление и интерпретация числовых данных» (1925). В 1954 г. академик АН УССР Б.В. Гнеденко дал следующее определение: «Статистика состоит из трех разделов:
	1) сбор статистических сведений, т.е. сведений, характеризующих отдельные единицы каких-либо массовых совокупностей;
	2) статистическое исследование полученных данных, заключающееся в выяснении тех закономерностей, которые могут быть установлены на основе данных массового наблюдения;
	3) разработка приемов статистического наблюдения и анализа статистических данных. Последний раздел, собственно, и составляет содержание математической статистики».
	Термин «статистика» употребляют еще в двух смыслах. Во-первых, в обиходе под «статистикой» часто понимают набор количественных данных о каком-либо явлении или процессе. Во-вторых, специалисты в области статистических методов называют «статистикой» функцию от результатов наблюдений, используемую для оценивания характеристик и параметров распределений и проверки гипотез. 
	Чтобы подойти к современному состоянию, в частности, разъяснить термин «прикладная статистика», кратко рассмотрим историю реальных статистических работ.
	Краткая история статистических методов. Типовые примеры раннего этапа применения статистических методов описаны в Ветхом Завете. Там, в частности, приводится число воинов в различных племенах («коленах»). С математической точки зрения дело сводилось к подсчету числа попаданий значений наблюдаемых признаков в определенные градации. 
	В дальнейшем результаты обработки статистических данных стали представлять в виде таблиц и диаграмм, как это и сейчас делает Росстат. Надо признать, что по сравнению с Ветхим Заветом есть прогресс - в Библии не было таблиц и диаграмм. Однако нет продвижения по сравнению с работами российских статистиков конца XIX - начала XX вв. (типовой монографией тех времен можно считать книгу В.И. Ульянова «Развитие капитализма в России. Процесс образования внутреннего рынка для крупной промышленности», которая в настоящее время ещё легко доступна).
	Сразу после возникновения теории вероятностей (Паскаль, Ферма, XVII в.) вероятностные модели стали использоваться при обработке статистических данных. Например, изучалась частота рождения мальчиков и девочек, было установлено отличие вероятности рождения мальчика от 1/2, анализировались причины того, что в парижских приютах эта вероятность не та, что в самом Париже, и т.д. Имеется достаточно много публикаций по истории теории вероятностей с описанием раннего этапа развития статистических методов исследований, к лучшим из них относится очерк Б.В. Гнеденко. Основатель современного бухгалтерского учета Лука Пачолли (1445- 1517) хорошо известен и историкам теории вероятностей. Это символично, поскольку вопросы учета и статистики тесно переплетаются в деятельности современного инженера и менеджера.
	В 1794 г. (по другим данным - в 1795 г.) К.Гаусс разработал метод наименьших квадратов (см. главу 6), один из наиболее популярных ныне статистических методов, и применил его при расчете орбиты астероида Церера - для борьбы с ошибками астрономических наблюдений. В Х1Х веке заметный вклад в развитие практической статистики внес бельгиец Кетле, на основе анализа большого числа реальных данных показавший устойчивость относительных статистических показателей, таких, как доля самоубийств среди всех смертей. Интересно, что основные идеи статистического приемочного контроля и сертификации продукции обсуждались академиком Петербургской АН М.В. Остроградским (1801-1862) и применялись в российской армии ещё в середине Х1Х в. Статистические методы управления качеством и сертификации продукции сейчас весьма актуальны (см. главу 10).
	Параметрическая статистика. Современный этап развития статистических методов можно отсчитывать с 1900 г., когда англичанин К. Пирсон основан журнал «Biometrika». Первая треть ХХ в. прошла под знаком параметрической статистики. Изучались методы, основанные на анализе данных из параметрических семейств распределений, описываемых кривыми семейства Пирсона. Наиболее популярным было нормальное (гауссово) распределение. Для проверки гипотез использовались критерии Пирсона, Стьюдента, Фишера, основанные на вероятностно-статистических моделях, в которых результаты измерений (наблюдений, испытаний, опытов, анализов) имели нормальное распределение. В те годы были предложены метод максимального правдоподобия, дисперсионный анализ, сформулированы основные идеи планирования эксперимента. 
	Разработанную в первой трети ХХ в. теорию анализа данных называем параметрической статистикой, поскольку ее основной объект изучения - это выборки из распределений, описываемых одним параметром или небольшим числом параметров (2 – 4). Наиболее общим является семейство кривых Пирсона, задаваемых четырьмя параметрами. 
	С математической точки зрения параметрическая статистика дает интересные теоретические схемы, на основе которых построена развитая теория. Для профессионалов укажем на теорию достаточных статистик, неравенство Рао-Крамера, теорию оптимального оценивания и другие внутриматематические достижения.
	Критика параметрической статистики вытекает из ее оторванности от практики статистической работы. Как правило, нельзя указать каких-либо веских причин, по которым распределение результатов конкретных наблюдений непременно должно входить в то или иное параметрическое семейство. Исключения есть, и они хорошо известны: если вероятностная модель предусматривает суммирование независимых случайных величин, то сумму естественно описывать нормальным распределением; если же в модели рассматривается произведение таких величин, то итог, видимо, приближается логарифмически нормальным распределением, и т.д. Однако подобных моделей нет в подавляющем большинстве реальных ситуаций, и приближение реального распределения с помощью кривых из семейства Пирсона или его подсемейств - чисто формальная операция, подгонка. 
	Именно из таких соображений критиковал параметрическую статистику академик АН СССР С.Н.Бернштейн в 1927 г. в своем докладе на Всероссийском съезде математиков. Однако эта теория, к сожалению, до сих пор остается основой преподавания статистических методов и продолжает использоваться основной массой прикладников, использующих статистические методы в различных отраслях народного хозяйства и областях науки, но далеких от новых достижений в статистической науке. Почему так происходит? Чтобы попытаться ответить на этот вопрос, обратимся к наукометрии, т.е. к статистическим методам в науковедении. 
	Наукометрия статистических исследований. В рамках движения за создание Всесоюзной статистической ассоциации (учреждена в 1990 г.) проведен назад анализ статистики как области научно-практической деятельности. Он показал, в частности, что актуальными для специалистов в настоящее время являются не менее чем 100 тысяч публикаций. Реально же каждый из нас знаком с существенно меньшим количеством книг и статей. Так, в известном трехтомнике М Кендалла и А. Стьюарта – наиболее полном на русском языке издании по статистическим методам - всего около 2 тысяч литературных ссылок. При всей очевидности соображений о многократном дублировании в публикациях ценных идей приходится признать, что каждый специалист по статистическим методам владеет лишь небольшой частью накопленных в этой области знаний. Поэтому нет ничего удивительного в том, что приходится постоянно сталкиваться с игнорированием или повторением ранее полученных результатов, с уходом в тупиковые (с точки зрения практики) направления исследований, с беспомощностью при обращении к реальным данным, и т.д. Все это - одно из проявлений адапционного механизма торможения развития науки, вызванного ее быстрым ростом, о котором еще 40 лет назад писали В.В.Налимов и другие науковеды. 
	Традиционный миф состоит в том, что каждый новый результат, полученный исследователем - это кирпич в непрерывно растущее здание науки, который непременно будет проанализирован и использован научным сообществом, а затем и при решении практических задач. Реальная ситуация - совсем иная. Основа профессиональных знаний исследователя, инженера, экономиста, менеджера, социолога, историка, геолога, медика закладывается в период обучения. Затем знания пополняются в том узком направлении, в котором работает специалист. Следующий этап - тиражирование знаний при обучении нового поколения. В результате вузовские учебники отстоят от современного развития на десятки лет. Так, учебники по математической статистике, согласно мнению экспертов, по научному уровню в основном  соответствуют 40-60-м гг. ХХ в. А потому середине ХХ в. соответствует большинство вновь публикуемых исследований и тем более - прикладных работ. Одновременно приходится признать, что результаты, не вошедшие в учебники, независимо от их ценности почти все забываются. Достаточно взглянуть на длинные ряды библиотечных полок с номерами научных журналов за последние сто лет. Сколько из них были хотя бы один раз открыты в текущем веке? Кроме того, сейчас все популярнее поиск информации в Интернете – вплоть до того, что кое-кто из молодых даже забывает о существовании библиотек. А ведь в Интернете можно найти лишь небольшую часть опубликованных в ХХ веке научных работ. 
	Активно продолжается развитие тупиковых направлений. Психологически это понятно. Приведу пример из своего опыта. В свое время по заказу Госстандарта я разработал методы оценки параметров гамма-распределения. Поэтому мне близки и интересны работы по оцениванию параметров по выборкам из распределений, принадлежащих тем или иным параметрическим семействам, понятия функции максимального правдоподобия, эффективности оценок, использование неравенства Рао-Крамера и т.д. К сожалению, я знаю, что это - тупиковая ветвь теории  статистики, поскольку реальные данные не подчиняются каким-либо параметрическим семействам, надо применять иные статистические методы, о которых речь пойдет ниже. Понятно, что специалистам по параметрической статистике, потратившим многие годы на совершенствование в своей области, психологически трудно согласиться с этим утверждением. В том числе и мне. Но необходимо идти вперед. Поэтому настоящий учебник во многом очищен от тупиковых подходов. В том числе и от неравенства Рао-Крамера. Однако я включил разделы 3.1 и 3.2, посвященные оцениванию параметров распределений, поскольку эта тематика часто обсуждается в литературе, причем с устаревших позиций. Например, вместо уходящих в прошлое оценок максимального правдоподобия в настоящее время рекомендуют использовать одношаговые оценки (раздел 3.2).  
	Непараметрическая статистика. Статистические методы, которые не основаны на нереалистическом предположении о том, что рассматриваемые выборки взяты из распределений, описываемых одним параметром или небольшим числом параметров (2 – 4), называют непараметрическими. При математическом обосновании непараметрических статистических методов обычно вводят те или иные условия регулярности, например, требуют непрерывности функции распределения результатов наблюдений или существования математического ожидания и дисперсии. Как правило, подобные условия регулярности носят внутриматематический характер и не ограничивают прикладные возможности непараметрических методов.
	Примерами являются критерии Колмогорова, Смирнова, Реньи, Вилкоксона, омега-квадрат (Крамера – Мизеса – Смирнова), предназначенные для проверки гипотез согласия и однородности и разработанные в 30-е – 40-е гг. ХХ в. История непараметрических коэффициентов корреляции Спирмена и Кендалла уходит корнями в работы начала ХХ в. В 50-х гг. с известной работы Н.В. Смирнова началась разработка методов непараметрического оценивания плотности (см. разд. 2.5). Непараметрическая статистика активно развивается и в XXI веке (см. главу 16). 
	Во второй половине ХХ в. появились новые области статистических методов – робастная статистика, компьютерное статистическое моделирование (методы Монте-Карло, бутстреп-методы), статистика нечисловых и интервальных данных. Эти области активно развиваются и в настоящее время. О них пойдет речь в главе 16. 
	Иные причины привели к появлению и распространению прикладной статистики. Что означает этот термин? Вполне естественно, что математическая статистика выступает как метатеория по отношению к статистическим методам в той или иной области применения – к эконометрике, т.е. статистическим методам в экономике, к наукометрии, к биометрике, хемометрике и другим «метрикам». По цитированному выше определению Б.В. Гнеденко: «разработка приемов статистического наблюдения и анализа статистических данных составляет содержание математической статистики». Почему понадобилась новая научная область – прикладная статистика – между математической статистикой и статистическими методами в конкретных областях применений? Для ответа на этот вопрос необходимо обсудить внутреннюю логику развития статистических методов как научно-прикладной дисциплины.
	Появление прикладной статистики. В нашей стране термин «прикладная статистика» вошел в широкое употребление в 1981 г. после выхода массовым тиражом (33940 экз.) сборника «Современные проблемы кибернетики (прикладная статистика)». В этом сборнике обосновывалась трехкомпонентная структура прикладной статистики [2]. Во-первых, в нее входят ориентированные на прикладную деятельность статистические методы анализа данных (эту область можно назвать прикладной математической статистикой и включать также и в прикладную математику). Однако прикладную статистику нельзя целиком относить к математике. Она включает в себя две внематематические области. Во-первых, методологию организации статистического исследования: как планировать исследование, как собирать данные, как подготавливать данные к обработке, какие вероятностно-статистические модели использовать, какие статистические методы выбирать для обработки данных, как представлять результаты. Во-вторых, организацию компьютерной обработки данных, в том числе разработку и использование баз данных и электронных таблиц, статистических программных продуктов, например, диалоговых систем анализа данных. В нашей стране термин «прикладная статистика» использовался и ранее 1981 г., но лишь внутри сравнительно небольших и замкнутых групп специалистов [2].
	Прикладная статистика и математическая статистика – это две разные научные дисциплины. Различие четко проявляется не только в исследованиях, но и при преподавании. Курс математической статистики состоит в основном из доказательств теорем, как и соответствующие учебники и учебные пособия. В курсах прикладной статистики основное - методология анализа данных и алгоритмы расчетов, теоремы приводятся как обоснования этих алгоритмов, доказательства же, как правило, опускаются (их можно найти в научной литературе). 
	К настоящему времени беспристрастному наблюдателю очевидно четко выраженное размежевание этих двух научных дисциплин. Математическая статистика исходит из сформулированных в 1930-50 гг. постановок математических задач, происхождение которых связано с рассматриваемыми в те времена проблемами анализа статистических данных. Начиная с 70-х гг. ХХ в. исследования по математической статистике посвящены обобщению и дальнейшему математическому изучению этих старых задач. Поток новых математических результатов (теорем) не ослабевает, но новые практические рекомендации по обработке статистических данных при этом не появляются. Можно сказать, что математическая статистика как научное направление замкнулась внутри себя. 
	Сам термин «прикладная статистика» возник как реакция на описанную выше тенденцию. Прикладная статистика нацелена на решение реальных задач. Поэтому в ней возникают новые постановки математических задач анализа статистических данных, развиваются и обосновываются новые методы. Обоснование часто проводится математическими методами, т.е. путем доказательства теорем. Большую роль играет методологическая составляющая - как именно ставить задачи, какие предположения принять с целью дальнейшего математического изучения. Велика роль современных информационных технологий, в частности, компьютерного эксперимента. 
	Рассматриваемое соотношение математической и прикладной статистик отнюдь не являются исключением. Как правило, математические дисциплины проходят в своем развитии ряд этапов. Вначале в какой-либо прикладной области возникает необходимость в применении математических методов и накапливаются соответствующие эмпирические приемы (для геометрии это - «измерение земли», т.е. землемерие, в Древнем Египте). Затем возникает математическая дисциплина со своей аксиоматикой (для геометрии это - время Евклида). Затем идет внутриматематическое развитие и преподавание (известно, что большинство результатов элементарной геометрии получено учителями гимназий в XIX в.). При этом на запросы исходной прикладной области перестают обращать внимание, и та для решения своих задач порождает новые научные дисциплины (сейчас «измерением земли» занимается не геометрия, а геодезия и картография). Затем научный интерес к исходной дисциплине иссякает, но преподавание по традиции продолжается (элементарная геометрия «ушла» из вузов, но до сих пор изучается в средней школе, хотя трудно понять, в каких практических задачах может понадобиться, например, теорема о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке). Следующий этап - окончательное вытеснение дисциплины из реальной жизни в историю науки (объем преподавания элементарной геометрии в настоящее время постепенно сокращается, в частности, ей все меньше уделяется внимания на вступительных экзаменах в вузах). К интеллектуальным дисциплинам, закончившим свой жизненный путь, относится средневековая схоластика. Как справедливо отмечает профессор МГУ им. М.В. Ломоносова В.Н. Тутубалин [18], теория вероятностей и математическая статистика успешно двигаются по ее пути - вслед за элементарной геометрией.
	Резюмируем сказанное. Хотя статистические данные собираются и анализируются с незапамятных времен (см., например, Книгу Чисел в Ветхом Завете), современная математическая статистика как наука была создана, по общему мнению специалистов, сравнительно недавно - в первой половине ХХ в. Именно тогда были разработаны основные идеи и получены результаты, излагаемые ныне в учебных курсах математической статистики. После чего специалисты по математической статистике занялись внутриматематическими проблемами, а для теоретического обслуживания проблем практического анализа статистических данных стала формироваться новая дисциплина - прикладная статистика.  
	В настоящее время статистическая обработка данных проводится, как правило, с помощью соответствующих программных продуктов. Разрыв между математической и прикладной статистикой проявляется, в частности, в том, что большинство методов, включенных в статистические программные продукты (например, в заслуженные Statgraphics и SPSS или в более новую систему Statistica), даже не упоминается в учебниках по математической статистике. В результате специалист по математической статистике оказывается зачастую беспомощным при обработке реальных данных, а пакеты программ применяют (что еще хуже - и разрабатывают) лица, не имеющие необходимой теоретической подготовки. Естественно, что они допускают разнообразные ошибки, в том числе в таких ответственных документах, как государственные стандарты по статистическим методам (о грубых ошибках в ГОСТах рассказано в главе 10). 
	Что дает прикладная статистика народному хозяйству? Так называлась статья [4], в которой приводились многочисленные примеры успешного использования прикладной статистики и других статистических методов при решении практических задач. Перечень примеров можно продолжать практически безгранично (см., например, главы настоящего учебника).
	Методы прикладной статистики используются в зарубежных и отечественных экономических и технических исследованиях, работах по управлению (менеджменту), в медицине, социологии, психологии, истории, геологии и других областях. Их применение дает заметный экономический эффект. Например, в США - не менее 10 млрд. долл. ежегодно только в области статистического контроля качества. В 1988 г. затраты на статистический анализ данных в нашей стране оценивались в 2 млрд. руб. ежегодно [5]. Согласно расчетам сравнительной стоимости валют на основе паритета покупательной способности, эту величину можно сопоставить с 6 млрд. долл. В целом объем отечественного «рынка статистических услуг» был на порядок меньше, чем в США, что совпадает с оценками и по другим показателям, например, по числу специалистов. 
	Своеобразие исторического пути России привело к тому, что в нашей стране нет специализированного научного журнала по статистическим методам. Публикации по новым статистическим методам, по их применениям в технико-экономических исследованиях, в инженерном деле постоянно появляются, прежде всего, в журнале «Заводская лаборатория», в секции «Математические методы исследования». Надо назвать также журналы «Автоматика и телемеханика» (издается Институтом проблем управления Российской академии наук), «Экономика и математические методы» (издается Центральным экономико-математическим институтом РАН), ежегодный межвузовский сборник научных трудов «Статистические методы оценивания и проверки гипотез» (переводится в США).
	Для большинства менеджеров, экономистов и инженеров прикладная статистика и другие статистические методы являются пока экзотикой. Это объясняется тем, что в вузах современным статистическим методам почти не учат. Во всяком случае, по состоянию на 2010 г. каждый квалифицированный специалист в этой области - самоучка. 
	Этому выводу не мешает то, что в вузовских программах обычно есть два курса, связанных со статистическими методами. Один из них - «Теория вероятностей и математическая статистика». Этот небольшой курс обычно читают специалисты с математических кафедр. Они успевают дать лишь общее представление об основных понятиях математической статистики. Кроме того, внимание математиков обычно сосредоточено на внутриматематических проблемах, их больше интересует доказательства теорем, а не применение современных статистических методов в задачах экономики и менеджмента. Другой курс - «Статистика» или «Общая теория статистики», входящий в стандартный блок экономических дисциплин. Фактически он является введением в прикладную статистику и содержит первые начала эконометрических методов (по состоянию на 1900 г.). 
	Статистические методы как учебный предмет опираются на два названных вводных курса. Они призваны вооружить специалиста современным статистическим инструментарием. Специалист – это инженер, экономист, менеджер, геолог, медик, социолог, психолог, историк, химик, физик и т.д. Во многих странах мира - Японии и США, Франции и Швейцарии, Перу и Ботсване и др. - статистическим методам обучают в средней школе. ЮНЕСКО постоянно проводят конференции по вопросам такого обучения. В СССР и СЭВ, а теперь - по плохой традиции - и в России игнорируют этот предмет в средней школе и лишь слегка затрагивают его в высшей. Результат на рынке труда очевиден - снижение конкурентоспособности специалистов.
	Проблемы прикладной статистики и других статистических методов постоянно обсуждаются специалистами. Широкий интерес вызвала дискуссия в журнале «Вестник статистики», в рамках которой была, в частности, опубликована статьи [4]. На появление в нашей стране прикладной статистики отреагировали и в США [6]. 
	В нашей стране получены многие фундаментальные результаты прикладной статистики. Огромное значение имеют работы академика А.Н. Колмогорова. Во многих случаях именно они дали первоначальный толчок дальнейшему развитию ряда направлений прикладной статистики. Зачастую еще 50-70 лет назад А.Н. Колмогоров рассматривал те проблемы, которые только сейчас начинают широко обсуждаться. Как правило, его работы не устарели и сейчас. Свою жизнь посвятили прикладной статистике члены-корреспонденты АН СССР Н.В. Смирнов и Л.Н. Большев. В настоящем учебнике постоянно встречаются ссылки на лучшую публикацию ХХ в. по статистическим методам – составленные ими и подробно откомментированные «Таблицы математической статистики».
	Об отечественных исследованиях в области прикладной статистики и других статистических методов подробнее поговорим в следующем разделе.

15.2. Статистические методы в России

	Специалисты по истории статистики установили, что в России, как и в других странах, статистические исследования проводились c момента возникновения государств. Цели этих исследований, как и описанных в Библии работ под руководством Моисея, вытекали из потребностей государственного управления, прежде всего налогообложения и обороны страны. С XII века (в традиционной хронологии) на Руси проводились переписи населения. Развитие статистической науки началось в России сразу же с выделением в начале XVIII века исследовательской деятельности как необходимой составляющей забот государства. Проще говоря, сразу же с организацией первого научного учреждения - Академии наук.
	Первое статистико-экономическое обозрение России составлено Иваном Кирилловичем Кирилловым (1689 - 1737), обер-секретарем Сената, под названием «Цветущее состояние Всероссийского государства…». Первый в России научный труд по вопросам организации учета населения – «Разсуждение о ревизии поголовной и касаюсчемся до оной» - был написан в 1747 г. Василием Никитичем Татищевым (1686 – 1750), известным государственным деятелем той эпохи. Он, в частности, одним из первых применял анкеты для сбора статистических данных. Большой вклад в теорию и практику отечественной статистики внес Михаил Васильевич Ломоносов (1711 - 1765). 
	Подробное описание развития статистической науки и практики в России можно найти в трудах по истории социально-экономической ветви статистики (см., например, [7]). К сожалению, в этих работах обычно не рассматривается развитие отечественной вероятностно-статистической научной школы. О причинах такой однобокости скажем ниже.
	Реформы императора Александра Второго, создание земств (органов местного самоуправления), дали мощный стимул развитию статистики. Связано это с тем, что штатное расписание губернских и уездных земств, как правило, включало должность статистика. Так, к концу 1894 г. за 15 лет активной статистической деятельности были собраны, разработаны и опубликованы земствами материалы крестьянских подворных переписей по 172 уездам, охватившим около 4 миллионов крестьянских дворов – примерно четвертую часть всего населения России [7, стр.109]. 
	Проведение статистических исследований было делом чести для отечественной интеллигенции. Так, Антон Павлович Чехов по собственной инициативе в 1890 г. осуществил перепись на Сахалине, лично опросив несколько тысяч каторжников.   
	Расцвет статистики в конце XIX века проявился в появлении большого числа оригинальных исследований, выполненных на высоком профессиональном уровне. Одна из них хорошо известна и в настоящее время, что объясняется личностью автора. Речь идет о книге В.И. Ульянова (Ленина) «Развитие капитализма в России. Процесс образования внутреннего рынка для крупной промышленности.» Она была издана в 1899 г., когда автору было 29 лет. По современным критериям за эту монографию автору можно было бы присудить ученую степень доктора экономических наук. Это утверждение свидетельствует не только о высоком профессиональном уровне В.И. Ульянова как исследователя, но и об известной деградации социально-экономической статистики за последние сто лет. 
	Наибольшие достижения в XX веке получены в России в математической статистике. Упомянем работы А.А. Чупрова (1874 – 1926) по теории корреляции. Несколько позже началась деятельность А.Н. Колмогорова.
	Среди математиков ХХ столетия академик АН СССР А.Н. Колмогоров (1903 - 1987) должен быть назван первым. Именно его работы дали первоначальный толчок дальнейшему развитию ряда направлений, важных для современных статистических методов. Зачастую еще 50 - 70 лет назад А.Н. Колмогоров рассматривал те проблемы, которые только сейчас начинают широко обсуждаться.
	Вероятностно-статистические методы исследования в работах А.Н.Колмогорова. С современной точки зрения обсудим работы А.Н.Колмогорова по аксиоматическому подходу к теории вероятностей, критерию согласия эмпирического распределения с теоретическим, свойствам медианы как оценки центра распределения, эффекту «вздувания» коэффициента корреляции, теории средних величин, статистической теории кристаллизации металлов, методу наименьших квадратов, свойствам сумм случайного числа случайных слагаемых, статистическому контролю, несмещенным оценкам, аксиоматическому получению логарифмически нормального закона распределения при дроблении, методам обнаружения различий при экспериментах типа погодных [8].
	Факты жизни и творчества А.Н. Колмогорова подробно рассмотрены в литературе. Его основные работы изданы в трех томах, составленных им самим. Андрей Николаевич считал, что хорошая математическая работа должна содержать простую идею (желательно геометрического характера), использовать «тонкую» аналитику, а хорошая и полезная прикладная работа должна опираться на фундаментальные теоретические основы. 
	Аксиоматический подход к теории вероятностей позволил рассматривать теорию вероятностей и математическую статистику как часть математики, проводить рассуждения на математическом уровне строгости. Введено четкое различие между частотой и вероятностью, случайная величина стала рассматриваться как функция от элементарного исхода, и т.д. За основу методов статистического анализа данных стало возможным брать вероятностно-статистические модели, сформулированные в математических терминах. В результате удалось четко отделить строгие утверждения от обсуждения философских вопросов случайности, преодолеть подход на основе понятия равновозможности, имеющий ограниченное практическое значение. Наиболее существенно, что после работ А.Н.Колмогорова нет необходимости связывать вероятности тех или иных событий с пределами частот. Так называемые «субъективные вероятности» получили смысл экспертных оценок вероятностей. 
	После выхода (в 1933 г. на немецком языке и в 1936 г. – на русском) основополагающей монографии А.Н. Колмогорова аксиоматический подход к теории вероятностей стал общепринятым в научных исследованиях в этой области. Во многом перестроилось преподавание. Повысился научный уровень многих прикладных работ. Однако традиционный подход оказался живучим. С целью повышения строгости формулировок приходится помещать во многих наших учебниках сводки терминов и определений в области вероятностно-статистических методов, опирающиеся на аксиоматику А.Н. Колмогорова.
	В послевоенные годы А.Н.Колмогоров формализовал понятие случайности на основе теории информации: числовая последовательность является случайной, если ее нельзя заметно сжать (т.е. описать существенно короче) без потери информации. Однако этот подход не был предназначен для использования в прикладных работах и преподавании. Он представляет собой важное методологическое и теоретическое продвижение.
	Критерии согласия. В работе 1933 г. «Об эмпирическом определении закона распределения» А.Н.Колмогоров предложил и изучил «критерий Колмогорова». Пусть элементы выборки (независимые случайные величины) объема n имеют непрерывную функцию распределения F(x). Эмпирической функцией распределения Fn(x) называется доля элементов выборки, не превосходящих x. Критерий Колмогорова предназначен для проверки гипотезы 
,
где F0(x) – заданная функция распределения. Его статистика имеет вид

В работе 1933 г. показано, что функция распределения статистики Dn имеет предел,

и рассчитана первая таблица функции распределения Колмогорова 
	Эта работа породила одно из основных направлений непараметрической статистики. И в настоящее время непараметрические критерии согласия (Колмогорова, Смирнова, омега-квадрат и др.) широко используются. Они были разработаны для проверки согласия с полностью известным теоретическим распределением. Основная идея критериев Колмогорова, омега-квадрат и аналогичных им состоит в измерении расстояния между функцией эмпирического распределения и функцией теоретического распределения. Различаются эти критерии видом расстояний в пространстве функций распределения. Расчетные формулы, таблицы распределений и критических значений широко распространены (см. главу 5 выше).
	Часто возникает задача проверки гипотезы согласия эмпирического распределения с параметрическим семейством, например, с семейством нормальных, Вейбулла-Гнеденко или гамма-распределений. Представляется естественным оценить параметры распределения по выборке, а затем формально воспользоваться критериями согласия Колмогорова, Смирнова или омега-квадрат. Вместо фиксированной теоретической функции распределения подставляют функцию из параметрического семейства, в которой параметры заменены на их выборочные оценки. В отличие от классических критериев, при этом измеряются расстояния от эмпирической функции распределения до многообразий (в пространстве функций распределения), соответствующих параметрическим семействам. Развита математическая техника проектирования в функциональных пространствах, которая позволяет строить методы проверки рассматриваемых гипотез.
	Однако распределения таких критериев (как предельные, так и при конечных объемах выборок) существенно отличаются от распределений классических критериев согласия Колмогорова, Смирнова или омега-квадрат. Такие критерии в отличие от классических обычно называют «критериями согласия с параметрическим семейством типа Колмогорова-Смирнова и типа омега-квадрат». (Как показано нами на основе анализа исходных публикаций, корректно употреблять термины «критерий Колмогорова», «критерий Смирнова», «критерий типа Колмогорова-Смирнова», но нельзя говорить о несуществующем «критерии Колмогорова-Смирнова».)
	«Вздувание» коэффициента корреляции – принципиально важное явление, обнаруженное А.Н. Колмогоровым в работе 1933 г. «К вопросу о пригодности найденных статистическим путем формул прогноза». Предположим, что имеется много наборов предикторов (факторов, признаков). Для каждого из них строится наилучшее приближение отклика с помощью линейной функции от предикторов. Показателем качества приближения служит коэффициент корреляции между откликом и наилучшей линейной функцией от предикторов (в настоящее время чаще используют его квадрат, называемый коэффициентом детерминации). Эффект «вздувания» коэффициента корреляции состоит в том, что при увеличении числа проанализированных наборов предикторов заметно растет максимальный из соответствующих коэффициентов корреляции - показателей качества приближения. Создается впечатление, что тот набор предикторов, на котором достигается рассматриваемый максимум, дает хорошее приближение для отклика. Однако это приближение развеивается при попытке использовать соответствующую зависимость для прогноза – по новым данным коэффициент корреляции между откликом и ранее найденной линейной функцией от предикторов оказывается значительно меньшим.
	В настоящее время весьма популярны методы поиска «наиболее информативного множества признаков» в регрессионном и дискриминантном анализе. Соответствующие алгоритмы, как правило, основаны на переборе большого числа наборов признаков. Поэтому, как отмечено в литературе, актуальность рассматриваемой работы А.Н.Колмогорова в настоящее время существенно повысилась. Эффект «вздувания» коэффициента корреляции является одним из проявлений неклассического поведения статистических характеристик в ситуации, когда одна и та же статистическая процедура осуществляется многократно, например, при множественных проверках статистических гипотез (см. раздел 4.5).
	В течение полувека А.Н.Колмогоров интересовался статистическими постановками, в которых число неизвестных параметров растет вместе с объемом данных. К ним относится и работа о «вздувании» коэффициента корреляции. А в 1970-х годах он стимулировал исследования по т.н. «асимптотике Колмогорова» 
,
где р - число параметров, n – объем выборки. Эта асимптотика весьма актуальна как для многомерного статистического анализа (см. главу 6), так и для статистики нечисловых данных, а также для задач статистического приемочного контроля (см. главу 10) и анализа социологических данных (см. главу 13). 
	Метод медианы в теории оценивания. Пусть X1, X2, …, Xn – независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения F и непрерывной плотностью f. Пусть μ и σ2 – соответственно математическое ожидание и дисперсия, а m – медиана распределения F (т.е. P{X1 > m} > 1/2 и P{X1 < m} > 1/2). Медиана всегда существует, но не всегда определяется однозначно. 
	Обычно в качестве оценки для μ используют (в случае нормального закона, прежде всего) выборочное среднее арифметическое
,
обладающее при условии нормальности F оптимальными свойствами. Что делать, если распределение F отлично от нормального? В работе 1931 г. «Метод медианы в теории ошибок» А.Н. Колмогоров предлагает в этом случае оценивать по выборке другую среднюю характеристику распределения – медиану m (для симметричных распределений эти две характеристики совпадают). Пусть Xn(k) – k-ая порядковая статистика, построенная по рассматриваемой выборке. Если n четно, то в качестве оценки mn медианы m возьмем Xn(n/2); если же n = 2k+1, то в качестве оценки m возьмем Xn(k) . С целью сравнения оценок  и mn рассмотрим преобразованные величины
.
Согласно Центральной предельной теореме предельное (при n → ∞) распределение величины  является асимптотически нормальным с нулевым средним и дисперсией σ2. А.Н. Колмогоров показывает, что распределение величины βn является асимптотически нормальным с нулевым средним и дисперсией σm = (1/2)/f(m), если f(m) отлично от 0. Мерой сравнительной точности обоих методов является отношение λ = σm/σ = (1/2)/[σf(m)]. В случае нормальной плотности f имеем λ = (π/2)1/2 ≈ 5/4. Как установил А.Н. Колмогоров, для унимодальных распределений отношение λ может принимать любое значение из интервала (0; ), но не может превосходить . 
	Средние по Колмогорову. Естественная система аксиом приводит к так называемым ассоциативным средним. Их общий вид нашел в 1930 г. А.Н. Колмогоров. Теперь их называют «средними по Колмогорову». Для чисел X1, X2,...,Xn среднее по Колмогорову вычисляется как 
G{(F(X1)+F(X2)+...+F(Xn))/n},
где F - строго монотонная функция (т.е. строго возрастающая или строго убывающая), G - функция, обратная к F. Среди средних по Колмогорову - много хорошо известных средних величин. Так, если F(x) = x, то среднее по Колмогорову - это среднее арифметическое. Для положительных X1, X2,...,Xn: если F(x) = ln x, то среднее по Колмогорову – это среднее геометрическое, если F(x) = 1/x, то среднее гармоническое, если F(x) = x2, то среднее квадратическое, и т.д. Однако такие популярные средние, как медиана и мода, нельзя представить в виде средних по Колмогорову. В настоящем учебнике к средним по Колмогорову обращались в связи с рассмотрением выбора алгоритмов для анализа данных, измеренных в той или иной шкале (см. раздел 11.3). Так, для алгоритмов усреднения установлено, что в шкале интервалов из всех средних по Колмогорову допустимым является только среднее арифметическое, а в шкале отношений - только степенные средние с F(x) = xс, (при с, отличном от 0) и среднее геометрическое. Таким образом, среднее геометрическое или среднее квадратическое температур (в шкале Цельсия) или расстояний не имеют смысла. В качестве среднего в шкале интервалов надо применять среднее арифметическое. А также можно использовать медиану или моду.
	Статистической теории кристаллизации металлов посвящена работа 1937 г. Построена модель возникновения центров кристаллизации и нарастания закристаллизованной массы. При широких допущениях найдена точная формула для вероятности p(t), с которой наудачу выбранная точка Р объема, заполненного подлежащим кристаллизации веществом, попадет в течение промежутка кристаллизации t внутрь уже закристаллизованной массы. С достаточным приближением можно считать, что доля вещества, закристаллизовавшегося за время t, также равно p(t). Рассчитано число центров кристаллизации, образующихся в течение всего процесса кристаллизации. Полученные в этой работе результаты до сих пор представляют интерес для специалистов, связанных с изучением и использованием процессов кристаллизации металлов и иных веществ. 
	Метод наименьших квадратов. В двух работах А.Н.Колмогорова 1946-1947 гг. построена геометрическая теория метода наименьших квадратов, выявляющая роль ортогонального проектирования на подпространства конечномерного евклидова пространства с целью получения оценок параметров. Эта идея затем широко использовалась как в научных исследованиях, так и при преподавании. 
	Вторая идея этих работ состоит в построении алгоритмов доверительного оценивания и проверки гипотез на основе предположения о нормальности распределения погрешностей измерения. К настоящему времени вторая идея изжила себя, поскольку установлено, что в подавляющем большинстве случаев распределение погрешностей заметно отличается от нормального (см. раздел 2.1). Поэтому современный подход (глава 6) к методу наименьших квадратов является непараметрическим, т.е. в определенном смысле наблюдается возврат к доколмогоровским взглядам. 
	Суммы случайного числа случайных слагаемых рассмотрены в работе 1949 г., выполненной совместно с Ю.В. Прохоровым. Эта статья стимулировала исследования по важному для приложений виду предельных теорем. Речь идет прежде всего о статистическом последовательном анализе, в частности, об изучении времени наблюдения в задаче последовательного различения двух простых гипотез. Предельные теоремы о суммах случайного числа случайных слагаемых находят применения в задачах статистического контроля качества и надежности по Вальду, в моделях управления запасами в логистике (см. раздел 8.3) и др.
	Статистический контроль. А.Н. Колмогоров – основоположник современной теории статистического приемочного контроля в нашей стране. Более 150 лет статистические методы применяются в России для проверки соответствия продукции установленным требованиям, т.е. для сертификации. Так, еще в 1846 г. действительный член Петербургской академии наук М.В. Остроградский рассматривал задачу статистического контроля партий мешков муки или штук сукна армейскими поставщиками. Однако современный этап начался в 1951 г. с брошюры А.Н.Колмогорова. С тех пор в России в статистическом контроле качества было сделано многое, особенно в области теории. Вопросы статистического контроля постоянно рассматриваются на страницах журнала «Заводская лаборатория» - основного места публикации отечественных работ по статистическим методам. 
	Большое значение для развития статистических методов управления качеством имеют статья А.Н.Колмогорова 1933 г. о критерии согласия эмпирического распределения с теоретическим и статья 1950 г. о несмещенных оценках. Актуальность первой из них определяется недостатками в используемых до сих пор статистических методах управления качеством. Широко распространенные ошибки состоят в том, что для критериев согласия с параметрическими семействами используют критические значения классических критериев. При этом, например, гипотеза нормальности принимается гораздо чаще, чем следует. Поскольку в действующей нормативно-технической документации дальнейшие этапы анализа данных часто зависят от того, принимается нормальность или нет, то ошибки при такой проверке могут иметь далеко идущие последствия. Так, при анализе характеристик эластомерных материалов при ошибочном подходе из 30 выборок нормальность была отвергнута лишь для 2, а при правильном - для 26, т.е. в подавляющем большинстве случаев. Указанные ошибки встречаются в массе публикаций (хотя специалистам суть дела хорошо известна уже более 50 лет). Наиболее известный пример - полностью ошибочный ГОСТ 11.006-74 (СТ СЭВ 1190-78) «Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим» (формально отменен в 1987 г., но продолжает использоваться как методический материал.
	Популярны и другие ошибки при применении рассматриваемых критериев согласия. Некоторые пытаются их использовать для сгруппированных данных, что приводит к излишне частому принятию нулевых гипотез. Другие вместо эмпирической функции распределения рассматривают иные оценки теоретической функции распределения. Например, при использовании вероятностной бумаги удобно ординату точки, соответствующей i-ой порядковой статистике, установить равной (i – 0,5)/n, а не i/n, как в классической эмпирической функции распределения. Возникает искушение построенную таким методом оценку использовать в критериях согласия вместо эмпирической функции распределения. Увы, распределение изменится (впрочем, в данном случае при росте объема выборки различие будет исчезать). 
	Несмещенные оценки. При оценивании по выборке параметров распределений (либо функций от них) рекомендуют использовать метод максимального правдоподобия, дающий при выполнении условий регулярности асимптотически оптимальные оценки. Однако часто возникают трудности с решением уравнений правдоподобия. Поэтому вместо оценок максимального правдоподобия применяют асимптотически им эквивалентные одношаговые оценки (см. раздел 3.2) или оценки иных видов. Среди последних популярными являются несмещенные оценки. При конечном объеме выборки оценки максимального правдоподобия в ряде случаев хуже несмещенных оценок (см. главу 3). Основная идея использования несмещенных оценок состоит по Колмогорову в следующем. Во многих важных случаях эти оценки существуют. С другой стороны, чрезмерное разнообразие несмещенных оценок может быть значительно сокращено, если воспользоваться несмещенными оценками, которые выражаются через надлежащим образом выбранные достаточные статистики. Надо употреблять только несмещенные оценки, выражающиеся через достаточные статистики: при этом мы не суживаем круг задач, в котором несмещенные оценки существуют, и при переходе от произвольной (даже плохой) несмещенной оценки к осредненной оценке, выражающейся через достаточную статистику, можем только уменьшить дисперсию оценки. Справедлива теорема Рао–Блекуэлла–Колмогорова: оптимальная оценка, если она существует, является функцией от достаточной статистики. 
	А.Н.Колмогоров первым применил несмещенные оценки в задачах статистического контроля; использовал несмещенные оценки для определения эффективности планов выборочного контроля по альтернативному признаку. На основе идей А.Н. Колмогорова рядом авторов были построены несмещенные оценки для предъявленного и пропущенного брака, для априорного распределения числа дефектных изделий в контролируемых партиях, а также получены несмещенные оценки при контроле по альтернативному и количественному признакам. Несмещенные оценки основных показателей контроля включены в некоторые государственные стандарты (например, в ГОСТ 24660-81).
	Полученная А.Н. Колмогоровым несмещенная оценка плотности нормального распределения нашла широкое применение в задачах контроля по количественному признаку. В дальнейшем этот результат перенесен на многомерное нормальное распределение, а также применен для задач статистической классификации. Разработанный нами метод проверки гипотез по совокупности малых выборок (см. разд. 4.4), также основан на использовании несмещенных оценок. Этот метод применяется при статистическом приемочном контроле по нескольким альтернативным признакам. В этом случае оказывается нецелесообразным переход к осредненной оценке, выражающейся через достаточную статистику.
	Введенные А.Н. Колмогоровым верхние и нижние оценки могут быть также использованы, когда несмещенные оценки не существуют. Именно так обстоит дело при оценивании пропущенного брака при биномиальном распределении и плане одноступенчатого контроля. Рядом авторов получены верхние и нижние оценки функций неизвестных параметров, а также оценки с минимальным смещением.
	О логнормальном законе распределения. В 1940 г. Н.К. Разумовский привел много случаев, в которых логарифмы размеров частиц (золотин в золотоносных россыпях, частиц горных пород при их дроблении и т.п.) приближенно подчиняются нормальному закону распределения. В 1941 г. А.Н. Колмогоров указал общую схему случайного процесса последовательного дробления частиц, при которой в пределе, при неограниченном продолжении дробления, нормальный закон для логарифмов размеров частиц может быть установлен теоретически. (Положительная случайная величина Х имеет логнормальный закон распределения, если логарифм величины Х имеет нормальный закон распределения; условия, при которых вероятностная модель приводит к нормальному закону, хорошо известны.)
	Обнаружение различий. В семидесятых – восьмидесятых годах ХХ в. под научным руководством А.Н. Колмогорова на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова работала группа исследователей, занимавшаяся статистическим анализом эффективности экспериментальных методов управления погодой. Речь идет об изменении количеств выпавших осадков, борьбе с градом и рассеянии туманов. Среди прочих вероятностных моделей использовалась и следующая. 
	Имеется n объектов U1, U2, … . Un и с каждым объектом Uk связана пара чисел ak и bk, k = 1, 2, …, n. Пусть ε1, ε2, …, εn – последовательность независимых случайных величин, причем величина εk принимает значение 1 (считаем, что имеет место воздействие) с вероятностью рk и значение 0 (воздействие отсутствует) с вероятностью qk = 1 – pk, k = 1, 2, …, n. В результате наблюдений над объектами нам известны значения случайных пар (εk, Xk), k = 1, 2, …, n, где Xk = ak при εk = 0 и Xk = bk при εk = 1. Задача состоит в сравнении двух последовательностей a(n) = (a1, a2, …, an) и b(n) = (b1, b2, …, bn). Тем самым в этой модели (могущей быть использованной и в других случаях, когда необходимо установить наличие или отсутствие эффекта воздействия) предполагается, что числа ak и bk неслучайны и вся случайность связана с процессом рандомизации. С помощью оценок Горвица – Томпсона и их обобщений можно построить ряд статистических критериев для проверки гипотезы 
H(n): A(n) = B(n),
где
.
	А.Н. Колмогоров заметил, что дисперсии оценок в критериях могут быть заметно уменьшены, если имеются хорошие методы прогноза, позволяющие до начала наблюдений указывать оценки ak* и bk* для ak и bk соответственно. Полагая ak = ak* + Δak и bk = bk* + Δbk, мы можем упомянутые выше процедуры применить не к ak и bk, а к Δak и Δbk. При этом получаются оценки, правильные независимо от качества прогноза, но они будут лучше оценок без обращения к прогнозам лишь в случае хороших прогнозов, когда величины |Δak| и |Δbk| значительно меньше |ak| и |bk| соответственно. 
	Упомянем также работы А.Н.Колмогорова по теории стрельбы, выполненные в военные годы, по генетике и биологии, по лингвистике. Особенно велик вклад, сделанный А.Н.Колмогоровым и его учениками (М.Д. Миллионщиков, А.С. Монин, А.М. Обухов, А.М. Яглом и др.) в теорию турбулентности. Здесь упомянем знаменитый колмогоровский «закон двух третей» о распределении энергии в спектре турбулентности, полученный из простых соображений размерности
	Многие работы А.Н.Колмогорова представляют несомненный интерес для всех, кто разрабатывает или применяет статистические методы. Его мысли еще долго будут приносить нам всем практическую пользу. Отечественная вероятностно-статистическая научная школа порождена идеями А.Н. Колмогорова. Это хорошо видно на примере работ его ученика Б.В. Гнеденко.
	Статистические методы в работах Бориса Владимировича Гнеденко. При анализе актуальных для XXI в. работ академика АН УССР Б.В. Гнеденко (1912 – 1995) основное внимание уделим предельным теоремам теории вероятностей, математической статистике, теории надежности, статистическим методам управления качеством и теории массового обслуживания [9]. Одна из основных научных заслуг Б.В. Гнеденко - обоснование необходимости развития статистических методов как самостоятельного научного направления, подробное рассмотрение ряда проблем, относящихся к этому направлению. 
	В XXI веке наиболее ценным для нас является удивительное умение Б.В. Гнеденко (далее - Б.В.) объединить в своем творчестве глубокие теоретические изыскания и практические разработки. В настоящее время всё глубже становится разрыв между внутриматематическими изысканиями, от которых в обозримом будущем нельзя ждать практической пользы, и попытками решения прикладных задач методами, устаревшими на полвека. Уникальность Б.В. в том, что он своей личностью устранял этот пагубный разрыв. Он был одновременно великим теоретиком и великим прикладником. Чем больше проходит времени с того момента, как Б.В. завершил свои труды, тем яснее становится основополагающая роль его идей, его методологического подхода в нашей нынешней работе. Научный путь Б.В. заслуживает подробного осмысления.
	Из теоретических исследований Б.В. больше всего известны работы по предельным теоремам теории вероятностей, в том числе классическая монография о суммах независимых случайных величин 1949 г., написанная совместно с А.Н. Колмогоровым, статьи по предельным распределениям крайних членов вариационного ряда. Основополагающие результаты получены им в математической статистике, например, в задаче проверки однородности двух выборок. Для прикладников Б.В. - лидер в области теории надежности, массового обслуживания, статистических методов управления качеством продукции. По его «Курсу теории вероятностей» учились многие поколения специалистов. Большое значение имеют работы по истории науки и по другим направлениям, среди которых особенно выделяется методология научных исследований.
	От практики - к теории, от теории - к практике (четыре этапа научного пути). Научный путь Б.В. можно разбить на четыре этапа. Первый (1930-1934) прошел на кафедре математики текстильного института в г. Иваново, куда он был направлен в 1930 г. после окончания Саратовского университета. На этом этапе Б.В. пришел к глубокому убеждению, что полноценная творческая жизнь математика связана с широким использованием математических методов в решении задач практики и одновременном развитии самих математических методов, без чего невозможно глубокое изучение и удовлетворение потребностей практики. В ивановский период он увлекся теорией вероятностей. 
	Второй этап (1934-1945) - исследовательская работа в Москве. В 1934 г. Б.В. поступил в аспирантуру Московского университета. Его научными руководителями стали А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров. Еженедельно собирался общегородской семинар по теории вероятностей, где с новыми результатами выступали известные ученые А.Н. Колмогоров, Е.Е. Слуцкий, Н.В. Смирнов, А.Я. Хинчин, а также аспиранты, молодые физики, биологи и инженеры. Б.В. увлекся предельными теоремами для сумм независимых случайных величин. В июне 1937 г. он защитил кандидатскую диссертацию «О некоторых результатах по теории безгранично-делимых распределений», а в начале июня 1941 г. - докторскую диссертацию, состоящую из двух частей: теории суммирования независимых случайных величин и теории распределения максимального члена вариационного ряда. В годы Великой Отечественной войны Б.В. Гнеденко принимал активное участие в решении многочисленных задач, связанных с обороной страны.
	Третий этап научного пути Б.В. - украинский (1945-1960). В 1945 г. Академия наук Украинской ССР избрала Б.В. Гнеденко своим членом-корреспондентом и направила во Львов, где он восстанавливал Львовский университет и организовывал учреждения Академии наук УССР. Во Львове Б.В. Гнеденко читал разнообразные курсы: математический анализ, вариационное исчисление, теорию аналитических функций, теорию вероятностей, математическую статистику и др. Его научная работа в этот период также была весьма разнообразна. Ему удалось доказать в окончательной формулировке локальную предельную теорему для независимых, одинаково распределенных решетчатых слагаемых (1948 г.). Здесь начались исследования по непараметрическим методам статистики. Но основное значение имела работа Б. В. Гнеденко над учебником «Курс теории вероятностей» (первое издание - 1949 г.) и монографией «Предельные распределения для сумм независимых случайных величин». 
	В 1950 г. Президиум АН УССР перевел Б.В. в Киев, где в Институте математики АН УССР им был организован отдел теории вероятностей и математической статистики. Одновременно Б.В. заведовал кафедрой математического анализа в Киевском университете.
	Естественно, что очень скоро вокруг него образовалась группа молодых ученых, увлекшаяся теорией вероятностей и задачами математической статистики. Первыми киевскими учениками Б.В. были В.С. Королюк и В.С. Михалевич, впоследствии известные ученые. Характерно для Б.В., что в Киеве он организовал городской семинар по истории математики при Институте математики АН УССР. Он объединил многих ученых, работающих в области истории науки.  
	В 1953-1954 гг. Б.В. работал в ГДР, а по возвращении Президиум АН УССР поручил ему возглавить работу по организации Вычислительного центра. Ядром группы ученых были сотрудники академика С.А. Лебедева, разработчика первой в Европе ЭВМ, получившей название МЭСМ (малая электронная счетная машина). Одновременно Б.В. возглавил работу по созданию курса программирования для ЭВМ, который начал читать студентам Киевского университета - будущим сотрудникам Вычислительного центра. Этот курс - первая в СССР книга по программированию. Начались работы по проектированию универсальной машины «Киев» и специализированной машины для решения систем линейных алгебраических уравнений. В этот период Президиум АН УССР возложил на Б.В. Гнеденко обязанности директора Института математики АН УССР и председателя бюро физико-математического отделения.
	Широкая организационная деятельность не ослабила научной и педагогической деятельности Б. В. Гнеденко. Именно к этому периоду относится начало разработки им двух новых направлений прикладных научных исследований - теории массового обслуживания и вопросов использования математических методов в современной медицине. 
	Четвертый этап научного пути (1960-1995) - снова Москва. В 1960 г. Б.В. переехал в Москву и возобновил работу в Московском университете. Сразу же Б.В. организовал московский семинар по математической теории надежности и теории массового обслуживания, привлекший многочисленных участников. Большое внимание Б.В. уделял разработке основ теории надежности, решению задач теории резервирования с восстановлением, оптимальной профилактики, управлению качеством промышленной продукции в процессе производства. 
	В 1965 г. А.Н. Колмогоров передает Б.В. руководство кафедрой теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, которой Б.В. заведовал до своих последних дней. 
	Методологическими проблемами математики Б.В. систематически интересовался с конца 1950-х гг. Он - член научного совета при Президиуме АН СССР по философским проблемам естествознания. С первых дней Общества по распространению научных и политических знаний (общество «Знание») он принимает активное участие в его работе. 
	Общее количество опубликованных научных трудов Б.В. - около тысячи. Рассмотрим подробнее основные направления его научной деятельности.
	Суммирование независимых случайных величин. В 30-е годы внимание Б.В. привлекли задачи, связанные с суммированием независимых случайных величин (с.в.). Интерес к таким задачам появился в математике еще в 17 веке. Невозможность прямых вычислений распределений сумм независимых с.в. приводит к необходимости получения и изучения асимптотических формул для них, т. е. таких формул, которые позволяют находить с нужной точностью требующиеся нам вероятности, связанные с суммами с.в. Эти формулы даются предельными теоремами теории вероятностей. Таким образом, аппроксимация многократных сверток распределений потребовала развития глубокой математической теории, которая называется теорией предельных теорем для сумм независимых с.в. или теорией суммирования.
	Начало развития этой теории связано с работами Я.Бернулли и А.Муавра начала XVIII в., в которых были доказаны Закон больших чисел (ЗБЧ) и Центральная предельная теорема (ЦПТ) для независимых с.в., принимающих два значения. Эти исследования были продолжены в XIX в. П.Лапласом, С.Пуассоном, К.Гауссом и другими учеными, но вплоть до 1860-х гг. рассматривались лишь с.в., принимающие два значения. Лишь в 1867 г. П.Л.Чебышев получил ЗБЧ в общем виде, а достаточно общая форма ЦПТ была найдена лишь в работах А.М.Ляпунова и А.А.Маркова на рубеже XIX и XX вв. Наиболее бурное развитие теории суммирования пришлось на 20 - 40 гг. ХХ в. и связано с именами А.Н. Колмогорова, Б.В. Гнеденко, А.Я. Хинчина, П. Леви, В. Феллера и Дж. Линдеберга.
	Класс возможных предельных распределений для сумм независимых случайных величин, как показали А.Я. Хинчин и Г.М. Бавли, совпадает с классом безгранично-делимых распределений. Оставалось выяснить условия существования предельных распределений и условия сходимости к каждому возможному предельному распределению. Заслуга постановки этих задач и их решения принадлежит Б.В. Он в 1937 г. предложил оригинальный метод, получивший название метода сопровождающих безгранично-делимых законов. Единым приемом удалось получить все ранее найденные в этой области результаты, а также и ряд новых. 
	В теории суммирования доказывались как интегральные предельные теоремы, то есть теоремы о сходимости функций распределения, так и локальные теоремы, то есть теоремы о сходимости плотностей (для гладких распределений) и об асимптотическом поведении вероятностей отдельных значений для решетчатых распределений. В 20 - 40 гг. ХХ в. были получены исчерпывающие результаты о ЗБЧ в классической формулировке. Отметим, что законы больших чисел в пространствах нечисловой природы, найденные в последней четверти ХХ в., формулировались и доказывались исходя из совсем иных подходов - не на основе суммирования, а на основе решений оптимизационных задач.
	Во всех разделах теории суммирования Б.В. получил фундаментальные результаты, пролившие свет на существо дела. Итогом развития классической теории суммирования явилась публикация в 1949 г. монографии Б.В. Гнеденко и А.Н. Колмогорова, которую можно назвать монументом создателям этой теории. Методы и результаты теории суммирования применяются в различных разделах теории вероятностей, статистических методов и их применений, а книга «Предельные распределения для сумм независимых случайных величин» остается источником новых идей для многих исследователей. Эта книга - одно из наиболее замечательных достижений математики ХХ века. 
	Предельные теоремы для крайних порядковых и разделимых статистик. Работы по предельным теоремам для крайних порядковых статистик публикуются уже в течение почти сотни лет, начиная с двадцатых годов ХХ в. Среди авторов таких публикаций: Додж, фон Мизес, Фреше, Фишер и Типпет, Б. де Финетти, Гумбель. В.Б. Невзоров и другие. Здесь наиболее полные и глубокие результаты получены Б.В. 
	Пусть x1,..., xn - независимые одинаково распределенные с функцией распределения F случайные величины; тогда величины  и  называются крайними (или экстремальными) порядковыми статистиками, а также крайними членами вариационного ряда. Предположим, что для функции распределения F найдутся последовательности констант , для которых существуют невырожденные предельные (с ростом n) функции распределения G крайних членов преобразованной выборки  Тогда согласно общей теории функция G имеет один из трех типов. Среди них широко используемое на практике распределение Вейбулла-Гнеденко. Б.В. получены необходимые и достаточные условия, относящиеся к F, чтобы получить тот или иной тип G. 
	Являясь выдающимся специалистом по теории суммирования независимых случайных величин, Б.В. решил результаты этой теории применить к суммированию зависимых случайных величин. Поэтому он проявил интерес к таким случайным величинам  совместное распределение которых совпадает с условным совместным распределением некоторых независимых случайных величин  при условии фиксации суммы последних в некоторой точке. Отправляясь от величин  можно построить класс сумм зависимых случайных величин, называемых в отечественной литературе разделимыми статистиками. Распределения последних известным образом выражаются через распределения сумм соответствующих независимых случайных величин (векторов). Тем самым, для получения предельных (с ростом числа слагаемых) теорем для разделимых статистик надо воспользоваться результатами суммирования независимых величин или их многомерными аналогами - в случае векторов. Работы по разделимым статистикам продолжили Э.М. Кудлаев и другие исследователи.
	Теория массового обслуживания. Большим и весьма практически важным разделом современных статистических методов, в становление и развитие которого Б.В. внес неоценимый вклад, является теория массового обслуживания (ТМО). Первый цикл работ в этом направлении он выполнил в Иванове. В частности, он занимался изучением связи неровноты пряжи по номеру и весу, выяснением эффёктивности перехода от обслуживания одного станка к обслуживанию нескольких станков, оценкой длины среднего перехода между станками, который выполняет ткачиха в процессе обслуживания ткацких станков, выявлением особенностей метода станкообходов для нормирования рабочего времени станка и рабочего. Этой тематике посвящена первая книга Б.В. 
	В опубликованной перед самой войной работе Б.В. решает задачу определения среднего числа зарегистрированных счетчиком Гейгера-Мюллера частиц (известно, что в силу наличия «мертвой зоны» счетчик Гейгера-Мюллера регистрирует не все попадающие в него частицы). В терминах ТМО рассматриваемая модель может быть описана как однолинейная система массового обслуживания (СМО) с потерями, нестационарным пуассоновским входящим потоком и постоянным временем обслуживания. Заметим, что и к настоящему времени СМО с нестационарным входящим потоком исследованы крайне мало. 
	К задачам ТМО Б.В. возвращается в 50-е гг., хотя, по собственному признанию, уже во время войны он не раз размышлял над ними. И теперь до последних дней жизни это направление, наряду с теорией суммирования и математической теорией надежности, становится одним из основных в его научной деятельности. Б.В. обобщает формулы Эрланга на системы с ненадежными восстанавливаемыми приборами, рассматривая как случай с потерей требования при отказе прибора, так и случай перехода недообслуженного требования на другой свободный прибор, и т.д. 
	В 1956 г. Б.В. прочитал первый в СССР спецкурс по ТМО. В 1958 г. цикл его лекций по теории массового обслуживания был опубликован, а затем послужил основой для широко известной монографии, выпущенной в 1966 г. Эта книга и до сих пор остается одной из основополагающих при подготовке специалистов по ТМО не только в нашей стране, но и за рубежом. В дальнейшем Б.В. выпустил еще две монографии, оказавшие значительное влияние на развитие ТМО. 
	В последующие годы Б.В. опубликовал еще более 30 статей, относящихся к ТМО. В этих статьях, наряду с решением отдельных задач по ТМО, он дает детальные обзоры существующих методов исследования, формулирует новые проблемные направления. Важнейшей задачей Б.В. считал пропаганду на всех уровнях, начиная от школьников и кончая профессиональными математиками и управленцами высокого уровня, широчайшего внедрения методов ТМО в инженерную практику. 
	О работах Б.В. в области математической статистики, теории надежности и контроля качества. Статистические методы были в центре научных и педагогических интересов Б.В. на протяжении всей его творческой жизни. «Каждому специалисту нужно знать математическую статистику» – так называется одна из его статей. Уже в первых его публикациях, посвященных математическому анализу проблем текстильного производства, проявился живой интерес и умение Б.В. работать с реальными данными. 
	Мировую известность Б.В. как статистику принес цикл работ, выполненный им вместе со своими учениками и сотрудниками в конце 40-х – первой половине 50-х гг. Он изучал проблему проверки гипотезы однородности двух независимых выборок с помощью статистики, равной максимуму разности соответствующих эмпирических функций распределения (т.н. двухвыборочная односторонняя статистика Н.В. Смирнова). Б.В. предложил метод вычисления точного распределения статистики критерия для конечных выборок равного объема, позволивший получить простое доказательство найденных ранее Н.В. Смирновым предельных теорем и достаточно точные асимптотические разложения. А.Н. Колмогоров высоко оценил исследования Б.В. по непараметрической статистике. И сейчас, через 50 лет, эти результаты Б.В. по-прежнему актуальны для применения математических методов исследования (см., например, раздел 14.6 выше). 
	По статистике Б.В. опубликовал более 50 работ. Среди них - посвященные проблемам статистического образования, а также приложениям статистических методов в технических исследованиях, теории надежности и контроле качества, экономике и социальных науках, биологии и медицине, во многих других областях.
	Б.В. всегда был среди тех ученых, которые, с одной стороны, глубоко понимали необходимость развития вычислительной техники как основы и предпосылки внедрения результатов теоретических (и в том числе математико-статистических) исследований в практику; а с другой - предвидели широкие горизонты новых исследований, которые представляли высокопроизводительные компьютеры. Он не только руководил созданием Вычислительного центра АН УССР, но и был у истоков создания Института кибернетики АН УССР. Как уже отмечалось, Б.В. был написан первый в СССР учебник по программированию. Начатые Б.В. в сотрудничестве с Н.М. Амосовым работы по машинной диагностике сердечных заболеваний во многих своих аспектах являются примером высококлассного прикладного статистического исследования, по своей тематике относящегося к проблемам классификации (см. разд.6.4). К сожалению, Б.В. не дали завершить эти исследования. Являясь одним из виднейших математиков, работавших в то время на Украине, он был вынужден покинуть Киев и переехать в 1960 г. в Москву.
	Вопросами теории надежности и проблемами управления (а значит, и контроля) качества Б.В. начал заниматься еще во второй половине 50-х гг.. По мере знакомства с уровнем качества продукции промышленных предприятий в нем крепла уверенность в необходимости использования математических методов для объективной оценки качества и прогноза надежности изделий. К разработке математической теории надежности он привлек своих учеников И.Н. Коваленко, В.С. Королюка, Т.П. Марьяновича. Сам Б.В. в это время выполнил ряд прикладных работ, связанных с анализом надежности и методикой расчета нагрузки электрических сетей промышленных предприятий.
	В Москве, будучи одним из создателей и признанным лидером советской школы математической теории надежности, Б.В. приобрел огромное неформальное влияние на развитие этой теории не только на всей территории СССР, но и далеко за ее пределами. Другой мощной школой в теории надежности является североамериканская. Две школы отличались по тематике исследований и во многом дополняли друг друга. Достижения этих школ 60–80-х гг. до сих пор предопределяют мировое развитие теории надежности.
	Продвижению результатов математической теории надежности в практику Б.В. придавал не меньшее значение, чем развитию самой математической теории. По его мнению, важнейшими аспектами востребованности и успешного применения практикой являются
	(а) наличие в теории богатого набора математических моделей, отражающих разнообразные явления предметной области;
	(б) наличие в предметной области специалистов, способных понять математические модели и превратить их в «руководящие указания» на производстве;
	(в) наличие литературы самого разного уровня, отражающей достижения теории и практику ее применения;
	(г) возможность прямого контакта между создателями теории и специалистами предметной области для взаимной корректировки задач теории и методов ее приложения в предметной области.
	Все перечисленные выше моменты нашли счастливое сочетание в работе огромного незримого коллектива ученых и практиков, имевших отношение к созданию и приложению теории надежности и управлению качеством в СССР. Усилиями Б.В., его сотрудников и учеников с 1960 по 1985 гг. разработана весьма разветвленная математическая теория надежности и математическая теория контроля качества. Была налажена широкая пропаганда необходимости практического использования теоретических результатов, в том числе по линии общества «Знание». Организованы семинары и лекционные курсы в Политехническом музее, в МГУ им. М.В. Ломоносова, а затем и во многих городах СССР, где инженерный состав получал необходимую математическую подготовку для понимания и применения методов теории надежности и контроля качества. В кабинете надежности при Политехническом музее все заинтересованные лица могли получить консультации у ведущих специалистов, включая и самого Б.В. Издательства «Советское радио» и «Знание» выпустили серию книг, посвященных различным аспектам теории надежности и контроля качества. Огромное влияние оказала основополагающая монография «Математические методы в теории надежности», написанная Б.В. вместо с Ю.К. Беляевым и А.Д. Соловьевым, а также ряд других монографий с участием Б.В., в частности, небольшая яркая книга «Математика и контроль качества продукции».
	Была развернута большая работа по подготовке специалистов высшей категории в области теории надежности. В руководстве ряда отраслей промышленности оказались специалисты, хорошо понимающие необходимость внедрения современных методов теории надежности и контроля качества. И во всем этом самое непосредственное участие принимал Б.В. В результате, достижения математической теории надежности и контроля качества нашли широкое признание, как в научных кругах, так и среди прикладников. Правда, с сожалением приходится констатировать, что в целом на реальном подъеме качества продукции в стране, за исключением предприятий оборонно-промышленного комплекса, эти достижения сказались мало.
	Развитие теории управления качеством и надежностью активно продолжается и в настоящее время. В частности, в журнале «Заводская лаборатория» постоянно обсуждаются различные прикладные и теоретические проблемы управления качеством. В современных условиях реализация накопленного научного потенциала может дать значительное ускорение экономического роста как отдельных предприятий, так и страны в целом.
	Конечно, нельзя не отметить и огромный личный вклад Б.В. в математическую теорию надежности. Предметом его наибольшего интереса была теория резервированных систем с восстановлением. Здесь им была поставлена задача, которая имела многочисленные продолжения в работах других математиков, а именно – задача об асимптотическом распределении момента первого отказа резервной группы с быстрым восстановлением. Б.В. удалось установить связь с асимптотической теорией суммирования случайного числа случайных слагаемых. И эта задача была им с блеском решена. Отметим, что подобные суммы используются не только в теории надежности, но и в различных иных прикладных областях, в частности, в логистике, т.е. науке о движении материальных, финансовых и информационных потоков (см. раздел 8.3).
	И как здесь не вспомнить слова Б.В. о взаимообогащении фундаментальных и прикладных наук: «Я глубоко убежден в том, что прикладные проблемы не только дают возможность демонстрации силы математических методов и решения множества задач, необходимых для жизненной практики, но имеют огромное значение для развития самой математики. Дело в том, что в прикладных задачах часто приходится сталкиваться с совсем новыми ситуациями, о которых математик-теоретик не может догадаться. Традиционные методы математики недостаточны для решения возникающих вопросов, требуется разработка новых методов исследования и, возможно, – даже новых ветвей математики. Но практика важна для науки и тем, что именно практика выясняет возможности той или иной области математики для решения актуальных проблем других научных дисциплин и повседневных нужд общества. И, в конечном счете, ценность исследований математика будет определяться по тому, насколько широко и глубоко развиваемые им теории позволяют проникнуть в проблемы познания законов окружающего мира, помогают решению житейских проблем, касающихся всего общества. Чем теснее связана та или иная ветвь математики с практикой жизни, тем разнообразнее ее проблемы, тем быстрее она развивается. Так было, так есть и так будет». 
	История математики и преподавание. Вскоре после создания Академии педагогических наук РСФСР (основана в 1943 г.) Б.В. приглашен в Институт методов обучения. Итог его работы – «Очерки истории математики в России», адресованные в первую очередь учителям и школьникам. Эта замечательная книга - первое достаточно полное исследование истории математики в нашей стране. 
	Несомненной заслугой Б. В. является то, что он показал, что история математики необходима действующему математику. На Третьем Всесоюзном математическом съезде (1956) Б.В. перечислил магистральные направления историко-научных исследований в этой области. Он подчеркнул значение истории математики «а) для целей выяснения общих закономерностей развития математики, б) для выявления общих перспектив ее последующего развития, для выявления методологических установок науки, г) для выяснения связей с другими науками и роли математики в истории культуры, д) для целей преподавания и воспитания». 
	Эти задачи Б.В. реализовывал на протяжении пятидесяти лет, написав более 180 работ по истории математики. Среди них - более 32 биографических статей, посвященных Н.И. Лобачевскому, П.Л. Чебышеву, М.В. Остроградскому, А.Н. Колмогорову и др. В «Очерке по истории теории вероятностей» он прослеживает предысторию теории вероятностей, анализируя труды ученых, стоящих у истоков этой науки: Л. Пачолли (основатель бухгалтерского учета), Дж. Кардано, Н. Тартальи, Г. Галилея, Б. Паскаля, П. Ферма, Х. Гюйгенса. Б.В. мастерски умел показать в элементарных рассуждениях предшественников зерна более широких идей. Изложение столь понятно и интересно, что хочется заглянуть в первоисточники – труды Я. Бернулли, П.Л. Чебышева, П. Леви и других. 
	Наиболее известная книга Б.В. – учебник «Курс теории вероятностей». Им пользуются студенты университетов уже свыше полувека. Он выдержал несколько десятков изданий в СССР, США, ГДР, Японии и многих других странах. Совместно с А.Я. Хинчиным Б.В. написал научно-популярную книгу «Элементарное введение в теорию вероятностей», которая также вот уже более пятидесяти лет пользуется огромной популярностью и выдержала множество изданий в СССР и за рубежом.
	Б.В. уделял большое внимание вопросам преподавания. Он руководил научно-исследовательскими семинарами но программированному обучению, по вопросам преподавания в средней школе, был председателем секции теории вероятностей и математической статистики и секции средней школы Московского математического общества. Большое число статей опубликовано им в журналах «Вестник высшей школы», «Математика в школе», в сборниках научно-методического совета Минвуза СССР.  
	Лекции Б.В. пользовались большим успехом в любой аудитории. Естественна попытка проанализировать те средства, которые использовал Б. В. для воздействия на слушателей во время лекций. Суть их в простоте, в уважении своих слушателей, в желании передать им те сведения, которые им необходимы; в демонстрации на ярких и доступных примерах важности того, о чем идет речь; в умении связывать общие идеи с различными частными задачами, которые близки интересам слушателей; в ненавязчивом, постоянном воспитании научного мировоззрения. И все это вместе взятое высказывалось Б. В. Гнеденко на лекциях так, что в каждый момент звучало нужное слово с нужной интонацией.
	Охватывая в своем творчестве весь диапазон, который может попасть в поле зрения математика - от исходной практической проблемы до теоретической чисто математической задачи и затем от решения этой задачи обратно к практической проблеме - Б.В. вполне естественно обращался к осмыслению своего пути исследователя. Он посвящал методологическим исследованиям отдельные работы, постоянно обращался к проблемам таких исследований в книгах более общего характера. Методологические вопросы постоянно обсуждались также в публикациях, посвященных роли математических методов исследования в научно-техническом прогрессе или применению современных статистических методов в управлении качеством продукции.
	Своей личностью, своей собственной научной, педагогической и организационной работой Б.В. Гнеденко показывал пример плодотворного единения теории и практики. И символично, что он в 1961 г. создал раздел «Математические методы исследования» в журнале «Заводская лаборатория» и возглавлял его более 30 лет. И сейчас для нас важны его выступления на страницах этого журнала, в котором публикуются основные отечественные работы по статистическим методам.
	В довоенный период советская вероятностно-статистическая наука прославилась двумя достижениями. Об одном – построении А.Н. Колмогоровым теории вероятностей на основе теории меры и интеграла Лебега – уже говорилось. Второе – разработка непараметрических критериев проверки согласия и однородности. Сначала фундаментальный результат – критерий согласия эмпирического с распределения с теоретическим (критерий Колмогорова) - был получен А.Н.Колмогоровым, затем дело взял в свои руки член-корреспондент АН СССР Николай Васильевич Смирнов (1900 - 1966).
	О работах Н.В. Смирнова. Его основные научные труды опубликованы в сборнике [10], на который и будем ссылаться. Наиболее ценная книга ХХ в. по статистическим методам, на наш взгляд, подготовлена членами-корреспондентами АН СССР Л.Н. Большевым и Н.В. Смирновым. Это – «Таблицы математической статистики» (далее «Таблицы…»). Название не должно обманывать – весьма полезна начинающая книгу пояснительная часть (разделы с кратким и строжайше выверенным описанием классических статистических методов, примерами их применения, комментариями к таблицам). Учебники Н.В. Смирнова по статистическим методам и по сей день остаются среди лучших. 
	Мы уже упоминали, что с работы Н.В Смирнова 1951 г. «О приближении плотностей распределения случайной величины» [10, с.205-223] началось развитие такого перспективного, в том числе в статистике нечисловых данных, направления, как непараметрические оценки плотности. Однако с его именем чаще связывают «критерии Смирнова». Пусть Fn(t) – эмпирическая функция распределения, построенная по выборке объема n из непрерывной функции распределения F(t). Для определенности напомним, что согласно Л.Н. Большеву и Н.В. Смирнову значение эмпирической функции распределения в точке х равно доле результатов наблюдений в выборке, меньших х. Одновыборочные критерии Смирнова, введенные в статье 1939 г. «Об уклонениях эмпирической функции распределения» [10, с.88-107], основаны на статистиках
.
Очевидно, критерий Колмогорова есть максимум этих двух статистик. Поэтому возникает желание объединить все три критерия в одну группу – группу критериев Колмогорова-Смирнова. Однако разработанные Н.В. Смирновым методы рассуждений, использованные для получения распределений рассматриваемых статистик, совершенно оригинальны. Они не имеют ничего общего с подходом А.Н. Колмогорова. Поэтому мы считаем, что надо говорить отдельно о критерии Колмогорова и отдельно о критериях Смирнова, а если уж надо объединить их вместе, то говорить о критериях типа Колмогорова-Смирнова, но не о критериях Колмогорова-Смирнова, поскольку употребление последнего выражения приводит к искажению исторической правды. 
	Двухвыборочные критерии Смирнова однородности двух независимых выборок были им предложены и изучены в 1939 г. (см. [10, с.117-127]). Единственное ограничение - функции распределения F(x) и G(x) должны быть непрерывными. Критерии Смирнова основан на использовании эмпирических функций распределения Fm(x) и Gn(x), построенных по первой и второй выборкам соответственно. Значение двухсторонней статистики Смирнова

сравнивают с соответствующим критическим значением (см., например, «Таблицы…») и по результатам сравнения принимают или отклоняют гипотезу Н0 о совпадении (однородности) функций распределения (подробнее – в главе 5). Практически значение статистики Dm,п рекомендуется согласно «Таблицам…» вычислять по формулам
,
,
,
где x'1 < x'2 < … < x'm - элементы первой выборки x1, x2, …, xm, переставленные в порядке возрастания, а y'1 < y'2 < … <y'n - элементы второй выборки y1, y2, …, yn, также переставленные в порядке возрастания. Поскольку функции распределения F(x) и G(x) предполагаются непрерывными, то вероятность совпадения каких-либо выборочных значений равна 0. Статистики  также могут быть использованы для проверки однородности двух независимых выборок. Их называют двухвыборочными односторонними статистиками Смирнова.
	Статистика омега-квадрат 

также используется для проверки согласия эмпирического распределения с фиксированным теоретическим. Эту статистику в 1928 - 1931 гг. предлагали использовать Г. Крамер и Р. фон Мизес, однако ее предельное распределение вычислил в 1937 г. Н.В. Смирнов в статье «О распределении  – критерия Мизеса» [10, с.60-78], что и позволило использовать эту статистику в практических расчетах. Поэтому статистику  обычно называют также статистикой Крамера-Мизеса-Смирнова. Имеющаяся в статье [10, с.60-78] погрешность в формулировке леммы 6 (с.75, формула (97)) (пропущен множитель (-1)k из-за неправильного применения теории функций комплексного переменного) исправлена нами в статье 1974 г., посвященной скорости сходимости распределения статистики Мизеса – Смирнова.
	Как следует из сказанного выше, А.Н. Колмогоров и Б.В. Гнеденко внесли огромный вклад в развитие статистических методов. Однако они занимались и многими другими проблемами (особенно А.Н. Колмогоров). Полностью посвятили себя статистическим методам в ХХ в. только два исследователя с академическими званиями – члены-корреспонденты АН СССР Н.В. Смирнов и Л.Н. Большев. 
	Логин Николаевич Большев (1922 - 1978) до конца Великой Отечественной войны участвовал в боевых действиях как летчик-истребитель. В 1951 г. окончил механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, будучи учеником А.Н. Колмогорова. Затем стал сотрудником Математического института АН СССР, в котором работал бок о Н.В. Смирновым, которого и сменил в 1966 г. на посту руководителя отдела математической статистики. Для работ Л.Н. Большева характерно сочетание высокого математического уровня с направленностью на практические приложения статистических методов. Его безвременная кончина обозначила рубеж, после которого разрыв между математической статистикой и статистическими методами (включая прикладную статистику) стал в сложившихся отечественных условиях неизбежным.
	Профессор В.В. Налимов как организатор науки. Профессор МГУ им. М.В. Ломоносова, доктор технических наук Василий Васильевич Налимов (1910 - 1997), далее В.В. —создатель и руководитель нескольких новых научных направлений: метрологии количественного анализа, химической кибернетики, математической теории эксперимента и наукометрии. Занимался проблемами математизации биологии, анализом оснований экологического прогноза, вероятностными аспектами эволюции, проблемами языка и мышления, философией и методологией науки, проблемами человека в современной науке, вероятностной теорией смыслов. Свой жизненный путь описал в книге «Канатоходец» (1994).
	Известность пришла к В.В. после выхода книги «Применение математической статистики при анализе вещества» (1960) – справочника по применению классических статистических методов в работе химиков-аналитиков. Поскольку В.В. пришел в статистические методы не из математики, а из практической деятельности в заводских лабораториях, то и книга его была ориентирована на потребности практики. 
	Следующий шаг - создание секции «Математические методы исследования» в журнале «Заводская лаборатория». Сейчас под названием журнала стоит: «Ежемесячный научно-технический журнал по аналитической химии, физическим, математическим и механическим методам исследования, а также сертификации  материалов». У истоков секции стояли Б.В. Гнеденко и В.В., однако реально работу секции организовывал В.В. Налимов. Под его руководством она стала и остается поныне штабом развертывания исследований по статистическим методам в нашей стране. 
	В соответствии с тематикой журнала публикации секции посвящены в основном статистическим методам анализа данных измерений, наблюдений, испытаний, анализов, опытов. Большое значение придается математическим методам планирования экспериментов. В частности, при оптимизации технологических процессов в металлургической, химико-технологической, фармацевтической и иных отраслях промышленности применение методов экстремального планирования экспериментов позволяет заметно повысить выход продукта, обычно на 30 - 300%.
	Основные направления работы секции - прикладная статистика и планирование эксперимента. В первом из них принимается, что экспериментатор не может выбирать точки (значения факторов), в которых проводятся измерения, во втором, напротив, выбор возможен, и основная задача - оптимальный подбор таких точек. Большое внимание уделяется вопросам оптимального управления технологическими процессами, в частности, статистическим методам управления качеством продукции. Рассматриваются также теория и практика экспертных оценок, применение нечетких множеств и др. 
	Заслугой В.В. является то, что в 60-е - 70-е гг. в нашей стране создана мощная научно-практическая школа в области планирования эксперимента. Перу В.В. принадлежит длинный ряд статей и книг, посвященный развитию теории и практики планирования эксперимента. 
	В 1961 г. создана секция «Химическая кибернетика» (под председательством В.В.) в Научном совете по комплексной проблеме «Кибернетика» при Президиуме АН СССР. С 1971 г. В.В. возглавлял секцию «Математическая теория эксперимента». Она объединяла более 500 активно действующих специалистов, работавших в академических и отраслевых институтах, вузах и на промышленных предприятиях. Развитие новой отрасли науки отслеживалось методами наукометрии, во многом созданной трудами В.В.
	В 1965 г. А.Н. Колмогоров организовал в МГУ им. М.В. Ломоносова межфакультетскую Лабораторию статистических методов и пригласил В.В. стать его первым заместителем. Задачи, поставленные перед Лабораторией, формулировались так: изучение и дальнейшая разработка вероятностно-статистических методов; их пропаганда и широкое внедрение в научную, инженерную и медицинскую практику; хоздоговорная деятельность; педагогическая и издательская деятельность; проведение общемосковских семинаров, летних научных школ, участие в конференциях. Штатный состав достигал 130 человек. Такого мощного научного института - лидера не было в нашей стране. Нет и сейчас. 
	Организационным структурам, занимавшимся развитием статистических методов в нашей стране, не удалось укрепиться. 
	Большим успехом было введение в начале 70-х гг. преподавания в вузах химической кибернетики и создание соответствующих кафедр. Однако через год последовало решение о сокращении штатов, и эти вновь введенные кафедры перестали существовать.
	Ректор МГУ им. М.В. Ломоносова академик И.Г. Петровский поддерживал создание и развитие межфакультетской Лаборатории статистических методов А.Н. Колмогорова. Однако после его смерти выяснилось, что эта Лаборатория существует «нелегально», поскольку не входит в официальную структуру университета. И в 1975 г. Лаборатория была расформирована. Ее сотрудники распределены между пятью факультетами университета. Оказался уничтоженным единственный в нашей стране центр, занимавшийся методологическими аспектами вероятностно-статистического моделирования. И это резко отрицательно сказалось на уровне отечественных прикладных работ. 
	В июле 1959 г. при Президиуме АН СССР создан Совет по кибернетике, который возглавил академик А.И. Берг. Инженер-адмирал (высшее флотское звание) Аксель Иванович Берг (1893-1979) работал в области создания, развития и применения радиолокации и современных систем радионавигации, над проблемами кибернетики, став крупнейшим специалистом в основных областях этой отрасли науки. Около 20 лет А.И. Берг поддерживал развитие статистических методов. А после его смерти новое руководство Совета «перекрыло кислород» этой тематике.
	После смерти в 1978 г. члена-корреспондента АН СССР Л.Н. Большева резко сократилось сотрудничество между математиками и статистиками, разошлись пути математической и прикладной статистики.
	Все эти события второй половины 70-х годов способствовали тому, что интересы В.В. сместились из научно-организационной деятельности в сферу его личных научных интересов. В книге «Вероятностная модель языка» (1979) В.В. развивает мысль о нечеткости слов в естественном языке (ср. с констатацией «Мы мыслим нечетко» в нашей статье 1982 г. «Математика нечеткости» в журнале «Наука и жизнь»). Затем в длинной серии публикаций В.В. развивает вероятностно ориентированную философию, включая вероятностное исчисление смыслов. Последняя научная книга В.В. «В поисках иных смыслов» начинается так: «Основная задача автора состоит в том, чтобы показать, что в наше время – в век утраты фундаментальных смыслов и всеобщей разбросанности знаний по отдельным закромам многоликой культуры – все же возможно построение единых, по-прежнему целостно звучащих метафизических систем».
	Мы познакомились с основными достижениями пяти выдающихся исследователей советского периода – А.Н. Колмогорова, Б.В. Гнеденко, Н.В. Смирнова, Л.Н. Большева, В.В. Налимова. Вместе с ними работали тысячи специалистов. Нельзя не назвать А.Я. Хинчина, С.Н. Бернштейна, Е.Е. Слуцкого, В.С. Немчинова, В.И. Романовского, Г.К. Круга, А.А. Любищева. И многих, многих других. История русской и советской статистики требует дальнейшего изучения, прежде всего потому, что старые дискуссии продолжаются и сейчас. Так, в настоящем учебнике обсуждаются многие из тех проблем, которые волновали В.В. Налимова. 

15.3. Дискуссия о прикладной статистике

	Глазами американцев: российская дискуссия о прикладной статистике. Развитие прикладной статистики в нашей стране сопровождалось бурными дискуссиями. Объективный анализ их начального этапа был дан на страницах органа Американской статистической ассоциации. Статья Сэмюеля Kотца и Kэтлин Смит «Пространство Хаусдорфа и прикладная статистика: точка зрения ученых СССР» [6] описывает различные взгляды, имеющие распространение и в XXI веке. Чтобы «взглянуть со стороны» на споры 80-х, используем эту статью.
	Статья [6] посвящена дискуссии, развернувшейся на страницах отечественного статистического журнала «Вестник статистики» по вопросам существования и релевантности (уместности) прикладной статистики как самостоятельной научной дисциплины. В ней анализируется содержание четырех писем редактору и редакционных комментариев к ним, которые были опубликованы в этом журнале в период с октября 1985 г. по июнь 1987 г. Основная задача статьи - осветить длительную (продолжающуюся по крайней мере 40 лет) полемику в советской (и российской) статистике между «идеологическими пуристами» и «прагматиками», которая в 80-е гг. значительно усилилась. Существование разногласий, безусловно, не является новым явлением среди статистиков и в определенной степени оно носит здоровый характер, способствуя выработке критического отношения к предмету. Полемика в 80-х гг. затрагивает суть предмета в отличие от более ранних этапов, когда она отличалась идеологической направленностью. В 50–60-е гг., в период хрущевской оттепели, когда в СССР более свободно начали публиковать статистические данные, в журнале «The American Statistician» («Американский статистик») – органе Американской статистической ассоциации - было опубликовано несколько статей, посвященных различным аспектам советской статистики, как организационным, так и затрагивающим существо предмета.
	Советская статистика: 1917 – 1964. Вопросы развития статистики в СССР с 1917 по 1964 г. довольно подробно освещены в статьях С. Котца 1965 г., прежде всего борьба двух противоположных мнений по вопросу о роли и содержании статистической науки в СССР. Между официальными статистиками Центрального статистического управления (ЦСУ, ныне Росстат) и статистиками-экономистами математической направленности во главе с В.С. Немчиновым (1890 - 1964) возникли разногласия.
	Официальные статистики считали, что статистика представляет собой описательную науку, в задачи которой входит сбор данных по плановой экономике, и что в условиях коммунизма статистику в конечном счете заменит простая бухгалтерия. Противоположных взглядов придерживались практики и статистики теоретической направленности. Они считали, что статистика и теория вероятностей важны в любой области. В 1954 г. на Всесоюзном научном совещании по теоретическим вопросам статистики (см. о нем в [7, с.243-247]), в работе которой приняли участие ведущие ученые, известный советский математик А.Н.Колмогоров (1903 - 1987) помог представителям этих двух противостоящих школ прийти к прагматическому компромиссу. На совещании 1954 г. заявлено, что статистика является самостоятельной общественной наукой и что «она изучает количественный аспект массовых социальных явлений в неразрывном единстве с их качественным  аспектом». Сделан вывод, что советскую статистику от «буржуазной» статистики отличает акцент на качественном аспекте явлений. Для «буржуазной» статистики, согласно официальной оценке в Советском Союзе, характерен формальный, чисто математический подход к изучению социальных явлений, при котором количественный показатель рассматривается отдельно от качественной основы. 
	Однако на математическую статистику как часть математики «официальные статистики» покушаться не решились, поскольку математическая статистика использовалась для решения задач обороноспособности страны. Вместе с тем статистические методы в промышленности и технических исследованиях, в медицине, химии, геологии, экономике, социологии, психологии, истории и в других конкретных областях остались вне официальной структуры науки и образования. В результате решений совещания 1954 г. работы по этим направлениям шли под иными именами. Использовались термины типа «экономическая кибернетика», «математическое моделирование в медицине» и др. Недаром сборник «Современные проблемы кибернетики (прикладная статистика)», с момента выхода которого говорим о самостоятельности прикладной статистики, имеет название, свидетельствующее о «крыше» нашей науки. Соответственно в вузах не велась подготовка специалистов по статистическим методам в конкретных областях. В результате констатируем отставание на порядок от англоговорящих стран по числу специалистов. В США статистиков больше, чем математиков, а у нас создание Лаборатории статистических методов под руководством А.Н. Колмогорова со штатом в 130 человек рассматривалось как большой успех (в то время в Индии, в институте, которым руководил Махаланобис, работало около 2000 человек.
Разногласия в 80-е годы. Появление американской статьи [6] связано с началом публикации в 1965 году полупериодического журнала «Ученые записки по статистике» под редакцией Немчинова (т.е. серии сборников статей, выпускавшихся издательствами «Наука», «Статистика», «Финансы и статистика»). 
	В 1986 г. вышел юбилейный 50-й выпуск «Ученых записок по статистике». В нем поместили свои статьи статистики математической ориентации. Многие из них – выпускники, кандидаты и доктора наук престижной школы теории вероятностей и математической статистики при МГУ им. М.В. Ломоносова, которую первоначально возглавлял А.Н. Колмогоров, и такой же школы при Ленинградском университете, во главе которой некоторое время стоял Ю.В. Линник. Эти ученые работали в больших городах, в различных институтах, занимающихся вопросами применения прикладной статистики. Ученые выполняли ориентированные на практическое применение работы в теории управления запасами, прикладном многомерном анализе и т.д., однако создается впечатление, что они испытывали желание заниматься вопросами, носящими более математический характер. Эта тенденция нашла свое отражение на страницах сборника «Ученые записки по статистике», в котором постепенно, но постоянно начали публиковать статьи математического и абстрактного характера, что вызвало недовольство среди статистиков различных научно-исследовательских институтов, связанных с органами официальной государственной статистики (в то время -  ЦСУ). 
	В 1983 г. в издательстве «Наука» вышел в свет 45-й том «Ученых записок по статистике», который был скромно озаглавлен «Прикладная статистика», и разразился скандал. Опишем ход развития полемики, проанализировав содержание четырех писем редактору, которые были опубликованы с октября 1985 г. по июль 1987 г. в ежемесячном журнале «Вестник статистики» - органе ЦСУ.
	В ответ на публикацию в сборнике «Ученые записки по статистике» многочисленных математических статей абстрактного  характера K. Тимофеев (псевдоним) написал сердитое письмо под заголовком «Что же такое прикладная статистика?» Он утверждал, что термин «прикладная статистика» является абсурдным, так как то, что она якобы описывает, является одной из областей статистической науки, а не новым направлением. Тимофеев заявил: «Из содержания представленных в 45-м томе статей становится совершенно очевидным: название «Прикладная статистика» использовано для того, чтобы в «Ученых записках по статистике» опубликовать материалы, которые к ней (т.е. к статистике) не имеют ни прямого, ни даже косвенного отношения». Он выразил несогласие с рядом приведенных в сборнике математических формул и абстрактных концепций. В частности, привел цитату из статьи, в которой говорится, что статья посвящена «измеримым отображениям произвольного вероятностного пространства в множество непустых компактов плоскости, снабженное метрикой Хаусдорфа» (метрика Хаусдорфа – одно из расстояний между множествами; критикуемая статья озаглавлена «Статистика случайных множеств»). Тимофеев не только не захотел перенестись «в другое измерение». Он подверг автора критике за то, что он в своей статье сослался на работы зарубежных ученых, а не на работы классиков марксизма-ленинизма и советские статистические источники, а также за то, что он написал работу, не связанную с реальной жизнью. С неодобрением указал, что авторы статей, публикуемых в «Ученых записках по статистике», часто ссылаются на свои собственные работы. Написал: «Создается впечатление, что книга «Прикладная статистика» использована не только для публикации не относящихся к статистике материалов, но и для рекламы и саморекламы некоторых математиков, решивших снискать себе славу в области экономики и статистики». Тимофеев признал, что эти статьи могут представлять определенный интерес для математиков, однако он полагал, что они вряд ли будут полезны в практической работе тем специалистам, на службе у которых, по его мнению, должна быть статистическая наука, а именно статистикам, экономистам и социологам.
	Через десять месяцев журнал «Вестник статистики» опубликовал ответ [4] на выступление Тимофеева. Один из авторов, которых критиковал Тимофеев, А. Орлов, написал ответ в таком же резком тоне, и он был опубликован в официальном органе ЦСУ. В своей статье, перед которой было напечатано вступление от редакции, Орлов пункт за пунктом критиковал позицию Тимофеева. Орлов представил себя, как современного статистика. Он написал, что Тимофеев запутался и не знаком с переменами, произошедшими в статистике. Термин «прикладная статистика» не является ни новым, ни редко употребляемым. Он используется специалистами различных учреждений по всей стране. Он провел грань между математической статистикой и прикладной статистикой, добавив, что прикладная математическая статистика -  «неотъемлемая часть» прикладной статистики, а прикладная математическая статистика наряду с аналитической статистикой (т.е. частью математической статистики, ориентированной на решение внутриматематических проблем, например, характеризационных задач) составляют математическую статистику, которая является одной из областей математики. Однако Орлов подчеркнул, что прикладная статистика включает и нематематические области, такие, как «методология организации и проведения прикладного статистического исследования и применения его результатов (как планировать исследование, как выбирать вероятностно-статистическую модель, как собирать данные, как подготавливать их к обработке, как представлять результаты обработки и т.д.), а также соответствующее программное обеспечение» [4, с.54)].
	Интенсивное использование компьютеров в прикладной статистике свидетельствует о том, что в действительности ее можно рассматривать как часть кибернетики.
	Орлов привел много примеров использования прикладной статистики в народном хозяйстве, сделав акцент на планировании эксперимента и контроле качества. Он отметил, что благодаря прикладной статистике была получена большая экономия финансовых средств: «Высокая эффективность прикладной статистики естественна - она родилась из практических нужд» [4, с.54]. Он охарактеризовал большой вклад в практическую работу, который внесли многие из тех статей, которые Тимофеев высмеял за абстрактные заголовки. В заключение статьи он привел таблицу, из которой видно, что ученые, публикующие свои работы в «Ученых записках по статистике», чаще ссылаются на работы советских авторов, чем зарубежных, и он подчеркнул, что эти авторы опираются на опыт своей практической работы, а не повторяют ранее опубликованный материал. Он составил эту таблицу на основе советского реферативного журнала «Математика», в котором «советские публикации составляют 1/6 мировых публикаций по прикладной статистике, реферируемых за год» [4, с.56].
	Однако, по-видимому, редакторов журнала «Вестник статистики» не убедили доводы Орлова. В дополнение к его письму они напечатали свое заявление о том, что письмо Тимофеева опубликовано, чтобы показать, что сборник «Ученые записки по статистике» перестал отвечать своей цели и превратился в математический журнал и что содержание статей в «Прикладной статистике» (том 45 «Ученых записок по статистике») не отвечает названию сборника. Более того, редакторы добавили, что находят доводы Тимофеева убедительными. Выступив с критикой письма Орлова, они упрекнули его за то, что он пытается «опровергнуть содержание письма K. Тимофеева, а заодно изобразить его автора как человека, не сведущего в делах, которыми занимается А. Орлов, а с ним и ряд других математиков» [4, с.57]. Они продолжали утверждать, что многие леммы и теоремы, которыми оперирует Орлов и его коллеги, не используются в практической работе. В частности, они проявили упорное желание узнать, «каков экономический эффект (в млн. руб.), который удалось извлечь из шума при помощи измеримых отображений «произвольного вероятностного пространства в множество непустых компактов плоскости, снабженное метрикой Хаусдорфа» [4, с.57]. Касаясь ссылок на работы зарубежных авторов, редакторы «Вестника статистики» отметили, что из таблицы Орлова видно, что ученые действительно ссылаются на зарубежные источники, и таким образом они приходят к выводу, что их утверждение верно. Обширные политизированные тексты «редакторов», весьма враждебные, но не подписанные, демонстрируют распространенные в то время – да и сейчас – приемы борьбы, используемые врагами современной науки.
	Подтверждением того, что спорные вопросы еще не решены, по крайней мере в умах читателей, явилась публикация третьего письма, написанного Н. Шереметом. Шеремет, доцент Московского института инженеров железнодорожного транспорта (МИИТ), придерживается умеренных взглядов по вопросу об определении прикладной статистики и ее роли. В начале своего письма он отметил, что Тимофеев не ответил на свой собственный вопрос: «Что же такое прикладная статистика?» По мнению Шеремета, прикладные науки - связующее звено между чисто «инженерными» работами и научными исследованиями или чистой наукой. Он выступил в защиту необходимости стадии «корректировки» или «подстройки» между стадиями научных изысканий и применением научных теорий на практике. Затем он привел хорошо известное мнение Большева о том, что вся статистика является прикладной (Л.Н. Большев высказал это мнение в личной беседе с А.И.Орловым, цитата была включена в статью [4]), но не поддержал это утверждение, так как оно является слишком широким обобщением. Затем Шеремет проанализировал точку зрения, что каждая наука имеет свою собственную статистику (например, физическая статистика и биологическая статистика), но отверг ее, так как она противоречит мнению Ф. Энгельса, высказанному при подобных обстоятельствах в связи с механикой, физикой и химией. Шеремет критиковал Орлова за примеры из области экономики, так как эти примеры могли привести к ошибочному – по мнению Шеремета - предположению, что прикладная статистика является универсальной наукой.
	Шеремет настаивал на определении статистики как общественной науки, однако признал возможность использования прикладной статистики в своей собственной области. Шеремет написал в свойственных ему неопределенных выражениях:
	«Можно предположить, что предметом данной научной дисциплины являются «статистические данные»... Здесь уже не важно, от какого реального явления отвлечены данные абстрактные понятия... Математическая идеализация «статистических данных» и операций над ними дает возможность сводить известное разнообразие связей и закономерностей конкретной практической области к их определенному классу, производить необходимые расчеты».
	Он заявил, что прикладная статистика пока еще не является – по его мнению - четко определенной областью, и в заключение написал, что «прикладной статистике» в большей степени присущи черты междисциплинарных исследований, чем исследований, проводимых в рамках самостоятельной дисциплины. 
	В письме Шеремет допустил несколько неточностей, граничащих с дезинформацией. Он, кажется, не знает, что с 1973 г. журнал «Анналы статистики» («The Annals of Statistics» – основной западный статистический журнал) является непосредственным продолжением журнала «Анналы математической статистики» («Annals of Mathematical Statistics») и не делает разницы между узким техническим термином «статистика» (как функция от результатов наблюдений) и термином «статистика» (как наука и методология). Ссылка на элементарный учебник Вайнберга и Шумахера 1969 г. как на образцовую современную монографию по прикладной статистике в лучшем случае вызывает сомнение.
	Показательным является сам факт публикации подобного письма без редакционного комментария в советском консервативном журнале по статистическим наукам - в журнале, который со времени своего возрождения в 1949 г. стал выразителем позиций официальных статистиков (многие из них строго придерживаются марксистско-ленинской ориентации), рассматривающих статистику только как описательную науку. 
	На страницах «Вестника статистики» письмо Шеремета было не единственным откликом на полемику между Тимофеевым и Орловым. По всей видимости, независимо от письма Шеремета в июле 1987 года «Вестник статистики» опубликовал письмо И. Манделя, доцента Института народного хозяйства в Алма-Ате (Казахстан). В качестве комментария на письма Тимофеева и Орлова Мандель составил развернутую схему, отражающую взаимосвязь теории статистики, прикладной статистики и математической статистики. Эта схема представлена наряду с шестью другими методологическими приемами, чтобы показать, какое влияние оказывают теория статистики, прикладная статистика и математическая статистика на методы исследования массовых явлений. Главным в его доводах является положение о том, что в то время, как «теория статистики» в основном отражает «социальную сферу» массовых процессов, прикладная статистика должна быть направлена на отражение массовых явлений любого характера. Таким образом, прикладная статистика должна являться своего рода «буферной наукой», которая переводит результаты математической статистики на язык, понятный исследователям в различных областях науки и практики. Он высказал сожаление по поводу существующих расхождений во взглядах между чистыми математическими статистиками и чистыми «прикладными» и обратил внимание на многочисленные примеры неправильного использования статистической методологии. Он приветствовал усилия математиков (в СССР и за рубежом), направленные на ликвидацию разрыва между математикой и реальным миром. В заключение он посоветовал называть прикладную статистику в значении «буферной науки» «прикладной математической статистикой». На конкретный вопрос о том, является ли сборник «Ученые записки по статистике» подходящим изданием для публикации статей по прикладной (математической?) статистике, он дает категорический отрицательный ответ, полностью совпадающий с мнением Тимофеева по этому вопросу. Мандель составил таблицу, согласно которой в 4 выпусках «Записок» (1978-1985), подготовленных прикладными статистиками, опубликовано 85 статей (1092 стр.). Из них 62 статьи (787 стр.), т.е. почти три четверти, по его мнению, по своему содержанию больше подходили для публикации в известном советском журнале «Теория вероятностей и ее применения», так как были посвящены чисто математическим результатам и написаны в виде теорем и доказательств. Мандель, увы, не знал, что к тому времени редколлегия и авторы журнала «Теория вероятностей и ее применения» уже полностью оторвались от практики анализа статистических данных. По мнению Манделя, отличительной чертой прикладной статистики является отсутствие доказательств; для нее характерны только ссылки на теоремы и обсуждение вопросов «истинно» прикладного характера. 
	Обсуждение продолжено в феврале 1988 г., когда в очередном выпуске «Вестника статистики» опубликовано письмо болгарского профессора, специалиста по статистике, В. Цонева. Он предлагает коренным образом изменить терминологию, связанную со всей статистической наукой.
	Перестройка в области статистики. «Перестройка» в политике отразилась и в области статистики. Это проявилось не только в публикации новых статистических данных по промышленному травматизму, алкоголизму, преступности и т.д., но также и в координации работы многочисленных учреждений, занимающихся обработкой статистических данных. Реорганизация ЦСУ - еще одно свидетельство озабоченности правительства недостатками в данной области. K примеру, статистические данные, связанные с производством черных металлов, собирались и обрабатывались тремя учреждениями - Госпланом, ЦСУ и Институтом экономики министерства черной металлургии. На Всесоюзной конференции статистиков в мае 1985 г. выяснилось, что данные по прокату черных металлов, поступающие из этих трех источников, «совершенно разные». В феврале 1987 г. литературно-художественный журнал «Новый мир» выступил с открытой и резкой критикой отсутствия достоверных статистических данных. Несколько статистиков, среди них – Н. Шеремет и Т. Козлов, заведующий кафедрой статистики МИИТ - выступили с резким опровержением. Дискуссии продолжаются, поскольку ситуация в XXI в. аналогична – статистические данные разных ведомств и организаций не совпадают.
	Как отмечено в [6], разногласия между учеными, о которых говорилось выше, характерны не только для Советского Союза. Американские и другие западные статистики также сталкиваются с проблемой определения роли прикладной статистики и, в более широком плане, с проблемой определения статистики как науки.  
	Попытки объединения отечественных статистиков. В марте 1989 г. в Центральном экономико-математическом институте АН СССР состоялся Всесоюзный круглый стол «Статистика и перестройка», на котором собрались представители различных направлений в статистике – впервые в отечественной истории! Выступления были опубликованы в виде 55-го тома «Ученых записок по статистике». 
	Высшей точкой общественного движения, ставящего целью объединение отечественных статистиков, было создание в 1990 г. Всесоюзной статистической ассоциации (ВСА), объединившей статистиков всех направлений – специалистов по прикладной и математической статистике, по надежности (в основном представителей оборонно-промышленного комплекса), преподавателей экономико-статистических дисциплин, работников официальной государственной статистики. Ведущую роль в создании ВСА сыграли работники Всесоюзного центра статистических методов и информатики (о его конкретной деятельности рассказано в главе 10 выше). Наша платформа была изложена в статье [11], опубликованной, несмотря на ее весьма резкую форму, в «Вестнике статистики». Устав ВСА, решения Учредительного съезда и Пленумов правления ВСА предусматривали различные формы работы.
	Однако в 1991 г. СССР прекратил свое существование. ВСА, как и другие союзные организации, перестала действовать. И наметившееся единство статистиков распалось. Госкомстат РФ (ныне – Росстат) полностью «закрылся» от статистической науки, перестал даже отвечать на обращения профессиональных статистических организаций. Произошел окончательный отрыв специалистов математической статистики от практики. В настоящее время журнал «Теория вероятностей и ее применения» не представляет никакого интереса для тех, кто обрабатывает конкретные данные. Отметим, однако, выпуск энциклопедии «Вероятность и математическая статистика» [12], содержащей массу полезной информации для специалистов по статистическим методам.
	Работы по прикладной статистике и другим статистическим методам продолжались в рамках Российской ассоциации статистических методов (созданной на базе одноименной секции ВСА) и Российской академии статистических методов, а также в рамках Белорусской статистической ассоциации. Основным местом публикации отечественных работ по статистическим методам является раздел «Математические методы исследования» журнала «Заводская лаборатория», созданный в 1961 г. Б.В. Гнеденко и В.В. Налимовым. В нем за 50 лет помещено около 1000 статей по различным направлениям прикладной статистики, прежде всего по статистическому анализу числовых величин, статистике нечисловых данных, многомерному статистическому анализу, планированию эксперимента, опыту применения статистических методов при решении конкретных прикладных задач. 

Литература 

1. Никитина Е.П., Фрейдлина В.Д., Ярхо А.В. Коллекция определений термина «статистика». – М.: МГУ, 1972. – 46 с.
2. Орлов А.И. О развитии прикладной статистики. - В сб.: Современные проблемы кибернетики (прикладная статистика). - М.: Знание, 1981. - С.3-14.
3. Тутубалин В.Н. Границы применимости (вероятностно-статистические методы и их возможности). - М.: Знание, 1977. -  64 с.
4. Орлов А.И. Что дает прикладная статистика народному хозяйству? // Вестник статистики. – 1986. - №8. - С.52 – 56.
5. Комаров Д.М., Орлов А.И. Роль методологических исследований в разработке методоориентированных экспертных систем (на примере оптимизационных и статистических методов) // Вопросы применения экспертных систем. - Минск: Центросистем, 1988. -С.151-160.
6. Kotz S., Smith K. The Hausdorff Space and Applied Statistics: A View from USSR (Котц С., Смит К. Пространство Хаусдорфа и прикладная статистика: точка зрения ученых СССР). - The American Statistician. November 1988. Vol. 42. № 4. Р. 241-244.
7. Плошко Б.Г., Елисеева И.И. История статистики: Учебное пособие. - М.: Финансы и статистика. 1990. - 295 с.
8. Кудлаев Э.М., Орлов А.И. Вероятностно-статистические методы исследования в работах А.Н. Колмогорова // Заводская лаборатория. - 2003. - Т.69. - № 5. - С.55-61.
9. Орлов А.И. Математические методы исследования в работах Бориса Владимировича Гнеденко //Заводская лаборатория. - 2007. - Т.73. - №7. - С.66-72.
10. Смирнов Н.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Избранные труды. – М.: Наука, 1970. – 289 с.
11. Орлов А.И. О перестройке статистической науки и её применений // Вестник статистики. - 1990. - № 1. - С.65 - 71.
12. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. – М.: Изд-во «Большая Российская Энциклопедия», 1999. – 910 с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Расскажите о первых статистических исследованиях.
2. Как менялось представление о предмете статистики с течением времени?
3. Что такое непараметрическая статистика и чем она отличается от параметрической?
4. Расскажите о вкладе А.Н. Колмогорова в статистические методы.
5. Расскажите о вкладе Б.В. Гнеденко в статистические методы.
6. Расскажите о работах по внедрению статистических методов в 60-70-е гг., организованных в В.В. Налимовым.
7. Какие проблемы рассматривались в ходе дискуссии по прикладной статистике, прошедшей в 80-е гг. на страницах журнала «Вестник статистики»?
8. Каково положение статистических методов как научно-практической области в начале XXI века?

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1. Статистические работы, описанные в Ветхом Завете.
2. Статистические методы в XIX веке.
3. Переписи на Руси, их цели и методы организации.
4. Развитие теории вероятностей и статистические методы в дореволюционной России.
5. Работы члена-корреспондента АН СССР Н.В. Смирнова в области непараметрической статистики.
6. Почему некорректно говорить о «критерии Колмогорова-Смирнова»?
7. Научные школы МГТУ им. Н.Э. Баумана и Московского энергетического института в области статистических методов.
8. Работы отечественных ученых в области статистических методов управления качеством.
9. История развития работ по математическим методам планирования эксперимента в нашей стране.
10. История межфакультетской Лаборатории статистических методов МГУ им. Н.В. Ломоносова.
11. История создания Всесоюзной статистической ассоциации.
12. Всесоюзный центр статистических методов и информатики и Институт высоких статистических технологий и эконометрики МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Глава 16. Современные статистические методы

	Подведем итоги и наметим перспективы развития прикладной статистики и других статистических методов. Обсудим тенденции развития статистических методов, выделим пять основных «точек роста». В связи с внедрением современных статистических методов обоснуем полезность понятия «высокие статистические технологии». Рассмотрим технологии использования компьютеров в прикладной статистике и других статистических методах. Обсудим основные нерешенные проблемы в области статистических методов. 

16.1. Точки роста

	Отечественная литература по прикладной статистике и другим статистическим методам столь же необозрима, как и мировая. Только в секции «Математические методы исследования» журнала «Заводская лаборатория» с 1960-х гг. опубликовано более 1000 статей. Не будем даже пытаться перечислять коллективы исследователей или основные монографии в этой области. Отметим только одно издание. По нашему мнению, наилучшей отечественной книгой ХХ века по прикладной статистике является сборник статистических таблиц Л.Н. Большева и Н.В.Смирнова [1] с подробными комментариями, играющими роль сжатого учебника и справочника. 
	Выделим и обсудим «точки роста» прикладной статистики и других статистических методов, те их направления, которые представляются перспективными в будущем, в следующие десятилетия XXI века, но пока в большинстве учебных изданий отодвинуты на задний план традиционными постановками. 
	При описании современного этапа развития статистических методов целесообразно выделить пять актуальных направлений, в которых развивается современная прикладная статистика, т.е. пять «точек роста»: непараметрика (т.е. непараметрическая статистика), робастность, бутстреп, статистика интервальных данных, статистика нечисловых данных (в несколько иной терминологии - статистика объектов нечисловой природы, нечисловая статистика). Обсудим их. 
	Непараметрическая статистика. В первой трети ХХ в., одновременно с параметрической статистикой, в работах Спирмена и Кендалла появились первые непараметрические методы, основанные на коэффициентах ранговой корреляции, носящих ныне имена этих статистиков. Но непараметрика, не делающая нереалистических предположений о том, что функции распределения результатов наблюдений принадлежат тем или иным параметрическим семействам распределений, стала заметной частью статистики лишь со второй трети ХХ века. В 30-е гг. появились работы А.Н. Колмогорова и Н.В. Смирнова, предложивших и изучивших статистические критерии, носящие в настоящее время их имена. Эти критерии основаны на использовании так называемого эмпирического процесса. (Как известно, эмпирический процесс – это разность между эмпирической и теоретической функциями распределения, умноженная на квадратный корень из объема выборки.) В работе А.Н. Колмогорова 1933 г. изучено предельное распределение супремума модуля эмпирического процесса, называемого сейчас критерием Колмогорова. Затем Н.В. Смирнов исследовал супремум и инфимум эмпирического процесса, а также интеграл (по теоретической функции распределения) квадрата эмпирического процесса. 
	Встречающееся иногда в литературе словосочетание «критерий Колмогорова-Смирнова» некорректно, поскольку эти два статистика никогда не печатались вместе и не изучали один и тот же критерий схожими методами. Корректно сочетание «критерий типа Колмогорова-Смирнова», применяемое для обозначения критериев, основанных на использовании супремума функций от эмпирического процесса (см. разд. 15.2). 
	После Второй мировой войны развитие непараметрической статистики пошло быстрыми темпами. Большую роль сыграли работы американского статистика Ф. Вилкоксона и его школы. К настоящему времени с помощью непараметрических методов можно решать практически тот же круг статистических задач, что и с помощью параметрических. Однако для обеспечения широкого внедрения непараметрических методов необходимо провести еще целый комплекс теоретических и пилотных (т.е. пробных) прикладных работ. Все большую роль играют непараметрические оценки плотности, непараметрические методы регрессии и распознавания образов (дискриминантного анализа). В нашей стране непараметрические методы получили достаточно большую известность после выхода в 1965 г. первого издания  упомянутого выше сборника статистических таблиц Л.Н. Большева и Н.В.Смирнова [1], содержащего подробные таблицы для основных непараметрических критериев. 
	Тем не менее параметрические методы всё еще популярнее непараметрических, особенно среди тех прикладников, кто слабо знаком со статистическими методами. Неоднократно публиковались экспериментальные данные, свидетельствующие о том, что распределения реально наблюдаемых случайных величин, в частности, ошибок измерения, в подавляющем большинстве случаев отличны от нормальных (гауссовских). Тем не менее, математики-теоретики продолжают строить и изучать статистические модели, основанные на гауссовости, а практики - применять подобные методы и модели. Другими словами, «ищут под фонарем, а не там, где потеряли».
	Устойчивость статистических процедур (робастность). Если в параметрических постановках на вероятностные модели статистических данных накладываются слишком жесткие требования - их функции распределения должны принадлежать определенному параметрическому семейству, то в непараметрических, наоборот, излишне слабые - требуется лишь, чтобы функции распределения были непрерывны. При этом игнорируется априорная информация о том, каков «примерный вид» распределения. Априори можно ожидать, что учет этого «примерного вида» улучшит показатели качества статистических процедур. Развитием этой идеи является теория устойчивости (робастности) статистических процедур, в которой предполагается, что распределение исходных данных мало отличается от некоторого параметрического семейства. За рубежом эту теорию разрабатывали П. Хубер, Ф. Хампель и многие другие. Из монографий на русском языке, трактующих о робастности и устойчивости статистических процедур, самой ранней и наиболее общей была книга [2]. Частными случаями реализации идеи робастности (устойчивости) статистических процедур являются статистика объектов нечисловой природы и статистика интервальных данных. 
	Имеется большое разнообразие моделей робастности в зависимости от того, какие именно отклонения от заданного параметрического семейства допускаются. Среди теоретиков наиболее популярной оказалась модель выбросов, в которой исходная выборка «засоряется» малым числом «выбросов», имеющих принципиально иное распределение. Однако эта модель представляется «тупиковой», поскольку в большинстве случаев большие выбросы либо невозможны из-за ограниченности шкалы прибора либо интервала изменения измеряемой величины, либо от них можно избавиться, применяя лишь статистики, построенные по центральной части вариационного ряда. В подобных моделях обычно считается известной частота засорения, что в сочетании со сказанным выше делает их малопригодными для практического использования.
	Более перспективным представляется, например, модель малых отклонений распределений, в которой расстояние между распределением каждого элемента выборки и базовым распределением не превосходит заданной малой величины, и модель статистики интервальных данных. 
	Бутстреп (размножение выборок). Другое из упомянутых выше направлений - бутстреп - связано с интенсивным использованием возможностей компьютеров. Основная идея состоит в том, чтобы теоретическое исследование заменить вычислительным экспериментом. Например, вместо описания выборки распределением из параметрического семейства строим большое число «похожих» выборок, т.е. «размножаем» выборку. Затем вместо оценивания характеристик (и параметров) и проверки гипотез на основе свойств теоретического распределения решаем эти задачи вычислительным методом, рассчитывая интересующие нас статистики по каждой из «похожих» выборок и анализируя полученные при этом распределения. Например, вместо того, чтобы теоретическим путем находить распределение статистики, доверительные интервалы и другие характеристики, моделируют большое число выборок, похожих на исходную, затем рассчитывают соответствующие значения интересующей исследователя статистики и изучают их эмпирическое распределение. Квантили этого распределения задают доверительные интервалы, и т.д.
	Термин «бутстреп» мгновенно получил широкую известность после первой же статьи Б.Эфрона 1979 г. по этой тематике. Он сразу же стал обсуждаться в массе публикаций, в том числе и научно-популярных. В «Заводской лаборатории» № 10 за 1987 г. помещена подборка статей по бутстрепу. На русском языке выпущен сборник статей Б. Эфрона [3]. Основная идея бутстрепа, по Б. Эфрону, в том, что методом Монте-Карло (статистических испытаний) многократно извлекаются выборки из эмпирического распределения. Эти выборки, естественно, варианты исходной, напоминают ее. 
	Сама по себе идея «размножения выборок» была известна гораздо раньше. Одна из статей Б. Эфрона в сборнике [3] называется так: «Бутстреп-методы: новый взгляд на метод складного ножа». Упомянутый «метод складного ножа» (jackknife) предложен М. Кенуем еще в 1949 г., за 30 лет до появления статьи Б.Эфрона. «Размножение выборок» при этом осуществляется путем исключения одного наблюдения. Таким путем для выборки объема n получаем n «похожих» на нее выборок объема (n - 1) каждая. Если же исключать по 2 наблюдения, то число «похожих» выборок возрастает до n(n - 1)/2 объема (n - 2) каждая. 
	Преимущества и недостатки бутстрепа как статистического метода в сравнении с рядом аналогичных методов обсуждаются ниже. Необходимо подчеркнуть, что бутстреп по Эфрону - лишь один из вариантов методов «размножения выборки» (resampling), и, на наш взгляд, не самый удачный. Метод «складного ножа» представляется более полезным. На его основе можно сформулировать следующую простую практическую рекомендацию.
	Предположим, что Вы по выборке делаете какие-либо статистические выводы. Вы хотите узнать также, насколько эти выводы устойчивы. Если у Вас есть другие (контрольные) выборки, описывающие то же явление, то Вы можете применить к ним ту же статистическую процедуру и сравнить результаты. А если таких выборок нет? Тогда Вы можете их построить искусственно. Берете исходную выборку и исключаете один элемент. Получаете похожую выборку (она взята из того же распределения, только объем на единицу меньше). Затем возвращаете этот элемент выборки и исключаете другой. Получаете вторую похожую выборку. Поступая таким образом со всеми элементами исходной выборки, получаете столько выборок, похожих на исходную, каков ее объем. Остается обработать их тем же способом, что и исходную, и изучить устойчивость получаемых выводов - разброс оценок параметров, частоты принятия или отклонения гипотез и т.д. 
	Можно изменять не выборку, а сами данные. Поскольку всегда имеются погрешности измерения, то реальные данные - это не числа, а интервалы (результат измерения плюс-минус погрешность). Нужна статистическая теория анализа таких данных.
	Статистика интервальных данных. Перспективное и быстро развивающееся направление последних лет - статистика интервальных данных. Речь идет о развитии методов прикладной математической статистики в ситуации, когда статистические данные - не числа, а интервалы, в частности, порожденные наложением ошибок измерения на значения случайных величин.  
	Статистика интервальных данных идейно связана с интервальной математикой, в которой в роли чисел выступают интервалы. Это направление математики является дальнейшим развитием известных правил приближенных вычислений, посвященных выражению погрешностей суммы, разности, произведения, частного через погрешности тех чисел, над которыми осуществляются перечисленные операции. К настоящему времени удалось решить, в частности, ряд задач теории интервальных дифференциальных уравнений, в которых коэффициенты, начальные условия и решения описываются с помощью интервалов. 
	Одна из ведущих научных школ в области статистики интервальных данных - это школа проф. А.П. Вощинина, активно работающая с конца 70-х гг. В частности, ее представителями изучены проблемы регрессионного анализа, планирования эксперимента, сравнения альтернатив и принятия решений в условиях интервальной неопределенности.
	Рассмотрим другое – наше - направление в статистике интервальных данных, которое также представляется перспективным [4, гл.4]. В нем развиваются асимптотические методы статистического анализа интервальных данных при больших объемах выборок и малых погрешностях измерений. В отличие от классической математической статистики, сначала устремляется к бесконечности объем выборки и только потом - уменьшаются до нуля погрешности. В частности, с помощью такой асимптотики в начале 1980-х гг. сформулированы правила выбора метода оценивания параметров гамма-распределения в ГОСТ 11.011-83 «Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров гамма-распределения».
	В рамках рассматриваемого научного направления разработана общая схема исследования, включающая расчет нотны (максимально возможного отклонения статистики, вызванного интервальностью исходных данных) и рационального объема выборки (превышение которого не дает существенного повышения точности оценивания). Она применена к оцениванию математического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации, параметров гамма-распределения и характеристик аддитивных статистик, при проверке гипотез о параметрах нормального распределения, в том числе с помощью критерия Стьюдента, а также гипотезы однородности с помощью критерия Смирнова. Разработаны подходы к рассмотрению интервальных данных в основных постановках регрессионного, дискриминантного и кластерного анализов. Изучено влияние погрешностей измерений и наблюдений на свойства алгоритмов регрессионного анализа, разработаны способы расчета нотн и рациональных объемов выборок, введены и исследованы новые понятия многомерных и асимптотических нотн, доказаны соответствующие предельные теоремы. Начата разработка интервального дискриминантного анализа, в частности, рассмотрено влияние интервальности данных на введенный в разд. 6.4 показатель качества классификации. Изучено асимптотическое поведение оценок метода моментов и оценок максимального правдоподобия (а также более общих оценок минимального контраста), проведено асимптотическое сравнение этих методов в случае интервальных данных. Найдены условия, при которых, в отличие от классической математической статистики, метод моментов дает более точные оценки, чем метод максимального правдоподобия (см. разд. 3.1).
	В области асимптотической статистики интервальных данных российская наука имеет мировой приоритет. Во все виды статистического программного обеспечения включают алгоритмы интервальной статистики, «параллельные» обычно используемым алгоритмам прикладной математической статистики. Это позволяет в явном виде учесть наличие погрешностей у результатов наблюдений.  
	Статистика объектов нечисловой природы как часть прикладной статистики. Напомним, что согласно общепринятой в настоящее время классификации статистических методов прикладная статистика делится на следующие четыре области:
	статистика (числовых) случайных величин;
	многомерный статистический анализ;
	статистика временных рядов и случайных процессов;
	статистика объектов нечисловой природы.
	Первые три из этих областей – классические, хорошо известные еще в первой половине ХХ в. Остановимся на четвертой, сравнительно недавно вошедшей в массовое сознание специалистов. Ее именуют также статистикой нечисловых данных или попросту нечисловой статистикой [4]. Анализ динамики развития прикладной статистики приводит к выводу, что в XXI в. она станет центральной областью прикладной статистики, поскольку содержит наиболее общие подходы и результаты.
	Исходный объект в прикладной математической статистике - это выборка. В вероятностной теории статистики выборка - это совокупность независимых одинаково распределенных случайных элементов. Какова природа этих элементов? В классической математической статистике элементы выборки - это числа. В многомерном статистическом анализе - вектора. А в нечисловой статистике элементы выборки - это объекты нечисловой природы, которые нельзя складывать и умножать на числа. Другими словами, объекты нечисловой природы лежат в пространствах, не имеющих линейной (векторной) структуры. 
	Примеры объектов нечисловой природы:
	значения качественных признаков, т.е. результаты кодировки объектов с помощью заданного перечня категорий (градаций); 
	упорядочения (ранжировки) образцов продукции (при оценке её технического уровня и конкурентоспособности)) или заявок на проведение научных работ (при проведении конкурсов на выделение грантов), описывающие мнения экспертов;
	классификации, т.е. разбиения совокупности объектов на группы сходных между собой (кластеры);
	толерантности, т.е. бинарные отношения, описывающие сходство объектов между собой, например, сходство тематики научных работ, которое оценивается экспертами с целью рационального формирования экспертных советов внутри определенной области науки;
	результаты парных сравнений или контроля качества продукции по альтернативному признаку («годен» - «брак»), т.е. последовательности из 0 и 1; 
	множества (обычные или нечеткие), например, зоны, пораженные коррозией; топокарты, полученные при кинетокардиографии; перечни возможных причин аварии, составленные экспертами независимо друг от друга; нечеткие экспертные оценки качества газовых плит;
	слова, предложения, тексты;
	векторы, координаты которых - совокупность значений разнотипных признаков, например, результат составления статистического отчета о научно-технической деятельности (т.н. форма № 1-наука) или заполненная компьютеризированная история болезни, в которой часть признаков носит качественный характер, а часть - количественный;
	ответы на вопросы экспертной, маркетинговой или социологической анкеты, часть из которых носит количественный характер (возможно, интервальный), часть сводится к выбору одной из нескольких подсказок, а часть представляет собой тексты; и т.д.
	Интервальные данные также можно рассматривать как пример объектов нечисловой природы, а именно, как частный случай нечетких множеств.
	С начала 70-х гг. под влиянием запросов прикладных исследований в социально-экономических, технических, медицинских науках в России активно развивается статистика объектов нечисловой природы, известная также как статистика нечисловых данных или нечисловая статистика. В создании этой сравнительно новой области эконометрики и прикладной математической статистики приоритет принадлежит российским ученым.
	Большую роль сыграл основанный в 1973 г. научный семинар «Экспертные оценки и анализ данных». В 1960-е гг. отечественное научное сообщество стало интересоваться методами экспертных оценок (об их истории и современном состоянии см. [5]). Как следствие, началось знакомство с конкретными математизированными теориями, связанными с этими методами. Речь идет о репрезентативной теории измерений, ставшей известной в нашей стране по статье П. Суппеса и Дж. Зинеса в сборнике «Психологические измерения» и книге И. Пфанцагля «Теория измерений», о теории нечеткости, современный этап которой начался с работ Л.А.Заде 60-х гг., теории парных сравнений, описанной в одноименной монографии Г.Дэвида. К этому кругу идей примыкают теория случайных множеств (см., например, книгу Ж. Матерона) и методы многомерного шкалирования, которым посвящены монографии А.Ю.Терехиной и В.Т.Перекреста). Но наибольшее влияние оказали идеи американского исследователя проф. Дж. Кемени, который аксиоматически ввел расстояние между ранжировками (теперь оно именуется в литературе расстоянием Кемени) и предложил использовать в качестве средней величины решение оптимизационной задачи (теперь - медиана Кемени). Его скромная книжка, написанная в соавторстве с Дж. Снеллом, породила большой поток исследований (см. подробности в [4]). 
	В течение 1970-х гг. на основе запросов теории экспертных оценок (а также социологии, экономики, техники и медицины) развивались конкретные направления статистики объектов нечисловой природы. Были установлены связи между конкретными видами таких объектов, разработаны для них вероятностные модели. 
	Следующий этап - выделение статистики объектов нечисловой природы в качестве самостоятельного направления в прикладной статистике, ядром которого являются методы статистического анализа данных произвольной природы. Программа развития этого нового научного направления впервые была сформулирована в нашей статье 1979 г. [6]. Реализация этой программы была осуществлена в 1980-е гг. Для работ этого периода характерна сосредоточенность на внутренних проблемах нечисловой статистики.
	К началу 1990-х гг. статистика объектов нечисловой природы с теоретической точки зрения была достаточно хорошо развита, основные идеи, подходы и методы были разработаны и изучены математически, в частности, доказано достаточно много теорем. Однако она оставалась недостаточно апробированной на практике. И в 1990-е гг. наступило время от теоретических математико-статистических исследований перейти к применению полученных результатов при решении конкретных задач в различных областях науки и практики.  
	Важно отметить, что в статистике нечисловых данных, как и в других областях прикладной статистики и прикладной математики вообще, одна и та же математическая схема может с успехом применяться при решении различных задач анализа конкретных данных. В технических исследованиях, и в менеджменте, и в экономике, и в геологии, и в медицине, и в социологии, и для анализа экспертных оценок, и во многих иных областях. А потому ее лучше всего формулировать и изучать в наиболее общем виде, для объектов произвольной природы. 
	Основные идеи статистики объектов нечисловой природы. В чем принципиальная новизна нечисловой статистики? Для классической математической статистики характерна операция сложения. При расчете выборочных характеристик распределения (выборочное среднее арифметическое, выборочная дисперсия и др.), в регрессионном анализе и других областях этой научной дисциплины постоянно используются суммы. Математический аппарат - законы больших чисел, Центральная предельная теорема и другие теоремы - нацелены на изучение сумм. В нечисловой же статистике нельзя использовать операцию сложения, поскольку элементы выборки лежат в пространствах, где нет операции сложения. Методы обработки нечисловых данных основаны на принципиально ином математическом аппарате - на применении различных расстояний в пространствах объектов нечисловой природы.
	Кратко рассмотрим несколько идей, развиваемых в статистике объектов нечисловой природы для данных, лежащих в пространствах произвольного вида. Решаются классические задачи описания данных, оценивания, проверки гипотез - но для неклассических данных, а потому неклассическими методами.  
	Первой обсудим проблему определения средних величин. В рамках репрезентативной теории измерений удается указать вид средних величин, соответствующих тем или иным шкалам измерения (см. главу 11.3). В классической математической статистике эмпирические и теоретические средние величины вводят с помощью операций сложения (выборочное среднее арифметическое, математическое ожидание) или упорядочения (выборочная и теоретическая медианы). В пространствах произвольной природы средние значения нельзя определить с помощью операций сложения или упорядочения. Теоретические и эмпирические средние приходится вводить как решения экстремальных задач. Для теоретического среднего это - задача минимизации математического ожидания (в классическом смысле) расстояния от случайного элемента со значениями в рассматриваемом пространстве до фиксированной точки этого пространства (минимизируется указанная функция от этой точки). Для эмпирического среднего математическое ожидание берется по эмпирическому распределению, т.е. берется сумма расстояний от некоторой точки до элементов выборки и затем минимизируется по этой точке. При этом как эмпирическое, так и теоретическое средние как решения экстремальных задач могут быть не единственными элементами пространства, а описываться множествами таких элементов, которые могут оказаться и пустыми. Несмотря на возможность неоднозначности или пустоты решений экстремальных задач, удалось сформулировать и доказать законы больших чисел для средних величин, определенных указанным образом, т.е. установить сходимость эмпирических средних к теоретическим.
	Хорошая теория дает больше того, что от нее вначале ожидалось. Удалось установить, что методы доказательства законов больших чисел допускают существенно более широкую область применения, чем та, для которой они были разработаны. А именно, с помощью этих методов удалось изучить асимптотику решений экстремальных статистических задач, к которым, как известно, сводится большинство постановок прикладной статистики. В частности, кроме законов больших чисел установлена и состоятельность оценок минимального контраста, в том числе оценок максимального правдоподобия и робастных оценок. К настоящему времени подобные оценки изучены также и в интервальной статистике.
	В статистике в пространствах произвольной природы большую роль играют непараметрические оценки плотности, используемые, в частности, в различных алгоритмах регрессионного, дискриминантного, кластерного анализов. В нечисловой статистике предложен и изучен ряд типов непараметрических оценок плотности в пространствах произвольной природы, в частности, доказана их состоятельность, изучена скорость сходимости и установлен примечательный факт совпадения наилучшей скорости сходимости в произвольном случае с той, которая имеет быть в классической математико-статистической теории для числовых случайных величин.
	Дискриминантный, кластерный, регрессионный анализы в пространствах произвольной природы основаны либо на параметрической теории - и тогда применяется подход, связанный с асимптотикой решения экстремальных статистических задач - либо на непараметрической теории - и тогда используются алгоритмы на основе непараметрических оценок плотности.
	Для проверки гипотез могут быть использованы статистики интегрального типа, в частности, типа омега-квадрат. Любопытно, что предельная теория таких статистик, построенная первоначально в классической постановке, приобрела естественный (завершенный, изящный) вид именно для пространств произвольного вида [4], поскольку при этом удалось провести рассуждения, опираясь на базовые математические соотношения, а не на те частные (с общей точки зрения), что были связаны с конечномерным пространством.
	Представляют практический интерес результаты, связанные с конкретными областями статистики нечисловых данных. В частности, со статистикой нечетких и случайных множеств (напомним, что теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств), с непараметрической теорией парных сравнений, с аксиоматическим введением метрик в конкретных пространствах объектов нечисловой природы, и с рядом других конкретных постановок.  
	Для анализа нечисловых, в частности, экспертных данных весьма важны методы классификации. С другой стороны, наиболее естественно ставить и решать задачи классификации, основанные на использовании расстояний или показателей различия, в рамках статистики нечисловых данных. Это касается как распознавания образов с учителем (другими словами, дискриминантного анализа), так и распознавания образов без учителя (т.е. кластерного анализа).  
	Статистические методы анализа нечисловых данных особенно хорошо приспособлены для применения в экономике, социологии и экспертных оценках, поскольку в этих областях от 50 до 90% данных являются нечисловыми.
	Итак, статистика нечисловых данных является центром прикладной статистики. А ее теоретическая основа – статистика в пространствах произвольной природы – идейным стержнем математической статистики. 
	Другие точки роста. Выше рассмотрены пять «точек роста» прикладной статистики. Разумеется, они не исчерпывают все многообразие фронта научных исследований в рассматриваемых областях. Кроме того, мы почти не затронули разнообразные применения статистических методов в конкретных прикладных исследованиях и разработках. Много интересных проблем есть в планировании экспериментов, особенно кинетических, при анализе проблем надежности, в новых статистических методах управления качеством продукции, в том числе в связи с идеями Г. Тагути, при анализе рисков, в вопросах экологии и промышленной безопасности и др. 
	В течение последних более чем 60 лет в России наблюдается огромный разрыв между государственной статистикой и научным сообществом специалистов по статистическим методам (подробнее об этом см. главу 15). В учебнике по истории статистики даже не упоминаются имена членов-корреспондентов АН СССР Н.В. Смирнова и Л.Н. Большева - единственных представителей именно математической статистики как таковой в Академии наук в ХХ в. (еще ряд членов отечественной Академии наук имели математическую статистику среди своих интересов, но Н.В. Смирнов и Л.Н. Большев занимались практически только ею).  

16.2. Высокие статистические технологии

	При практическом использовании методов прикладной статистики применяются не отдельные методы описания данных, оценивания, проверки гипотез, а развернутые цельные процедуры - так называемые «статистические технологии». Понятие «статистическая технология» аналогично понятию «технологический процесс» в теории и практике организации производства. 
	Статистические технологии. Статистический анализ конкретных данных, как правило, включает в себя целый ряд процедур и алгоритмов, выполняемых последовательно, параллельно или по более сложной схеме. В частности, с точки зрения организатора прикладного статистического исследования можно выделить следующие этапы:
	- планирование статистического исследования (включая разработку анкет, бланков наблюдения и учета и других форм сбора данных; их апробацию; подготовку сценариев интервью и анализа данных и т.п.);
	- организация сбора необходимых статистических данных по оптимальной или рациональной программе (планирование выборки, создание организационной структуры и подбор команды статистиков, подготовка кадров, которые будут заниматься сбором данных, а также контролеров данных и т.п.);
	- непосредственный сбор данных и их фиксация на тех или иных носителях (с контролем качества сбора и отбраковкой ошибочных данных по соображениям предметной области);
	- первичное описание данных (расчет различных выборочных характеристик, функций распределения, непараметрических оценок плотности, построение гистограмм, корреляционных полей, различных таблиц и диаграмм и т.д.), 
	- оценивание тех или иных числовых или нечисловых характеристик и параметров распределений (например, непараметрическое интервальное оценивание коэффициента вариации или восстановление зависимости между откликом и факторами, т.е. оценивание функции), 
	- проверка статистических гипотез (иногда их цепочек - после проверки предыдущей гипотезы принимается решение о проверке той или иной последующей гипотезы; например, после проверки адекватности линейной регрессионной модели и отклонения этой гипотезы может проверяться адекватность квадратичной модели), 
	- более углубленное изучение, т.е. одновременное применение различных алгоритмов многомерного статистического анализа, алгоритмов диагностики и построения классификации, статистики нечисловых и интервальных данных, анализа временных рядов и др.; 
	- проверка устойчивости полученных оценок и выводов относительно допустимых отклонений исходных данных и предпосылок используемых вероятностно-статистических моделей, в частности, изучение свойств оценок методом размножения выборок и другими численными методами;
	- применение полученных статистических результатов в прикладных целях, т.е. для формулировки выводов в терминах содержательной области (например, для диагностики конкретных материалов, построения прогнозов, выбора инвестиционного проекта из предложенных вариантов, нахождения оптимальных режима осуществления технологического процесса, подведения итогов испытаний образцов технических устройств и др.), 
	- составление итоговых отчетов, в частности, предназначенных для тех, кто не является специалистами в статистических методах анализа данных, в том числе для руководства - «лиц, принимающих решения». 
	Возможны и иные структуризации различных статистических технологий. Квалифицированное и результативное применение статистических методов - это отнюдь не проверка одной отдельно взятой статистической гипотезы или оценка характеристик или параметров одного заданного распределения из фиксированного семейства. Подобного рода операции - только отдельные кирпичики, из которых складывается статистическая технология. 
	Итак, процедура статистического анализа данных – это информационный технологический процесс, другими словами, та или иная информационная технология. Статистическая информация подвергается разнообразным операциям (последовательно, параллельно или по более сложным схемам). В настоящее время об автоматизации всего процесса статистического анализа данных говорить было бы несерьезно, поскольку имеется слишком много нерешенных проблем, вызывающих дискуссии среди статистиков. Наличие разногласий – причина того, что так называемые «экспертные системы в области статистического анализа данных» пока не стали рабочим инструментом статистиков.  
	Проблема «стыковки» алгоритмов. В литературе статистические технологии рассматриваются явно недостаточно. В частности, обычно все внимание сосредотачивается на том или ином элементе технологической цепочки, а переход от одного элемента к другому остается в тени. Между тем проблема «стыковки» статистических алгоритмов, как известно, требует специального рассмотрения (см. главу 4.5), поскольку в результате использования предыдущего алгоритма зачастую нарушаются условия применимости последующего. В частности, результаты наблюдений могут перестать быть независимыми, может измениться их распределение и т.п. 
	Так, вполне резонной выглядит рекомендация: сначала разбейте данные на однородные группы, а потом в каждой из групп проводите статистическую обработку, например, регрессионный анализ. Однако эта рекомендация под кажущейся прозрачностью содержит подводные камни. Действительно, как поставить задачу в вероятностно-статистических терминах? Если, как обычно, примем, что исходные данные - это выборка, т.е. совокупность независимых одинаково распределенных случайных элементов, то классификация приведет к разбиению этих элементов на группы. В каждой группе элементы будут зависимы между собой, а их распределение будет зависеть от группы, куда они попали. В типовых ситуациях границы классов стабилизируются, а это значит, что асимптотически элементы кластеров становятся независимыми. Однако их распределение не может быть нормальным. Например, если исходное распределение было нормальным, то распределения в классах будет усеченным нормальным. Это означает, что необходимо пользоваться непараметрическими методами.
	Разберем другой пример. При проверке статистических гипотез большое значение имеют такие хорошо известные характеристики статистических критериев, как уровень значимости и мощность. Методы их расчета и использования при проверке одной гипотезы обычно хорошо известны. Если же сначала проверяется одна гипотеза, а потом с учетом результатов ее проверки (конкретнее, если первая гипотеза принята) - вторая, то итоговую процедуру также можно рассматривать как проверку некоторой (более сложной) статистической гипотезы. Она имеет характеристики (уровень значимости и мощность), которые, как правило, нельзя простыми формулами выразить через характеристики двух составляющих гипотез, а потому они обычно неизвестны. Лишь в некоторых простых случаях характеристики итоговой процедуры можно рассчитать. В результате итоговую процедуру нельзя рассматривать как научно обоснованную, она относится к эвристическим алгоритмам. Конечно, после соответствующего изучения, например, методом Монте-Карло, она может войти в число научно обоснованных процедур   прикладной статистики. 
	Термин «высокие статистические технологии». Термин «высокие технологии» популярен в современной научно-технической литературе. Он используется для обозначения наиболее передовых технологий, опирающихся на последние достижения научно-технического прогресса. Есть такие технологии и среди технологий статистического анализа данных - как в любой интенсивно развивающейся научно-практической области [7].
 	Примеры высоких статистических технологий и входящих в них алгоритмов анализа данных, подробный анализ современного состояния и перспектив развития даны выше при обсуждении «точек роста». В качестве «высоких статистических технологий» были выделены технологии непараметрического анализа данных; устойчивые (робастные) технологии; технологии, основанные на размножении выборок, на использовании достижений статистики  нечисловых данных и статистики интервальных данных.
	Обсудим пока не вполне привычный термин «высокие статистические технологии». Каждое из трех слов несет свою смысловую нагрузку.
	 «Высокие», как и в других областях, означает, что статистическая технология опирается на современные достижения статистической теории и практики, в частности, на достижения теории вероятностей и прикладной математической статистики. При этом «опирается на современные научные достижения» означает, во-первых, что математическая основа технологии получена сравнительно недавно в рамках соответствующей научной дисциплины, во-вторых, что алгоритмы расчетов разработаны и обоснованы в соответствии в нею (а не являются т.н. «эвристическими»). Со временем новые подходы и результаты могут заставить пересмотреть оценку применимости и возможностей технологии, привести к замене ее более современной. В противном случае «высокие статистические технологии» переходят в «классические статистические технологии», такие, как метод наименьших квадратов. 
	Высокие статистические технологии - плоды недавних серьезных научных исследований. Здесь два ключевых понятия - «молодость» технологии (во всяком случае, не старше 50 лет, а лучше - не старше 10 или 30 лет) и опора на «высокую науку».
	Термин «статистические» привычен, но коротко разъяснить его нелегко. Проще сослаться на введение и все содержание настоящего учебника, на энциклопедию «Вероятность и математическая статистика», книги [1, 4] и др. В частности, статистические данные – это результаты измерений, наблюдений, испытаний, анализов, опытов. А «статистические технологии» - это технологии анализа статистических данных.
	Наконец, редко используемый применительно к статистике термин «технологии». Статистический анализ данных, как правило, включает в себя целый ряд процедур и алгоритмов, выполняемых последовательно, параллельно или по более сложной схеме. Структура типовой статистической технологии описана выше. Обработка статистических данных - это информационный технологический процесс.
	Всегда ли нужны «высокие статистические технологии»? «Высоким статистическим технологиям» противостоят «низкие статистические технологии» (а между ними расположены «классические статистические технологии»). «Низкие статистические технологии» - это технологии, не соответствующие современному уровню науки и практики. Обычно они одновременно и устарели, и не вполне адекватны сути решаемых статистических задач. 
	Примеры таких технологий неоднократно критически рассматривались, в том числе и на страницах этой книги. Достаточно вспомнить критику использования критерия Стьюдента для проверки однородности при отсутствии нормальности и равенства дисперсии. Или применение критерия Вилкоксона для проверки совпадения теоретических медиан или функций распределения двух выборок. Или использование классических процентных точек критериев Колмогорова и омега-квадрат в ситуациях, когда параметры оцениваются по выборке и эти оценки подставляются в «теоретическую» функцию распределения. На первый взгляд вызывает удивление устойчивость «низких статистических технологий», их постоянное возрождение во все новых статьях, монографиях, учебниках. Поэтому, как ни странно, наиболее «долгоживущими» оказываются не работы, посвященные новым научным результатам, а публикации, разоблачающие ошибки, типа нашей статьи 1985 г. «Распространенная ошибка при использовании критериев Колмогорова и омега-квадрат». Прошло 25 лет с момента ее публикации в журнале «Заводская лаборатория», но она по-прежнему актуальна, поскольку ошибочное применение критериев Колмогорова и омега-квадрат по-прежнему распространено.
	Целесообразно отметить по крайней мере четыре обстоятельства, которые определяют эту устойчивость ошибок. Во-первых, прочно закрепившаяся традиция. Так, многие учебники по курсам типа «Общей теории статистики», если беспристрастно проанализировать их содержание, состоят в основном из введения в прикладную статистику. Иногда изложение идет в стиле «низких статистических технологий», т.е. на уровне 1950-х годов, а во многом и на уровне начала ХХ в. К «низкой» прикладной статистике добавлена некоторая информация о деятельности органов официальной государственной статистики. Новое поколение, обучившись «низким» подходам, идеям, алгоритмам, их использует, а с течением времени и достижением должностей, ученых званий и степеней – пишет новые учебники со старыми ошибками.
	Второе обстоятельство связано с большими трудностями при оценке экономической эффективности применения статистических методов вообще и при оценке вреда от применения ошибочных методов в частности. (А без такой оценки как докажешь, что «высокие статистические технологии» лучше «низких»?) При оценке вреда от применения ошибочных методов приходится учитывать, что общий успех в конкретной управленческой, инженерной или научной работе вполне мог быть достигнут вопреки применению ошибочных методов, за счет «запаса прочности» других составляющих общей работы. Например, преимущество одного технологического приема над другим можно продемонстрировать как с помощью критерия Крамера-Уэлча проверки равенства математических ожиданий (что правильно), так и с помощью двухвыборочного критерия Стьюдента (что, вообще говоря, неверно, т.к. обычно не выполняются условия применимости этого критерия - нет ни нормальности распределения, ни равенства дисперсий). 
	Третье существенное обстоятельство – трудности знакомства с высокими статистическими технологиями. В нашей стране в силу ряда исторических обстоятельств развития статистических методов в течение последних 20 лет только журнал «Заводская лаборатория» предоставлял такие возможности. К сожалению, поток современных отечественных и переводных статистических книг, выпускавшихся ранее, в частности, издательствами «Наука», «Мир», «Финансы и статистика», практически превратился в узкий ручеек… Возможно, более существенным является влияние естественной задержки во времени между созданием «новых статистических технологий» и написанием полноценной и объемной учебной и методической литературы. Она должна позволять знакомиться с новой методологией, новыми методами, теоремами, алгоритмами, методами расчетов и интерпретации их результатов, статистическими технологиями в целом не по кратким оригинальным статьям, а при обычном вузовском и последипломном обучении.
	И, наконец, наиболее важное. Всегда ли нужны высокие статистические технологии? Приведем аналогию - нужна ли современная сельскохозяйственная техника для обработки приусадебного участка? Нужны ли трактора и комбайны? Может быть, достаточно технологий, основанных на использовании лопаты? Вернемся к данным государственной статистики. Применяются статистические технологии первичной обработки (описания) данных, основанные на построении разнообразных таблиц, диаграмм, графиков. Большинство потребителей статистической информации это представление данных удовлетворяет. 
	Чтобы высокие статистические технологии успешно использовались, необходимы два условия: 
	- чтобы они были объективно нужны для решения практической задачи;
	- чтобы потенциальный пользователь технологий субъективно понимал это.
	Весь арсенал реально используемых в настоящее время эконометрических и статистических технологий можно распределить по трем потокам:
	- высокие статистические технологии;
	- классические статистические технологии,
	- низкие статистические технологии.
	Классические статистические технологии - это технологии почтенного возраста, сохранившие свое значение для современной статистической практики. Таковы технологии на основе метода наименьших квадратов (включая методы точечного оценивания параметров прогностической функции, непараметрические методы доверительного оценивания параметров и прогностической функции в целом, проверок различных гипотез о них), статистик типа Колмогорова, Смирнова, омега-квадрат, непараметрических коэффициентов корреляции Спирмена и Кендалла (относить их только к методам анализа ранжировок - значит делать уступку «низким статистическим технологиям») и многих других статистических процедур.
	Основная проблема в области статистических технологий в настоящее время в том, чтобы в конкретных эконометрических исследованиях использовались только технологии первых двух типов. 
	Каковы возможные пути решения этой проблемы? Бороться с конкретными невеждами - дело почти безнадежное. Конечно, необходима демонстрация квалифицированного применения высоких статистических технологий. В 1960-70-х гг. этим занималась Лаборатория статистических методов акад. А.Н. Колмогорова в МГУ им. М.В. Ломоносова. В секции «Математические методы исследования» журнала «Заводская лаборатория» за последние 50 лет опубликовано более 1000 статей, выполненных на уровне «высоких статистических технологий». В настоящее время действует Институт высоких статистических технологий и эконометрики МГТУ им. Н.Э. Баумана и целый ряд других научных коллективов, работающих на уровне «высоких статистических технологий».
	Очевидно, самое основное - это обучение. Какие бы новые научные результаты ни были получены, если они остаются неизвестными студентам, то новое поколение исследователей и инженеров, экономистов и менеджеров, других специалистов вынуждено осваивать их поодиночке, в порядке самообразования, а то и переоткрывать заново. То есть зачастую новые научные результаты практически исчезают из оборота научной и практической информации, едва появившись. Как ни странно это может показаться, избыток научных публикаций превратился в тормоз развития науки. По нашим данным, к настоящему времени по статистическим технологиям опубликовано не менее миллиона статей и книг, в основном во второй половине ХХ в. Из них не менее 100 тысяч являются актуальными для современного специалиста. При этом реальное число публикаций, которые способен освоить исследователь за свою профессиональную жизнь, по нашей оценке, не превышает 2-3 тысяч. Итак, каждый специалист в области прикладной статистики знаком не более чем с 2-3% актуальных для него литературных источников. Поскольку существенная часть публикаций заражена «низкими статистическими технологиями», то исследователь-самоучка, увы, имеет мало шансов выйти на уровень «высоких статистических технологий». С подтверждениями этого печального вывода постоянно приходится сталкиваться. Одновременно приходится констатировать, что масса полезных результатов погребена в изданиях прошлых десятилетий и имеет мало шансов пробиться в ряды используемых в настоящее время «высоких статистических технологий» без специально организованных усилий современных специалистов.
	Итак, основное - обучение. Несколько огрубляя, можно сказать так: что попало в учебные курсы и соответствующую учебную литературу - то сохраняется, что не попало - то пропадает.  
	Необходимость высоких статистических технологий. Может возникнуть естественный вопрос: зачем нужны высокие статистические технологии, разве недостаточно обычных статистических методов? Специалисты по прикладной статистике справедливо считают и доказывают своими теоретическими и прикладными работами, что совершенно недостаточно. 
	Так, совершенно очевидно, что многие данные в информационных системах имеют нечисловой характер, например, являются словами или принимают значения из конечных множеств. Нечисловой характер имеют и упорядочения, которые дают эксперты или менеджеры, например, выбирая главную цель, следующую по важности и т.д. Значит, нужна статистика нечисловых данных. Мы ее построили. 
	Далее, многие величины известны не абсолютно точно, а с некоторой погрешностью - от и до. Исходные данные - не числа, а интервалы. Нужна статистика интервальных данных. Мы ее развиваем. 
	В широко известной монографии по контроллингу [8] на с.138 хорошо сказано: «Нечеткая логика - мощный элегантный инструмент современной науки, который на Западе (и на Востоке - в Японии, Китае - А.О.) можно встретить в десятках изделий - от бытовых видеокамер до систем управления вооружениями, - у нас до самого последнего времени был практически неизвестен». Первая монография российского автора по теории нечеткости содержит основы высоких статистических технологий, связанные с анализом выборок нечетких множеств (см. книгу [9]). 
	Ни статистики нечисловых данных, ни статистики интервальных данных, ни статистики нечетких данных не было и не могло быть в классической статистике. Все это - высокие статистические технологии. Они разработаны за последние десятилетия. А обычные вузовские курсы по общей теории статистики и по математической статистике разбирают научные результаты, полученные в первой половине ХХ в.
 	Важная и весьма перспективная часть прикладной статистики - применение высоких статистических технологий к анализу конкретных данных, что зачастую требует дополнительных теоретических исследований по доработке статистических технологий применительно к конкретной ситуации. Большое значение имеют конкретные статистические модели, например, модели экспертных оценок или эконометрики качества. И конечно, такие конкретные применения, как расчет и прогнозирование индекса инфляции. Сейчас уже многим экономистам и менеджерам ясно, что годовой бухгалтерский баланс предприятия может быть использован для оценки его финансово-хозяйственной деятельности только с привлечением данных об инфляции (см. разд. 6.6). 
	Институт высоких статистических технологий и эконометрики. Опишем опыт внедрения «высоких статистических технологий». Организованный нами в 1989 г. Институт высоких статистических технологий и эконометрики (ИВСТЭ) в настоящее время действует на базе кафедры ИБМ-2 «Экономика и организация производства» Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Институт на хоздоговорных и госбюджетных началах занимается развитием, изучением и внедрением эконометрики и «высоких статистических технологий», т.е. наиболее современных технологий анализа экономических, технических, социологических, медицинских данных, ориентированных на использование в условиях современного производства и экономики. Основной интерес представляют применения «высоких статистических технологий» для анализа конкретных экономических данных, т.е. в эконометрике. Наиболее перспективным представляется применение «высоких статистических технологий» для поддержки принятия управленческих решений, прежде всего в таком новом (для России) современном направлении экономической науки и практики, как контроллинг (см., например, монографию [8]).
	Вначале Институт действовал как Всесоюзный центр статистических методов и информатики Центрального правления Всесоюзного экономического общества. В 1990-1992 гг. было выполнено более 100 хоздоговорных работ, в том числе для НИЦентра по безопасности атомной энергетики, ВНИИ нефтепереработки, ПО «Пластик», ЦНИИ черной металлургии им. Бардина, НИИ стали, ВНИИ эластомерных материалов и изделий, НИИ прикладной химии, ЦНИИ химии и механики, НПО «Орион», ВНИИ экономических проблем развития  науки и техники, ПО «Уралмаш», «АвтоВАЗ», МИИТ, Казахского политехнического института, Донецкого государственного университета, Института питания (Алма-Ата) и многих других.
	Затем Институт разрабатывал эконометрические методы анализа нечисловых данных, а также процедуры расчета и прогнозирования индекса инфляции и валового внутреннего продукта. ИВСТЭ развивал методологию построения и использования математических моделей процессов налогообложения (для Министерства налогов и сборов РФ), методологию оценки рисков реализации инновационных проектов высшей школы (для Министерства промышленности, науки и технологий РФ). Институт оценивал влияние различных факторов на формирование налогооблагаемой базы ряда налогов (для Минфина РФ), прорабатывал перспективы применения современных статистических и экспертных методов для анализа данных о научном потенциале (для Министерства промышленности, науки и технологий РФ). Важное направление связано с эколого-экономической тематикой - разработка методологического, программного и информационного обеспечения анализа рисков химико-технологических объектов (для Международного научно-технического центра), методов использования экспертных оценок в задачах экологического страхования (совместно с Институтом проблем рынка РАН). Институт проводил маркетинговые исследования (в частности, для Institute for Market Research GfK MR, Промрадтехбанка, фирм, торгующих растворимым кофе, программным обеспечением, оказывающих образовательные услуги). Интерес вызывали работы Института по прогнозированию социально-экономического развития России методом сценариев, по экономико-математическому моделированию развития малых предприятий и созданию современных систем информационной поддержки принятия решений для таких  организаций.
	Институт ведет фундаментальные исследования в области высоких статистических технологий и эконометрики, в частности, в рамках МГТУ им. Н.Э. Баумана и Российского фонда фундаментальных исследований. Информация об Институте представлена на сайтах в Интернете (http://orlovs.pp.ru, прежний вариант - http://antorlov.nm.ru, зеркала http://antorlov.euro.ru, http://www.newtech.ru/~orlov ), который в 2000 - 2003 гг. ежегодно посещали более 10000 пользователей, а с 2006 г. – уже более 100000. Институтом издается компьютерный еженедельник «Эконометрика» (около 1500 подписчиков). Архив выпусков еженедельника «Эконометрика» можно рассматривать как хрестоматию по различным разделам эконометрики, а также по высоким статистическим технологиям.
	Термин «эконометрика» пока мало известен в России. А между тем в мировой науке эконометрика занимает достойное место. Напомним, что Нобелевские премии по экономике получили эконометрики Ян Тильберген, Рагнар Фриш, Лоуренс Клейн, Трюгве Хаавельмо, Джеймс Хекман и Дэниель Мак-Фадден. В 2003 г. к ним добавились Энгл Грейнджер и Кеннет Риглз. Выпускается ряд научных журналов, полностью посвященных эконометрике, в том числе: Journal of Econometrics (Швеция), Econometric Reviews (США), Econometrica (США), Sankhya (Indian Journal of Statistics. Ser.D. Quantitative Economics. Индия), Publications Econometriques (Франция). Применение эконометрики дает заметный экономический эффект. Например, в США - не менее 10 млрд. долл. ежегодно только в области статистического контроля качества.
	Однако в нашей стране по ряду причин прикладная статистика и эконометрика не были сформированы как самостоятельные  направления научной и практической деятельности, в отличие, например, от Польши, не говоря уже об англосаксонских странах. В результате специалистов в области прикладной статистики и эконометрики у нас на порядок меньше, чем в США и Великобритании (Американская статистическая ассоциация включает более 20000 членов).
	О подготовке специалистов по высоким статистическим технологиям. Приходится с сожалением констатировать, что в России плохо налажена подготовка специалистов по высоким статистическим технологиям. В курсах по теории вероятностей и математической статистике обычно даются лишь классические основы этих дисциплин, разработанные в первой половине ХХ в., а преподаватели-математики свою научную деятельность предпочитают посвящать доказательству теорем, имеющих лишь внутриматематическое значение, а не развитию высоких статистических технологий. В настоящее время появилась надежда на эконометрику. В России начинают развертываться эконометрические исследования и преподавание эконометрики. Экономисты, менеджеры и инженеры, прежде всего специалисты по контроллингу, должны быть вооружены современными средствами информационной поддержки, в том числе высокими статистическими технологиями и эконометрикой. Очевидно, преподавание должно идти впереди практического применения. Ведь как применять то, чего не знаешь?
	Приведем два примера - отрицательный и положительный, - показывающие связь преподавания с внедрением передовых технологий. 
	Один раз - в 1990-1992 гг. мы уже обожглись на недооценке необходимости предварительной подготовки тех, для кого предназначены современные программные продукты. Наш коллектив (Всесоюзный центр статистических методов и информатики Центрального Правления Всесоюзного экономического общества) разработал систему диалоговых программных систем обеспечения качества продукции. Их созданием руководили ведущие специалисты страны. Но распространение программных продуктов шло на 1 - 2 порядка медленнее, чем мы ожидали. Причина стала ясна не сразу. Как оказалось, работники предприятий просто не понимали возможностей разработанных систем, не знали, какие задачи можно решать с их помощью, какой экономический эффект они дадут. А не понимали и не знали потому, что в вузах никто их не учил статистическим методам управления качеством. Без такого систематического обучения нельзя обойтись - сложные концепции «на пальцах» за пять минут не объяснишь.
	Есть и противоположный пример - положительный. В середине 1980-х гг. в советской средней школе ввели новый предмет «Информатика». И сейчас молодое поколение превосходно владеет компьютерами, мгновенно осваивая быстро появляющиеся новинки, и этим заметно отличается от тех, кому за 30 - 40 лет. 
	Если бы удалось ввести в средней школе курс теории вероятностей и статистики, то ситуация с внедрением высоких статистических технологий могла бы быть резко улучшена. Такой курс есть в Японии и США, Швейцарии, Кении и Ботсване, почти во всех странах (и ЮНЕСКО проводит всемирные конференции по преподаванию статистики в средней школе). Надо, конечно, добиться того, чтобы этот курс был построен на высоких статистических технологиях, а не на низких. Другими словами, он должен отражать современные достижения, а не концепции пятидесятилетней или столетней давности.  

16.3. Компьютерно-статистические методы

	Методы статистических испытаний (Монте-Карло). Многие информационные технологии в области прикладной статистики опираются на использование методов статистических испытаний. Этот термин применяется для обозначения компьютерных технологий, в которых в модель реального явления или процесса искусственно вводится большое число случайных элементов. Обычно моделируется последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин или же последовательность, построенная на ее основе, например, последовательность накапливающихся (кумулятивных) сумм. 
	Необходимость в методе статистических испытаний возникает потому, что чисто теоретические методы дают точное решение, как правило, лишь в исключительных случаях. Либо тогда, когда исходные случайные величины имеют вполне определенные функции распределения, например, нормальные, чего, как правило, не бывает. Либо когда объемы выборок очень велики (с практической точки зрения - бесконечны).  
	Не только в задачах обработки данных возникает необходимость в методе статистических испытаний. Она не менее актуальна и при экономико-математическом моделировании технических, социально-экономических, медицинских и иных процессов. Представим себе всем знакомый объект - торговый зал самообслуживания по продаже продовольственных товаров. Сколько нужно работников в зале, сколько касс? Необходимо просчитать загрузку в разное время суток, в разные сезоны года, с учетом замены товаров и смены сотрудников. Нетрудно увидеть, что теоретическому анализу подобная система не поддается, а компьютерному - вполне.
	Методы статистических испытаний стали развиваться после второй мировой войны с появлением компьютеров. Второе название - методы Монте-Карло - они получили по наиболее известному игорному дому, а точнее, по его рулетке, поскольку исходный материал для получения случайных чисел с произвольным распределением - это случайные натуральные числа.
	В методах статистических испытаний можно выделить две составляющие. Базой являются датчики псевдослучайных чисел. Результатом работы таких датчиков являются последовательности чисел, которые обладают некоторыми свойствами последовательностей случайных величин (в смысле теории вероятностей). Надстройкой являются различные алгоритмы, использующие последовательности псевдослучайных чисел. 
	Что же это могут быть за алгоритмы? Приведем примеры. Пусть мы изучаем распределение некоторой статистики при заданном объеме выборки. Тогда естественно много раз (например, 100000 раз) смоделировать выборку заданного объема (т.е. набор независимых одинаково распределенных случайных величин) и рассчитать значение статистики. Затем по 100000 значениям статистики можно достаточно точно построить функцию распределения изучаемой статистики, оценить ее характеристики. Однако эта схема годится лишь для так называемой «свободной от распределения» статистики, распределение которой не зависит от распределения элементов выборки. Если же такая зависимость есть, то одной точкой моделирования не обойдешься, придется много раз моделировать выборку, беря различные распределения, меняя параметры. Чтобы общее время моделирования было приемлемым, возможно, придется сократить число моделирований в одной точке, зато увеличив общее число точек. Точность моделирования может быть оценена по общим правилам выборочных обследований.
	Второй пример - частично описанное выше моделирование работы торгового зала самообслуживания по продаже продовольственных товаров. Здесь одна последовательность псевдослучайных чисел описывает интервалы между появлениями покупателей, вторая, третья и т.д. связаны с выбором ими первого, второго и т.д. товаров в зале (например, число - номер в перечне товаров). Короче, все действия покупателей, продавцов, работников предприятия разбиты на операции, каждая операция, в продолжительности или иной характеристике которой имеется случайность, моделируется с помощью соответствующей последовательности псевдослучайных чисел. Затем итоги работы сотрудников торговой организации и зала в целом выражаются через характеристики случайных величин. Формулируется критерий оптимальности, решается задача оптимизации и находятся оптимальные значения параметров. В частности, оптимальные планы статистического контроля строятся на основе вероятностно-статистических моделей (см. главу 10).
	Датчики псевдослучайных чисел. Теперь обсудим свойства датчиков псевдослучайных чисел. Здесь стоит слово «псевдослучайные», а не «случайные». Это весьма важно. Дело в том, что за последние 50 лет обсуждались в основном три принципиально разных варианта получения последовательностей чисел, которые в дальнейшем использовались в методах статистических испытаний. 
	Первый - таблица случайных чисел. К сожалению, объем любой таблицы конечен, и сколько-нибудь сложные расчеты с ее помощью невозможны. Через некоторое время приходится повторяться. Кроме того, обычно обнаруживались те или иные отклонения от случайности.
	Второй - физические датчики случайных чисел. Основной недостаток - нестабильность, непредсказуемые отклонения от заданного распределения (обычно - равномерного).
	Третий - расчетный. В простейшем случае каждый следующий член последовательности рассчитывается по предыдущему.  Например, так:

где z0 - начальное значение (заданное целое положительное число), M - параметр алгоритма (заданное целое положительное число), P = 2m, где m - число двоичных разрядов представления чисел, с которыми манипулирует компьютер. Знак здесь означает теоретико-числовую операцию сравнения, т.е. взятие дробной части от  и отбрасывание целой части. 
	В настоящее время применяется именно третий вариант. Совершенно ясно, что он не соответствует интуитивному представлению о случайности. Например, интуитивно очевидно, что по предыдущему элементу случайной последовательности с независимыми элементами нельзя предсказать значение следующего элемента. А приведенная выше формула как раз и дает способ такого предсказания. Расчетный путь получения последовательности псевдослучайных чисел противоречит не только интуиции, но и подходу к определению случайности на основе теории алгоритмов, развитому акад. А.Н. Колмогоровым и его учениками в 1960-х гг. Однако во многих прикладных задачах он работает, и это основное.
	Методу статистических испытаний посвящена обширная литература. Время от времени обнаруживаются недостатки у популярных датчиков псевдослучайных чисел. Так, например, в середине 1980-х гг. выяснилось, что для одного из наиболее известных датчиков три последовательных значения связаны линейной зависимостью

После этого в 1985 г. в журнале «Заводская лаборатория» началась дискуссия о качестве датчиков псевдослучайных чисел, которая продолжалась до 1993 г. и закончилась статьей проф. С.М.Ермакова и нашим комментарием.
	Итоги можно подвести так. Во многих случаях решаемая методом статистических испытаний задача сводится к оценке вероятности попадания в некоторую область в многомерном пространстве фиксированной размерности. Тогда из чисто математических соображений теории чисел следует, что с помощью датчиков псевдослучайных чисел поставленная задача решается корректно. Сводка соответствующих математических обоснований приведена, например, в работе С.М. Ермакова.
	В других случаях приходится рассматривать вероятности попадания в области в пространствах переменной размерности. Типичным примером является ситуация, когда на каждом шагу проводится проверка, и по ее результатам либо остаемся в данном пространстве, либо переходим в пространство большей размерности. Например, в главе 6.3 при оценивании степени многочлена либо останавливались на данной степени, либо увеличивали степень, переходя в параметрическое пространство большей размерности. Так вот, вопрос об обоснованности применения метода статистических испытаний (а точнее, о свойствах датчиков псевдослучайных чисел) в случае пространств переменной размерности остается в настоящее время открытым. О важности этой проблемы вдохновенно говорил академик РАН Ю.В. Прохоров на Первом Всемирном Конгрессе Общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли (Ташкент, 1986 г.).
	Имитационное моделирование. Поскольку постоянно говорим о моделировании, приведем несколько общих формулировок.
	Модель в общем смысле (обобщенная модель) - это создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами либо материальной системы), отражающей свойства, характеристики и связи объекта-оригинала произвольной природы, существенные для задачи, решаемой субъектом (это определение взято из монографии [10, с.44]). 
	Например, в менеджменте производственных систем используют:
	- модели технологических процессов (контроль и управление по технико-экономическим критериям, АСУ ТП - автоматизированные системы управления технологическими процессами);
	- модели управления качеством продукции (в частности, модели оценки и контроля надежности);
	- модели массового обслуживания (теории очередей);
	- модели управления запасами (в современной терминологии - модели логистики, т.е. теории и практики управления материальными, финансовыми и информационными потоками);
	- имитационные и эконометрические модели деятельности предприятия (как единого целого) и управления им (АСУ предприятием) и др.
	Согласно академику РАН Н.Н. Моисееву, имитационная система - это совокупность моделей, имитирующих протекание изучаемого процесса, объединенная со специальной системой вспомогательных программ и информационной базой, позволяющих достаточно просто и оперативно реализовать вариантные расчеты. Другими словами, имитационная система - это совокупность имитационных моделей. А имитационная модель предназначена для ответов на вопросы типа: «Что будет, если…» Что будет, если параметры примут те или иные значения? Что будет с ценой на продукцию, если спрос будет падать, а число конкурентов расти? Что будет, если государство резко усилит вмешательство в экономику? Что будет, если остановку общественного транспорта перенесут на 100 м дальше от входа в торговый зал, о котором шла речь выше, и поток покупателей резко упадет? Кроме компьютерных моделей, на вопросы подобного типа часто отвечают эксперты при использовании метода сценариев (см. главу 11 выше). 
	При имитационном моделировании часто используется метод статистических испытаний (Монте-Карло). Теорию и практику машинных имитационных экспериментов с моделями экономических систем еще 35 лет назад подробно разобрал Т. Нейлор. Вернемся к внутристатистическому применению датчиков псевдослучайных чисел.
	Методы размножения выборок (бутстреп-методы). Прикладная статистика бурно развивается последние десятилетия. Серьезным (хотя, разумеется, не единственным и не главным) стимулом является стремительно растущая производительность вычислительных средств. Поэтому понятен острый интерес к статистическим методам, интенсивно использующим компьютеры. Одним из таких методов является так называемый «бутстреп», предложенный в 1977 г. Б.Эфроном из Станфордского университета (США). 
	Сам термин «бутстреп» - это английское слово «bootstrap», записанное русскими буквами. Оно буквально означает что-то вроде: «вытягивание себя (из болота) за шнурки от ботинок». Термин специально придуман и заставляет вспомнить о подвигах барона Мюнхгаузена. 
	В истории прикладной статистики было несколько более или менее успешно осуществленных рекламных кампаний. В каждой из них «раскручивался» тот или иной метод, который, как правило, отвечал нескольким условиям: 
	- по мнению его пропагандистов, полностью решал актуальную научную задачу;
	- был понятен (при постановке задачи, при ее решении и при интерпретации результатов) широким массам потенциальных пользователей;
	- использовал современные возможности вычислительной техники.
	Пропагандисты метода, как правило, избегали беспристрастного сравнения его возможностей с возможностями иных эконометрических методов. Если сравнения и проводились, то с заведомо слабым «противником». 
	В нашей стране в условиях отсутствия систематического  образования в области прикладной статистики подобные рекламные кампании находили особо благоприятную почву, поскольку у большинства затронутых ими специалистов не было достаточных знаний в области методологии построения моделей прикладной статистики для того, чтобы составить самостоятельное квалифицированное мнение. 
	Речь идет о таких методах и постановках, как бутстреп, нейронные сети, метод группового учета аргументов, робастные оценки по Тьюки-Хуберу, интеллектуальный анализ данных, генетические алгоритмы, логит, пробит, SVM, асимптотика пропорционального роста числа параметров и объема данных и др. Бывают локальные всплески неоправданного энтузиазма. Например, московские социологи в 1980-х гг. весьма активно пропагандировали так называемый «детерминационный анализ» - простой эвристический метод анализа таблиц сопряженности. Хотя в Новосибирске в это время давно уже было разработано продвинутое математическое и программное обеспечение анализа векторов разнотипных признаков, включающее в себя «детерминационный анализ» как весьма частный случай. 
	Однако даже на фоне всех остальных рекламных кампаний судьба бутстрепа исключительна. Во-первых, признанный его автор Б. Эфрон с самого начала признавался, что он ничего принципиально нового не сделал. Его исходная статья (первая в сборнике [3]) называлась: «Бутстреп-методы: новый взгляд на методы складного ножа». Тем самым Б. Эфрон честно признавал первенство за М. Кенуем – автором методов «складного ножа». Во вторых, сразу появились статьи и дискуссии в научных изданиях, публикации рекламного характера, и даже в научно-популярных журналах. Бурные обсуждения на конференциях, спешный выпуск книг. В 1980-е годы финансовая подоплека всей этой активности, связанная с выбиванием грантов на научную деятельность, содержание учебных заведений и т.п., была мало понятна отечественным специалистам. 
	В чем основная идея группы методов «размножения выборок», наиболее известным представителем которых является бутстреп?
	Пусть дана выборка . В вероятностно-статистической теории предполагаем, что это - набор независимых одинаково распределенных случайных величин. Пусть эконометрика интересует некоторая статистика  Как изучить ее свойства? Подобными проблемами мы занимались на протяжении всей книги и знаем, насколько это непросто. Идея, которую предложил в 1949 г. М. Кенуй (это и есть «метод складного ножа») состоит в том, чтобы из одной выборки сделать много, исключая из нее по одному наблюдению (и возвращая ранее исключенные). Перечислим выборки, которые получаются из исходной:

;
…
;
…
;

Всего n новых (размноженных) выборок объемом (n - 1) каждая. По каждой из них можно рассчитать значение интересующей эконометрика статистики (с уменьшенным на 1 объемом выборки):

…

…

	Полученные значения статистики позволяют судить о ее распределении и о характеристиках распределения - о математическом ожидании, медиане, квантилях, разбросе, среднем квадратическом отклонении. Значения статистики, построенные по размноженным подвыборкам, не являются независимыми. Однако, как мы видели в главе 6 на примере ряда статистик, возникающих в методе наименьших квадратов и в кластер-анализе (при обсуждении возможности объединения двух кластеров), при росте объема выборки влияние зависимости может ослабевать, а потому со значениями статистик типа  можно обращаться как с независимыми случайными величинами (это утверждение строго доказано). 
	Однако и без всякой вероятностно-статистической теории разброс величин  дает наглядное представление о том, какую точность может дать рассматриваемая статистическая оценка.
	Сам М. Кенуй и его последователи использовали размножение выборок в основном для построения оценок с уменьшенным смещением. А вот Б. Эфрон предложил новый способ размножения выборок, существенно использующий датчики псевдослучайных чисел. А именно, он предложил строить новые выборки, моделируя выборки из эмпирического распределения. Другими словами, Б. Эфрон предложил взять конечную совокупность из n элементов исходной выборки  и с помощью датчика псевдослучайных чисел сформировать из нее любое число размноженных выборок. Процедура, хотя и нереальна без ЭВМ, проста с точки зрения программирования. По сравнению с описанной выше процедурой Кенуя появляются новые недостатки - неизбежные совпадения элементов размноженных выборок и зависимость от качества датчиков псевдослучайных чисел. Однако существует математическая теория, позволяющая (при некоторых предположениях и безграничном росте объема выборки) обосновать процедуры бутстрепа (см. сборник статей [3]).
	Есть много способов развития идеи размножения выборок. Можно по исходной выборке построить эмпирическую функцию распределения, а затем каким-либо образом от кусочно-постоянной функции перейти к непрерывной функции распределения, например, соединив точки  отрезками прямых. Другой вариант - перейти к непрерывному распределению, построив непараметрическую оценку плотности. После этого рекомендуется брать размноженные выборки из этого непрерывного распределения (являющегося состоятельной оценкой исходного), непрерывность защитит от совпадений элементов в этих выборках. 
	Другой вариант построения размноженных выборок - более прямой. Исходные данные не могут быть определены совершенно точно и однозначно. Поэтому предлагается к исходным данным добавлять малые независимые одинаково распределенные погрешности. При таком подходе соединяем вместе идеи устойчивости и бутстрепа. При внимательном анализе многие идеи прикладной статистики тесно друг с другом связаны. 
	В каких случаях целесообразно применять бутстреп, а в каких - другие методы прикладной статистики? В период рекламной кампании встречались, в том числе в научно-популярных журналах, утверждения о том, что и для оценивания математического ожидания полезен бутстреп. Это совершенно не так. При росте числа испытаний методом Монте-Карло бутстреп-оценка приближается к классической оценке - среднему арифметическому результатов наблюдений. Другими словами, бутстреп-оценка отличается от классической оценки только шумом псевдослучайных чисел.
	Аналогичной является ситуация и в ряде других случаев. Там, где статистическая теория хорошо развита, где найдены методы анализа данных, в том или ином смысле близкие к оптимальным, бутстрепу делать нечего. А вот в новых областях со сложными алгоритмами, свойства которых недостаточно ясны, он представляет собой ценный инструмент для изучения ситуации.
	Компьютерная статистика в контроллинге. В качестве примера применения компьютерной статистики рассмотрим конкретную прикладную область – контроллинг, т.е. современный подход к управлению организацией [8]. Контроллеру и сотрудничающему с ним статистику нужна разнообразная экономическая и управленческая информация, не менее нужны удобные инструменты ее анализа. Следовательно, информационная поддержка контроллинга необходима для успешной работы контроллера. Без современных компьютерных инструментов анализа и управления, основанных на продвинутых эконометрических и экономико-математических методах и моделях, невозможно эффективно принимать управленческие решения. Недаром специалисты по контроллингу большое внимание уделяют проблемам создания, развития и применения компьютерных систем поддержки принятия решений. Высокие статистические технологии и эконометрика - неотъемлемые части любой современной системы поддержки принятия экономических и управленческих решений.  
 	Важная часть прикладной статистики - применение высоких статистических технологий к анализу конкретных экономических данных. Такие исследования зачастую требуют дополнительной теоретической работы по «доводке» статистических технологий применительно к конкретной ситуации. Большое значение для контроллинга имеют не только общие методы, но и конкретные эконометрические модели, например, вероятностно-статистические модели тех или иных процедур экспертных оценок или эконометрики качества, имитационные модели деятельности организации, прогнозирования в условиях риска. И конечно, такие конкретные применения, как расчет и прогнозирование индекса инфляции. Сейчас уже многим специалистам ясно, что годовой, квартальный или месячный бухгалтерский баланс предприятия может быть использован для оценки его финансово-хозяйственной деятельности только с привлечением данных об инфляции. Различные области экономической теории и практики в настоящее время еще далеко не согласованы. При оценке и сравнении инвестиционных проектов принято использовать такие характеристики, как чистая текущая стоимость, внутренняя норма доходности, основанные на введении в рассмотрение изменения стоимости денежной единицы во времени (это осуществляется с помощью дисконтирования). А вот при анализе финансово-хозяйственной деятельности организации на основе данных бухгалтерской отчетности изменение стоимости денежной единицы во времени по традиции не учитывают.
 	Специалисты по контроллингу должны быть вооружены современными средствами информационной поддержки, в том числе средствами на основе высоких статистических технологий и эконометрики. Очевидно, преподавание должно идти впереди практического применения. Ведь как применять то, чего не знаешь?
	Статистические технологии применяют для анализа данных двух принципиально различных типов. Один из них - это результаты измерений (наблюдений, испытаний, анализов, опытов и др.) различных видов, например, результаты управленческого или бухгалтерского учета, данные Росстата и др. Короче, речь идет об объективной информации. Другой - это оценки экспертов, на основе своего опыта и интуиции делающих заключения относительно экономических явлений и процессов. Очевидно, это - субъективная информация. В стабильной экономической ситуации, позволяющей рассматривать длинные временные ряды тех или иных экономических величин, полученных в сопоставимых условиях, данные первого типа вполне адекватны. В быстро меняющихся условиях приходятся опираться на экспертные оценки. Такая новейшая часть прикладной статистики, как статистика нечисловых данных [4], была создана как ответ на запросы теории и практики экспертных оценок [5].
	Для решения каких экономических задач могут быть полезны статистические методы? Практически для всех, использующих конкретную информацию о реальном мире. Только чисто абстрактные, отвлеченные от реальности исследования могут обойтись без нее. В частности, статистические методы необходима для прогнозирования, в том числе поведения потребителей, а потому и для планирования. Выборочные исследования, в том числе выборочный контроль, основаны на статистические методы. Но планирование и контроль - основа контроллинга. Поэтому статистические методы - важная составляющая инструментария контроллера, воплощенного в компьютерной системе поддержки принятия решений. Прежде всего оптимальных решений, которые предполагают опору на адекватные модели прикладной статистики. В производственном менеджменте это может означать, например, использование моделей экстремального планирования эксперимента (судя по накопленному опыту их практического использования, такие модели позволяют повысить выход полезного продукта на 30 - 300%).
	Высокие статистические технологии предполагают адаптацию применяемых методов к меняющейся ситуации. Например, параметры прогностического индекса меняются вслед за изменением характеристик используемых для прогнозирования величин. Таков метод экспоненциального сглаживания. В соответствующем алгоритме расчетов значения временного ряда используются с весами. Веса уменьшаются по мере удаления в прошлое. Многие методы дискриминантного анализа основаны на применении обучающих выборок. Например, для построения рейтинга надежности банков можно с помощью экспертов составить две обучающие выборки - надежных и ненадежных банков. А затем с их помощью решать для вновь рассматриваемого банка, каков он - надежный или ненадежный, а также оценивать его надежность численно, т.е. вычислять значение рейтинга. 
	Один из способов построения адаптивных статистических моделей - нейронные сети. При  использовании нейронных сетей упор делается не на формулировку адаптивных алгоритмов анализа данных, а - в большинстве случаев - на построение виртуальной адаптивной структуры. Термин «виртуальная» означает, что «нейронная сеть» - это специализированная компьютерная программа, «нейроны» используются лишь как образы при общении человека с компьютером. Методология нейронных сетей идет от идей кибернетики 1940-50-х гг. В компьютере создается модель мозга человека (довольно примитивная с точки зрения физиолога). Основа модели - весьма простые базовые элементы, называемые нейронами. Они соединены между собой, так что нейронные сети можно сравнить с хорошо знакомыми экономистам и инженерам блок-схемами. Каждый нейрон находится в одном из заданного множества состояний. Он получает импульсы от соседей по сети, изменяет свое состояние и сам рассылает импульсы. В результате состояние множества нейтронов изменяется, что соответствует проведению статистических вычислений (сравните с моделями, рассмотренными в главе 9). 
	Нейроны обычно объединяются в слои (как правило, два-три). Среди них выделяются входной и выходной слои. Перед началом решения той или иной задачи производится настройка. Во-первых, устанавливаются связи между нейронами, соответствующие решаемой задаче. Во-вторых, проводится обучение, т.е. через нейронную сеть пропускаются обучающие выборки, для элементов которых требуемые результаты расчетов известны. Затем параметры сети модифицируются так, чтобы получить максимальное соответствие выходных значений заданным величинам.
	С точки зрения точности расчетов (и оптимальности в том или ином статистическом смысле) нейронные сети не имеют преимуществ перед другими адаптивными системами прикладной статистики. Однако они более просты для восприятия. Надо отметить, что в прикладной статистике используются и модели, промежуточные между нейронными сетями и «обычными» системами регрессионных уравнений (одновременных и с лагами). Они тоже используют блок-схемы, как, например, универсальный метод моделирования связей социально-экономических факторов ЖОК, описанный в главе 9 выше. 
	Профессионалу в области контроллинга полезны многочисленные интеллектуальные инструменты анализа данных, относящиеся к высоким статистическим технологиям и эконометрике. В частности, заметное место в математико-компьютерном обеспечении принятия решений в контроллинге занимают методы теории нечеткости [9].

16.4. О методологии статистических методов

	При разработке и применении статистических методов необходимо опираться на четкие методологические принципы, разработанные поколениями специалистов. Рассмотрим некоторые из них.
	Задача – модель - метод – условия применимости. Разработка и применение статистических методов, в том числе прикладной статистики, предполагает последовательное осуществление трех этапов исследования. Первый - от исходной практической проблемы до теоретической чисто математической задачи. Второй – внутриматематическое изучение и решение этой задачи. Третий – переход от математических выводов обратно к практической проблеме. 
	В литературе вопросы методологии статистических методов обсуждаются явно недостаточно. Зато наблюдается поток публикаций, в которых постановки решаемых задач иногда выглядят весьма искусственно. Цель настоящего раздела - обосновать необходимость развития методологии статистических методов как самостоятельного научного направления, рассмотреть ряд проблем, относящихся к этому направлению.  
	В области моделирования задач прикладной статистики, как, впрочем, и в иных областях применения математики и кибернетики, целесообразно выделять четверки проблем:
ЗАДАЧА – МОДЕЛЬ - МЕТОД - УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ.
Обсудим каждую из только что выделенных составляющих.
	Задача, как правило, порождена потребностями той или иной прикладной области. Вполне понятно, что при этом происходит одна из возможных математических формализаций реальной ситуации. Например, при изучении предпочтений потребителей у экономистов - маркетологов возникает вопрос: различаются ли мнения двух групп потребителей (см. главы 1 и 5). При математической формализации мнения потребителей в каждой группе обычно моделируются как независимые случайные выборки, т.е. как совокупности независимых одинаково распределенных случайных величин, а вопрос маркетологов переходит в рамках этой модели в вопрос о проверке той или иной статистической гипотезы однородности. Речь может идти об однородности характеристик, например, о проверке равенства математических ожиданий, или о полной (абсолютной однородности), т.е. о совпадении функций распределения, соответствующих двух совокупностям (см. главу 5).
	Задача может быть порождена также обобщением потребностей ряда прикладных областей. Приведенный выше пример иллюстрирует эту ситуацию: к необходимости проверки гипотезы однородности приходят и медики при сравнении двух групп пациентов, и инженеры при сопоставлении результатов обработки деталей двумя способами, и т.д. Таким образом, одна и та же математическая модель может применяться для решения самых разных по своей прикладной сущности задач.  
	Важно подчеркнуть, что выделение перечня задач находится вне математики. Выражаясь инженерным языком, этот перечень является сутью технического задания, которое специалисты различных областей деятельности дают статистикам. Чтобы статистик мог решить практическую задачу, необходимо ее суть выразить в математических терминах, т.е. построить математическую модель.
	Метод, используемый в рамках определенной математической модели - это уже во многом, если не в основном, дело математиков. В моделях прикладной статистики речь идет, например, о методе оценивания, о методе проверки гипотезы, о методе доказательства той или иной теоремы, и т.д. В двух первых случаях алгоритмы разрабатываются и исследуются математиками, но используются прикладниками, в то время как метод доказательства касается лишь самих математиков. 
	Ясно, что для решения той или иной задачи в рамках одной и той же принятой исследователем модели может быть предложено много методов. Приведем примеры. Для специалистов по теории вероятностей и математической статистике наиболее хорошо известна история Центральной предельной теоремы теории вероятностей. Предельный нормальный закон был получен многими разными методами, из которых напомним теорему Муавра-Лапласа, метод моментов Чебышева, метод характеристических функций Ляпунова, завершающие эпопею методы, примененные Линдебергом и Феллером. В настоящее время для решения практически важных задач могут быть использованы современные информационные технологии на основе метода статистических испытаний и соответствующих датчиков псевдослучайных чисел. Они уже заметно потеснили асимптотические методы математической статистики. В рассмотренной выше проблеме однородности для проверки одной и той же гипотезы совпадения функций распределения могут быть применены самые разные методы – Смирнова, Лемана - Розенблатта, Вилкоксона и др. (см. главу 5).
	Наконец, рассмотрим последний элемент четверки - условия применимости. Он - полностью внутриматематический. С точки зрения математика замена условия (кусочной) дифференцируемости некоторой функции на условие ее непрерывности может представляться существенным научным достижением, в то время как прикладник оценить это достижение не сможет. Для него, как и во времена Ньютона и Лейбница, непрерывные функции мало отличаются от (кусочно) дифференцируемых функций. Точнее, они одинаково хорошо (или одинаково плохо) могут быть использованы для описания реальной действительности. 
	Точно также прикладник не сможет оценить внутриматематическое достижение, состоящее в переходе от условия конечности четвертого момента случайной величины к условию конечности дисперсии. Поскольку результаты реальных измерений получены с помощью некоторого прибора (средства измерения), шкала которого конечна, то прикладник априори уверен, что все результаты измерений заведомо лежат на некотором отрезке (т.е. финитны). Он с некоторым недоумением наблюдает за математиком, который рассуждает о конечности тех или иных моментов - для прикладника они заведомо конечны.
	Математики и прикладники. Таким образом, в настоящее время наблюдается значительное расхождение интересов «типового» математика и «типового» прикладника. Конечно, мы рассуждаем здесь, строя гипотетические модели восприятия и поведения того и другого. Опишем эти модели более подробно.
	Прикладник заинтересован в научно обоснованном решении стоящих перед ним реальных задач. При этом при формализации задач он готов принять достаточно сильные математические предположения. Например, с точки зрения прикладника случайные величины могут принимать конечное множество значений, или быть финитными, или иметь нужное математику число моментов, и т.д. Как говорил А.Н. Колмогоров, переход от дискретности к непрерывности для прикладника оправдан только тогда, когда этот переход облегчает выкладки и расчеты, как в математическом анализе переход от сумм к интегралам облегчает рассуждения и вычисления. Если же при переходе к непрерывности возникают сложности типа необходимости доказательства измеримости тех или иных величин относительно тех или иных сигма-алгебр, то прикладник готов вернуться к постановке задачи с конечным вероятностным пространством. Здесь уместно напомнить, что один из выдающихся вероятностников ХХ в. В. Феллер выпустил свой учебник по теории вероятностей в двух книгах, посвятив первую дискретным вероятностным пространствам, а вторую - непрерывным. 
	Другой пример - задачи оптимизации. Если оптимизация проводится по конечному множеству, то оптимум всегда достигается (хотя может быть не единственным). Если же множество параметров бесконечно, то задача оптимизации может и не иметь решения. Поэтому у прикладника есть стимул ограничиться математическими моделями с конечным множеством параметров. Напомним в связи с этим, что основные задачи прикладной статистики допускают оптимизационную постановку, а статистика объектов нечисловой природы как целое построена на решении оптимизационных задач (а не на суммировании тех или иных выражений, поскольку в пространствах объектов нечисловой природы нет операции сложения).
	Модель поведения типового математика совершенно иная. Он, как правило, не обдумывает реальные задачи, поскольку не вникает в конкретные прикладные области. (Если же вникает, то является уже не только математиком, но и прикладником, и его поведение промоделировано в предыдущих абзацах.) Математик берет те задачи, которые уже ранее рассматривались, и старается получить для них математически интересные результаты. Зачастую это означает борьбу за ослабление математических условий, при которых были получены предыдущие результаты. При этом математика абсолютно не волнует, имеют ли какое-либо реальное содержание доказанные им теоремы, могут ли они принести какую-либо пользу прикладнику. Его интересует реакция математической общественности, а не реакция прикладников.
	Сколько реально используется чисел? Для демонстрации разрыва между математиками и прикладниками обратим внимание на два парадокса. 
	Все реальные результаты наблюдений записываются рациональными числами (обычно десятичными числами с небольшим - от 2 до 5 - числом значащих цифр). Как известно, множество рациональных чисел счетно, а потому вероятность попадания значения непрерывной случайной величины в него равно 0. Следовательно, все рассуждения, связанные с моделированием непрерывными случайными величинами реальных результатов наблюдений - это рассуждения о том, что происходит внутри множества меры 0. Первый парадокс состоит в том, что множествами меры 0 в теории вероятностей принято пренебрегать. Другими словами, с точки зрения теории вероятностей всеми реальными данными можно пренебречь, поскольку они входят в одно фиксированное множество меры 0.
	Глубже проанализируем ситуацию. Сколько всего чисел используется для записи реальных результатов наблюдений? Речь идет о типовых результатах наблюдений, измерений, испытаний, опытов, анализов. Они используются в технических, естественнонаучных, экономических, социологических, медицинских и иных исследованиях. Анализ практики показывает, что эти числа имеют вид (a,bcde)10k. Здесь a принимает значения от 1 до 9, а стоящие после запятой b, c, d, e -  от 0 до 9. В то же время показатель степени k меняется от (-100) до +100. Ясно, что общее количество возможных чисел равно 9104201=18090000, т.е. меньше 20 миллионов. 
	Итак, второй парадокс, усиливающий первый, состоит в том, что для описания реальных результатов наблюдений вполне достаточно 20 миллионов отдельных символов. Бесконечность натурального ряда и континуум числовой прямой - это математические абстракции, надстроенные над дискретной и состоящей из конечного числа элементов реальностью. (При изменении числа значащих цифр, используемых для описания результатов наблюдений, принципиальный вывод не меняется.) Таким образом, реальные данные лежат не только во множестве меры 0, но и в конечном множестве, причем число элементов в этом множестве вполне обозримо.
	Практические следствия методологии прикладной статистики. Из сказанного вытекают некоторые вполне определенные выводы, в том числе касающиеся преподавания и научных исследований. 
	Например, преподавание теории вероятностей может быть сосредоточено на случае конечного вероятностного пространства. Бесконечные вероятностные пространства могут при этом рассматриваться как удобные математические схемы - приближения. Их роль – давать возможность более легко и быстро получать полезные утверждения для конечных вероятностных пространств. Из сказанного вытекает, в частности, что различные параметрические семейства распределений (семейства нормальных, логарифмически нормальных, экспоненциальных, Коши, Вейбулла-Гнеденко, гамма-распределений) приобретают статус не более чем удобных приближений для распределений на конечных вероятностных пространствах. При таком подходе теряет свою парадоксальность тот эмпирически не раз проверенный факт, что распределение погрешностей измерений, как правило, не является гауссовым (см. главу 2.1). 
	В качестве другого примера рассмотрим методы оценивания параметров. По традиции много внимания в учебных курсах уделяется оценкам максимального правдоподобия (ОМП). Однако столь же хорошие асимптотические свойства имеют т.н. одношаговые оценки, гораздо более простые с вычислительной точки зрения (см. главу 3.2). Целесообразно их включить в учебные курсы, а ОМП исключить.
	Целесообразно уделять внимание (репрезентативной) теории измерений, в частности, концепции шкал измерения. Необходимо знакомство с определениями и основными свойствами шкал наименований, порядковой, интервалов, отношений, разностей, абсолютной. Установлено, какими алгоритмами статистического анализа данных можно пользоваться в той или иной шкале, в частности, для усреднения результатов наблюдений. Так, для данных, измеренных в порядковой шкале, некорректно вычислять среднее арифметическое. В качестве средних величин для таких данных можно использовать порядковые статистики, в частности, медиану.
	Статистические методы исследования часто опираются на использование современных информационных технологий. В частности, распределение статистики можно находить методами асимптотической математической статистики, а можно и путем статистического моделирования (метод Монте-Карло, он же - метод статистических испытаний). 
	Методологический анализ - первый этап моделирования задач принятия решений, да и вообще любого исследования, в частности, статистического. Он определяет исходные постановки для теоретической проработки, а потому во многом и успех всего исследования. Этот этап - один из наиболее важных. Подчеркнем, что методологический анализ динамики развития методов прикладной статистики позволил нам выделить наиболее перспективные методы. В частности, установлено, что в настоящее время самыми перспективными являются методы нечисловой статистики. Именно поэтому им посвящена первая часть настоящего учебника [4].

16.5. Основные нерешенные проблемы статистических методов

	За последние тридцать лет выявился целый ряд нерешенных проблем статистических методов, как чисто научных, так и научно-организационных. Обсудим пять из них:
	влияние отклонений от традиционных предпосылок вероятностно-статистических моделей на свойства статистических процедур;
	оправданность использования асимптотических теоретических результатов при конечных объемах выборок;
	формулировки и обоснования правил выбора одного из многих критериев для проверки конкретных гипотез;
	конкретные способы организации теоретических работ в области статистических методов;
	организация и проведение прикладных работ с использованием статистических методов.
	Приводимые ниже соображения отнюдь не претендует на решение перечисленных проблем. Их цель гораздо скромнее - обратить внимание на существование ряда нерешенных проблем в надежде, что коллективными усилиями удастся продвинуться в их решении. 
	Влияние отклонений от традиционных предпосылок. В вероятностной теории статистических методов выборка обычно моделируется как конечная последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин или векторов. Часто предполагается, что эти величины или вектора имеют нормальное распределение. 
	На основе сформулированных классических предпосылок построено огромное здание классической математической статистики с большим числом теорем. Оно за последнее столетие обросло горой учебников и программных продуктов. 
	Однако при внимательном взгляде совершенно ясна нереалистичность классических предпосылок. Независимость результатов измерений обычно принимается «из общих предположений», между тем во многих случаях очевидна их коррелированность. Одинаковая распределенность результатов измерений также вызывает сомнения из-за изменения во времени свойств измеряемых образцов, средств измерения и психофизического состояния специалистов, проводящих измерения (наблюдения, испытания, анализы, опыты). Даже обоснованность самой возможности применения вероятностных моделей также часто вызывает сомнения, например, при моделировании уникальных измерений (теорию вероятностей обычно привлекают при изучении массовых явлений). И уж совсем редко распределения результатов измерений можно считать нормальными (см. главу 2.1).
	Итак, методы классической математической статистики обычно используют вне сферы их обоснованной применимости. Каково влияние отклонений от традиционных предпосылок на статистические выводы? В настоящее время об этом имеются лишь отрывочные сведения. Приведем три примера.
	Пример 1. Построение доверительного интервала для математического ожидания обычно проводят с использованием распределения Стьюдента (при справедливости гипотезы нормальности). Как следует из Центральной предельной теоремы (ЦПТ) теории вероятностей, в асимптотике (т.е. при большом объеме выборки) такие расчетные методы дают правильные результаты. А именно, из ЦПТ вытекает использование квантилей нормального распределения, а из классической теории - квантилей распределения Стьюдента, но при росте объема выборки квантили распределения Стьюдента стремятся к соответствующим квантилям нормального распределения.
	Пример 2. Для проверки однородности двух независимых выборок (на самом деле - для проверки равенства математических ожиданий) обычно рекомендуют использовать двухвыборочный критерий Стьюдента. Что будет при отклонении от нормальности распределений, из которых взяты выборки? Если объемы выборок равны или если дисперсии результатов наблюдений в выборках совпадают, то в асимптотике (когда объемы выборок безгранично возрастают) классический метод является корректным. Если же объемы выборок существенно отличаются и их дисперсии различны, то двухвыборочную статистику Стьюдента применять нельзя. Поскольку проверка равенства дисперсий - более сложная задача, чем проверка равенства математических ожиданий, то для выборок разного объема использовать двухвыборочную статистику Стьюдента не следует, лучше применять критерий Крамера-Уэлча, как это подробно обосновано в главе 5.
	Пример 3. В задаче отбраковки (исключения) резко выделяющихся наблюдений (выбросов) расчетные методы, основанные на нормальности, являются крайне неустойчивыми по отношению к отклонениям от нормальности, что полностью лишает эти методы научной обоснованности (подробнее см. главу 4.2).
	Примеры 1 - 3 показывают весь спектр возможных свойств классических расчетных методов в случае отклонения от нормальности. Методы примера 1 оказываются вполне пригодными при таких отклонениях, примера 2 - пригодными в некоторых случаях, примера 3 - полностью непригодными. 
	Итак, имеется необходимость изучения свойств расчетных методов классической математической статистики, опирающихся на предположение нормальности, в ситуациях, когда это предположение не выполнено. Аппаратом для такого изучения наряду с методом Монте-Карло (статистических испытаний) могут послужить предельные теоремы теории вероятностей (и опирающиеся на них асимптотические методы математической статистики), прежде всего ЦПТ, поскольку интересующие нас расчетные методы обычно используют разнообразные суммы.
	Пока подобное изучение не проведено, остается неясной научная ценность, например, применения факторного анализа к векторам из переменных, принимающих небольшое число градаций и к тому же измеренных в порядковой шкале. Этот пример показывает важность еще одного направления исследований - изучения свойств алгоритмов, предназначенных для анализа числовых данных, в случаях, когда данные измерены в шкалах, отличных от абсолютной, в частности, в порядковой шкале. 
	Из большого числа возможных постановок, относящихся к изучению влияния отклонений от традиционных предпосылок, укажем лишь на то, что реальные данные имеют небольшое число значащих цифр (обычно от 2 до 5), в то время как в классической математической статистике используются непрерывные случайные величины, для которых вероятность получения подобного результата наблюдения равна 0. Действительно, вероятность того, что хотя бы один элемент выборки из распределения с непрерывной функцией распределение попадет в заданное счетное множество, в частности, в множество рациональных чисел, равна 0 (согласно классическим свойствам вероятностной меры). Событиями, имеющими вероятность 0, принято пренебрегать. Следовательно, с точки зрения классической математической статистики любыми реальными данными нужно пренебречь! Выходов из этого парадокса несколько. Один из них - бурно развивающаяся в настоящее время статистика интервальных данных (см. главу 4 учебника [4]), другой - использование классических поправок Шеппарда для сгруппированных данных. Здесь еще много работы. Так, даже для такого широко используемого статистического показателя, как коэффициент корреляции, поправки на группировку (поправки Шеппарда) были получены сравнительно недавно - лишь в 1980 г. (см. раздел 3.5).
	Почему на первый план выдвинуто изучение классических алгоритмов, а не построение новых, специально предназначенных для работы в условиях отклонения от классических предпосылок? Во-первых, потому, что классические алгоритмы в настоящее время наиболее распространены (благодаря сложившейся системе образования как прикладников, так и математиков). Во-вторых, более новые подходы зачастую методологически уязвимы. Так, известная робастная модель засорения Тьюки-Хубера (см. главу 3.4) нацелена на борьбу с большими выбросами, которые зачастую физически невозможны из-за ограниченности интервала возможных значений измеряемой характеристики, в котором работает конкретное средство измерения. Следовательно, модель Тьюки-Хубера имеет скорее теоретическое значение, чем практическое. Сказанное, конечно, не означает, что следует прекратить разработку, изучение и внедрение непараметрических и устойчивых методов, выделенных выше как «точки роста» современных статистических методов анализа данных.
	Использование асимптотических результатов при конечных объемах выборок. Как отмечено выше, изучение классических алгоритмов во многих случаях может быть проведено с помощью асимптотических методов математической статистики, в частности, с помощью ЦПТ и методов наследования сходимости (см. главу 14). Отрыв классической математической статистики от нужд прикладных исследований проявился, в частности, в том, что в распространенных монографиях недостает математического аппарата, необходимого, в частности, для изучения двухвыборочных статистик. Суть в том, что переходить к пределу приходится не по одному параметру, а по двум – объемам двух выборок. Пришлось разработать соответствующую теорию – теорию наследования сходимости, впервые изложенную в монографии [2, п.2.4]. 
	Однако применять результаты подобного изучения придется при конечных объемах выборок. Возникает целый букет проблем, связанных с таким переходом. Часть из них обсуждалась в главе 14.6 в связи с изучением свойств статистик, построенных по выборкам из конкретных распределений.
	Однако при обсуждении влияния отклонений от исходных предположений на свойства статистических процедур возникают дополнительные проблемы. Какие отклонения считать типичными? Ориентироваться ли на наиболее «вредные» отклонения, в наибольшей степени искажающие свойства алгоритмов, или же сосредоточить внимание на «типичных» отклонениях? 
	При первом подходе получаем гарантированный результат, но «цена» этого результата может быть излишне высокой. В качестве примера укажем на универсальное неравенство Берри-Эссеена для погрешности в ЦПТ (см. разд. 2.1). Совершенно справедливо подчеркивает академик РАН А.А. Боровков [11, с.172], что «скорость сходимости в реальных задачах, как правило, оказывается лучше».
	При втором подходе возникает вопрос, какие отклонения считать «типичными». Попытаться ответить на этот вопрос можно, анализируя большие массивы реальных данных. Вполне естественно, что ответы различных исследовательских групп будут различаться.
	Одна из ложных идей - использование при анализе возможных отклонений только какого-либо конкретного параметрического семейства. Например, семейств распределений Вейбулла-Гнеденко, экспоненциальных, нормальных, трехпараметрического семейства гамма - распределений и др. Еще в 1927 г. акад. АН СССР С.Н. Бернштейн на Всероссийском съезде математиков обсуждал методологическую ошибку, состоящую в сведении всех эмпирических распределений к четырехпараметрическому семейству Пирсона. Однако и до сих пор параметрические методы статистики весьма популярны, особенно среди прикладников, и вина за это заблуждение лежит, прежде всего, на преподавателях статистических методов.
	Выбор одного из многих критериев для проверки конкретной гипотезы. Во многих случаях для решения конкретной практической задачи разработано много методов, и специалист по прикладной статистике стоит перед проблемой: какой из них предложить прикладнику для анализа конкретных данных?
	В качестве примера рассмотрим задачу проверки однородности двух независимых выборок. Как известно (см. главу 5), для ее решения можно предложить массу критериев: Стьюдента, Крамера-Уэлча, Лорда, хи-квадрат, Вилкоксона (Манна-Уитни), Ван–дер- Вардена, Сэвиджа, Н.В. Смирнова, типа омега-квадрат (Лемана-Розенблатта), Г.В. Мартынова и др. Какой из них выбрать? 
	Естественным образом приходит в голову идея «голосования»: провести проверку по многим критериям, а затем принять решение «по большинству голосов». С точки зрения статистической теории такая процедура приводит попросту к построению еще одного критерия, который априори ничем не лучше прежних (но и не хуже), но более труден для изучения. С другой стороны, если совпадают решения по всем рассмотренным статистическим критериям, исходящим из различных принципов, то в соответствии с концепцией устойчивости, впервые развитой в монографии [2] (см. также главу 14.6), это повышает доверие к полученному общему решению.  
	Распространено, особенно среди математиков, ложное и вредное мнение о необходимости поиска оптимальных методов, решений и т.д. Дело в том, что оптимальность обычно исчезает при отклонении от исходных предпосылок. Так, среднее арифметическое в качестве оценки математического ожидания является оптимальной оценкой тогда и только тогда, когда исходное распределение - нормальное, в то время как состоятельной оценкой - всегда, лишь бы математическое ожидание существовало. С другой стороны, для любого произвольно взятого метода оценивания или проверки гипотез обычно можно так сформулировать понятие оптимальности, чтобы рассматриваемый метод стал оптимальным – с этой специально выбранной точки зрения. Возьмем, например, выборочную медиану как оценку математического ожидания. Она, разумеется, оптимальна, хотя и в другом смысле, чем среднее арифметическое (оптимальное для нормального распределения). А именно, для распределения Лапласа выборочная медиана является оценкой максимального правдоподобия, а потому оптимальной - в том смысле, в каком оптимальной является любая оценка максимального правдоподобия. (Соответствующее понятие оптимальности требует аккуратных формулировок, оно строго изложено в специальных монографиях.) Как известно, оценки максимального правдоподобия удобны при теоретических рассмотрениях, а при анализе конкретных экономических, технических и иных данных следует применять одношаговые оценки (см. об этом главу 3.2). 
	Проиллюстрируем сказанное примером. Критерии однородности двух выборок были проанализированы в монографии Я.Ю. Никитина [12]. Естественных подходов к сравнению критериев несколько - на основе асимптотической относительной эффективности по Бахадуру, Ходжесу-Леману, Питмену и др. И выяснилось, что каждый обычно используемый критерий однородности является оптимальным при соответствующей альтернативе или подходящем распределении на множестве альтернатив. При этом математические рассуждения обычно опираются на альтернативу сдвига, сравнительно редко встречающуюся в практике анализа реальных статистических данных (в связи с критерием Вилкоксона эта альтернатива обсуждалась в главе 5.3). Итог печален - блестящая математическая техника, продемонстрированная в монографии [52], не позволяет дать рекомендации для выбора критерия проверки однородности при анализе реальных данных. Другими словами, с точки зрения работы прикладника, т.е. с точки зрения применимости полученных результатов при анализе конкретных данных, монография [52] бесполезна. Блестящее владение математикой и огромное трудолюбие, продемонстрированные автором этой монографии, увы, ничего не принесли практике. 
	Конечно, каждый практически работающий статистик так или иначе решает для себя проблему выбора статистического критерия. На основе ряда методологических соображений мы в главе 5 остановили свой выбор на состоятельном против любой альтернативы критерии типа омега-квадрат (Лемана-Розенблатта). Однако остается чувство неудовлетворенности в связи с недостаточной теоретической обоснованностью этого выбора.
	Организация теоретических работ в области статистических методов. Выше продемонстрирована необходимость большой теоретической работы по развитию нацеленных на практическое использование статистических методов. В статье [13] 1992 г. нами обоснован вывод о необходимости создания сети научно-исследовательских организаций, которая выполняла бы такую работу. Как известно, количество научных работников к настоящему времени сократилось в несколько раз по сравнению с началом 1990-х годов. Так что на осуществление в ближайшие годы сформулированной в [13] научно-организационной программы надеяться не приходится.
	Приходится с сожалением констатировать, что в рамках научной специальности «теория вероятностей и математическая статистика» наблюдается четко выраженное игнорирование проблем статистического анализа реальных данных и уход в глубь узкоматематических исследований, которые заведомо ничего не могут дать практике. Причины этого явления, типичного для математических дисциплин, обсуждались в разд. 15.1. Поэтому нет оснований ожидать, что при «естественном ходе событий» будут получены существенные продвижения в рассмотренных выше нерешенных проблемах статистических методов.
	Помочь может выделение государственными структурами системы грантов, направленных на поддержку работ в области нерешенных проблем прикладной статистики. Принципиальным шагом явилось бы официальное выделение государственными органами «статистических методов» как самостоятельного научного направления. Отличного как от чисто математических дисциплин типа «теории вероятностей и математической статистики», так и от, например, ветви экономической теории, известной в официальных кругах под названием «статистика».  
	О прикладных работах с использованием статистических методов. Проблемы организации теоретических работ в области статистических методов лишь в перспективе важны для практической работы. Как правило, те, кто обрабатывает реальные данные, недостаточно знакомы с теоретическими основами алгоритмов и тем более не следят за событиями «на переднем крае» обсуждаемой научно-практической дисциплины. Это вполне естественно, поскольку основная специальность у таких специалистов - иная. 
	Несколько огрубляя, можно сказать, что реально используется только то, что имеется в учебниках и справочниках, в широко распространенных программных продуктах, а научные публикации с точки зрения прикладника представляют собой «информационный шум». Ситуация усугубляется традиционным ненормальным положением в отечественной статистике (см. главу 15).
	К сожалению, учебная и научная литература на русском языке (как, впрочем, и на иных языках) по статистическим методам далека от совершенства, переполнена устаревшими методологическими подходами и прямыми ошибками. До сих пор наилучшим изданием остаются «Таблицы математической статистики» Л.Н. Большева и Н.В.Смирнова [1], созданные еще в 1960-х гг.
	Хотя студенты почти всех специальностей изучают в конце курса высшей математики раздел «теория вероятностей и математическая статистика», реально они знакомятся лишь с некоторыми основными понятиями и результатами, которых явно не достаточно для практической работы. С некоторыми математическими методами исследования студенты встречаются в специальных курсах (например, таких, как «Прогнозирование и технико-экономическое планирование», «Технико-экономический анализ», «Контроль качества продукции», «Маркетинг», «Контроллинг», «Математические методы прогнозирования», «Статистика» и др. – в случае студентов экономических специальностей), однако изложение в большинстве случаев носит весьма сокращенный и рецептурный характер. В результате подавляющую часть специалистов по прикладной статистике следует считать самоучками.
	Поэтому большое значение имеет введение в технических вузах курсов «Высокие статистические технологии», «Статистические методы» и «Прикладная статистика», а на экономических факультетах таких вузов и в экономических вузах – курса «Эконометрика», поскольку эконометрика – это, как известно, статистический анализ конкретных экономических данных. Это естественно делать, например, в рамках подпрограммы «Технологии подготовки кадров для национальной технологической базы» федеральной целевой программы «Национальная технологическая база». Естественно, что курсы «Высокие статистические технологии», «Статистические методы», «Прикладная статистика» и «Эконометрика» должны быть обеспечены соответствующими учебниками и учебными пособиями, методическими материалами и обучающими компьютерными системами. 
	Только через систему образования можно поднять уровень массового применения статистических методов и сократить отставание от «переднего края» теории. А это отставание в настоящее время составляет не менее 20 (но и не более 100) лет [7]. 

Литература

1. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1965 (1-е изд.), 1968 (2-е изд.), 1983 (3-е изд.). - 416 с.
2. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. - 296 с.
3. Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа. - М.: Финансы и статистика, 1988. - 263 с.
4. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование: учебник : в 3 ч. Часть 1: Нечисловая статистика. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2009. – 541 с.
5. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование: учебник : в 3 ч. Часть 2: Экспертные оценки. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2010. – ____ с.
6. Орлов А.И. Статистика объектов нечисловой природы и экспертные оценки. - В сб.: Экспертные оценки. Вопросы кибернетики. Вып.58. - М.: Научный Совет АН СССР по комплексной проблеме «Кибернетика», 1979. С.17-33.
7. Орлов А.И. Высокие статистические технологии // Заводская лаборатория. - 2003. - Т.69. - №11. - С.55-60.
8. Контроллинг в бизнесе. Методологические и практические основы построения контроллинга в организациях / А.М. Карминский, Н.И. Оленев, А.Г. Примак, С.Г.Фалько. - М.: Финансы и статистика, 1998. - 256 с.
9. Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. - М.: Знание, 1980.- 64 с.
10. Неуймин Я.Г. Модели в науке и технике. История, теория, практика. - Л.: Наука, 1984. - 190 с.
11. Боровков А.А. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1976. - 352 с.
12. Никитин Я.Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических критериев. - М.: Наука, 1995. - 240 с.
13. Орлов А.И. О современных проблемах внедрения прикладной статистики и других статистических методов // Заводская лаборатория. - 1992. - Т.58. - № 1. - С.67-74.

Контрольные вопросы и задачи

1. Какие «точки роста» статистических методов Вы знаете?
2. Чем непараметрическая статистика отличается от параметрической?
3. По каким признакам выделяются высокие статистические технологии?
4. Какова роль информационных технологий в статистических методах?
5. Какие вопросы обсуждаются в научном направлении «методология статистических методов»?
6. Какие нерешенные проблемы статистических методов являются наиболее актуальными в настоящее время? 

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1. Достоинства и недостатки различных датчиков псевдослучайных чисел.
2. Метод статистических испытаний (Монте-Карло) и его применения в теории и практике статистических методов.
3. Многообразие вариантов «бутстрепа».
4. Устойчивость и робастность
5. Основные идеи нечисловой статистики.
6. Нотна и рациональный объем выборки - основные понятия статистики интервальных данных.
7. Высокие статистические технологии в начале XXI века.
8. Актуальные методологические проблемы статистических методов.

ОБ АВТОРЕ

Орлов Александр Иванович, 1949 г.р., профессор (1995 г. – по кафедре математической экономики), доктор технических наук (1992 г. - по применению математических методов), кандидат физико-математических наук (1976 г. – по теории вероятностей и математической статистике). Профессор кафедры «Экономика и организация производства» факультета «Инженерный бизнес и менеджмент» Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана, руководитель секции «Организационно-экономическое моделирование, статистика и эконометрика», директор Института высоких статистических технологий и эконометрики, научный руководитель Лаборатории экономико-математических методов в контроллинге.
	В 1966 г. окончил физматшколу № 2 г. Москвы, в 1971 г. – механико-математический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова. В 1971-1978 гг. работал в Центральном экономико-математическом институте АН СССР, в 1978-1981 г. – в «кремлевской больнице» (заведующий математическим отделением ЦНИЛ), в 1981-1989 г. – во ВНИИ стандартизации Госстандарта СССР. Создал и руководил Всесоюзным центром статистических методов и информатики (1989-1992). С 1993 г. – на преподавательской работе, профессор ряда московских вузов.
	Член редколлегий научных журналов «Заводская лаборатория», «Контроллинг», «Социология: методология, методы, математическое моделирование», «Управление большими системами». Главный редактор электронного еженедельника «Эконометрика». Академик Международной академии исследований будущего и Российской академии статистических методов. Вице-президент Всесоюзной Статистической Ассоциации, президент Российской ассоциации статистических методов.
	Основные направления научной и педагогической деятельности: организационно-экономическое моделирование, статистические методы, экспертные оценки, эконометрика, экономико-математические методы, теория принятия решений, менеджмент, теория управления, контроллинг, экономика предприятия, макроэкономика, экология, социология. Автор более 600 публикаций в России и за рубежом, в том числе более 40 книг. 

Основные книги проф. А.И.Орлова

1. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука,1979. - 296 с.  
2. Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. - М.: Знание, 1980. - 64 с.  
3. Анализ нечисловой информации / Ю.Н. Тюрин, Б.Г. Литвак, А.И. Орлов и др. - М.: Научный Совет АН СССР по комплексной проблеме «Кибернетика», 1981. - 80 с.  
4. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах (совместно с В.А. Гусевым, А.Л. Розенталем). - М.: Просвещение, 1977. - 288 с. - Второе издание, исправленное и дополненное (М.: Просвещение, 1984). Переводы на казахский, литовский, молдавский, таджикский языки. 
5. ГОСТ 11.011-83. Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров гамма-распределения / Орлов А.И., Миронова Н.Г., Невельсон М.Б. - М.: Изд-во стандартов, 1984. - 53 с.  - Переиздание: М.: Изд-во стандартов, 1985. - 50 с. 
6. Анализ нечисловой информации в социологических исследованиях / Орлов А.И., Толстова Ю.Н., Раушенбах Г.Б. и др. -  М.: Наука, 1985. -  220 с.
7. Пакет программ анализа данных «ППАНД». Учебное пособие / Легостаева И.Л., Орлов А.И., Черномордик О.М и др. - М.: Сотрудничающий центр Всемирной организации здравоохранения по профессиональной гигиене, 1990. - 93 с.  
8. Орлов А.И. О теоретических основах внеклассной работы по математике и опыте Вечерней математической школы при Московском математическом обществе. - М.: Всесоюзный центр статистических методов и информатики, 1991. - 48 с. 
9. Математическое моделирование процессов налогообложения (подходы к проблеме) / Орлов А.И., Кастосов М.А., Иванова Н.Ю. и др.). - М.: Изд-во ЦЭО Министерства общего и профессионального образования РФ, 1997. – 232 с.  
10. Экология. Учебное пособие / Боголюбов С.А., Орлов А.И., Поляков Л.П. и др. - М.: Знание, 1999. - 288 с.  
11. Менеджмент. Учебное пособие / Боголюбов С.А., Орлов А.И., Прокофьева Ж.В. и др. - М.: Знание, 2000. - 288 с.  
12. Управление качеством окружающей среды. Учебник. Т.1 / Боголюбов С.А., Орлов А.И., Поляков Л.П. и др. - М.: МГИЭМ(ту), 2000. – 283 с.
13. Системы экологического управления: Учебник / Боголюбов С.А., Орлов А.И., Поляков Л.П. и др. - М.: Европейский центр по качеству, 2002. – 224 с.
14. Орлов А.И. Эконометрика. Учебник для вузов. – М.: Экзамен, 2002, 2003 (2-е изд., исправленное и дополненное), 2004 (3-е изд., исправленное и дополненное). – 576 с.
15. Управление промышленной и экологической безопасностью: Учебное пособие / Федосеев В.Н., Орлов А.И., Ларионов В.Г., Козьяков А.Ф. - М.: УРАО, 2002 (1-е изд.), 2003 (2-е изд.). – 220 с.
16. Орлов А.И., Федосеев В.Н. Менеджмент в техносфере. Учебное пособие для вузов. – М.: Академия, 2003. – 384 с.
17. Орлов А.И. Принятие решений. Теория и методы разработки управленческих решений. Учебное пособие для вузов. - М.: ИКЦ «МарТ»; Ростов н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005. - 496 с. 
18. Орлов А.И. Прикладная статистика. Учебник для вузов. – М.: Экзамен, 2006. – 671 с.
19. Орлов А.И. Теория принятия решений. Учебник для вузов. — М.: Экзамен, 2006. — 576 с.
20. Проектирование интегрированных производственно- корпоративных структур: эффективность, организация, управление / Колобов А.А., Омельченко И.Н., Орлов А.И. и др. / Под ред. А.А. Колобова, А.И. Орлова. Научное издание. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. — 728 с.
21. Орлов А.И. Оптимальные методы в экономике и управлении. Учебное пособие. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. — 44 с.
22. Колобов А. А., Омельченко И. Н., Орлов А. И. Менеджмент высоких технологий. Интегрированные производственно-корпоративные структуры: организация, экономика, управление, проектирование, эффективность, устойчивость. Учебник для вузов. — М.: Экзамен, 2008. — 621 с.
23. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование : учебник : в 3 ч. Ч. 1. Нечисловая статистика. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. — 541 с.
24. Орлов А.И. Эконометрика. Изд. 4-е, доп. и перераб. Учебник для вузов. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2009. - 572 с.
25. Орлов А.И. Менеджмент: организационно-экономическое моделирование. Учебное пособие для вузов. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2009. - 475 с.
26. Орлов А.И. Вероятность и прикладная статистика: основные факты: справочник. – М.: КНОРУС, 2010. – 192 с.
27. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование: учебник : в 3 ч. Часть 2: Экспертные оценки. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2010. – ____ с.

Подписи к рисункам в главе 12

	Комментарий автора книги. При подготовке рукописи к печати прошу учесть следующее.
	Глава 12 сознательно написана без обращения к рисункам. Это сделано из-за того, что мне неизвестны технические возможности и стоимость реализации цветных рисунков. Возможен и черно-белый вариант, а также представление лишь части рисунков. Я считаю, что рисунки помогли бы читателю. Однако без них можно и обойтись. Решение – за издательством.
	Рисунки целесообразно поместить в указанном порядке в разделах 12.1 и 12.2. Рис. 12.6 – 12.9 – в конце раздела 12.2.

А.И.Орлов
2010-01-27

01.bmp
	Рис. 12.1. Данные доказательной медицины. Зависимость вероятности возникновения ишемической болезни сердца от уровня холестерина в крови. Чем больше уровень холестерина - тем выше риск. Практический вывод прост: чтобы не заболеть ишемической болезнью сердца, надо снижать уровень холестерина крови путем соблюдения соответствующей диеты.
(слайд любезно предоставлен заведующим кардиологическим отделением ГНИЦ ПМ МЗ РФ, к.м.н. Н.М.Ахмеджановым)

02.bmp
	Рис..12.2. Данные доказательной медицины. Результаты исследования влияния лечения витаминными препаратами при ишемической болезни сердца на смертность. Ученые наблюдали за двумя большими группами пациентов, больных ишемической болезнью сердца, одни из которых в дополнение к назначенным врачом лекарствам принимали витамины А, Е и D, а другие этого не делали. Несмотря на то, что, казалось бы, витаминные препараты должны улучшать здоровье пациентов, видно, что те, кто принимал витамины, умирали даже чаще, чем те, кто их не получал. Практический вывод ясен - для лечения ишемической болезни сердца витаминные препараты по меньшей мере бесполезны.
(слайд любезно предоставлен заведующим кардиологическим отделением ГНИЦ ПМ МЗ РФ, к.м.н. Н.М.Ахмеджановым)

03.bmp
	Рис. 12.3. Схема типичного исследования доказательной медицины. Исследовалось влияние препаратов Престариум и Индапамид на состояние здоровья пациентов с артериальной гипертонией. На схеме отражены основные этапы исследования: набор пациентов, разбиение пациентов на две группы, одна из которых получает исследуемые препараты, а другая - плацебо, собственно проведение исследования - снабжение пациентов лекарствами и наблюдение за их здоровьем.
(слайд любезно предоставлен руководителем отдела профилактики внутренних болезней ГНИЦ ПМ МЗ РФ,
 д.м.н., профессором А.Н.Бритовым) 

04.bmp
	Рис. 12.4. Результаты исследования, схема которого приводилась на предыдущем рисунке 12.3. Видно, что у пациентов, получавших действующее лекарство, а не «пустышку», значительно реже случался инсульт. Из этих результатов следует практическая рекомендация - престариум и индапамид действительно приносят пользу при лечении артериальной гипертонии.
(слайд любезно предоставлен руководителем отдела профилактики внутренних болезней ГНИЦ ПМ МЗ РФ,
 д.м.н., профессором А.Н.Бритовым)

05.bmp
	Рис. 12.5. Типичное изображение результата исследований доказательной медицины. Показывается, что чем выше уровень артериального давления и чем больше определенных особенностей образа жизни и здоровья (так называемых «факторов риска» - для артериальной гипертонии таковыми являются, например, курение, ожирение, повышенное содержание холестерина в крови), тем выше риск получить инфаркт или инсульт.
(слайд любезно предоставлен руководителем отдела профилактики внутренних болезней ГНИЦ ПМ МЗ РФ,
 д.м.н., профессором А.Н.Бритовым)

06.bmp
	Рис. 12.6. Сайт Коллекции рекомендаций Агентства по политике в области здравоохранения и научных исследований США. Здесь можно познакомиться с руководствами по лечению различных заболеваний, разработанными ведущими мировыми специалистами на основе новейших данных, полученных с помощью методов «доказательной медицины».

07.bmp
	Рис. 12.7. Библиотека National Center for Biotechnology Information - http://www.ncbi.nlm.nih.gov. В ее подразделе PubMed можно ознакомиться с базой данных Medline, в которой содержатся тексты публикаций крупных мировых медицинских журналов.

08.bmp
	Рис. 12.8. Библиотека National Center for Biotechnology Information. Страница с результатами поиска статей в базе данных Medline. 

09.bmp
	Рис. 12.9. Сайт Infotrieve - еще один ресурс, предоставляющий бесплатный доступ к базе данных Medline. Его адрес - http://www.infotrieve.com.

Рисунки к главе 10

	Два рисунка к разделу: 10.5. Обнаружение разладки с помощью контрольных карт

Рисунки к главе 12

	Рисунки 12.1 – 12.9, подписи к которым приведены выше. Если некоторые из рисунков будут исключены, то необходимо изменить нумерацию рис.12.10 (дан в тексте на стр. 732).